二項式定理

1、掌握二項式定理，能根據二項展開式的通項公式求解指定的項、二項式的系數，以及具有

某些性質的項和項的系數；

教學目標

2、掌握二項式系數的性質，并會熟練運用賦值法解決有關問題；

3、運用二項式定理解決有關問題.

1、掌握二項式定理，能根據二項展開式的通項公式求解指定的項、二項式的系數，以及具有

重點某些性質的項和項的系數；

2、掌握二項式系數的性質，并會熟練運用賦值法解決有關問題；

難點二項式定理和其他知識的綜合運用

r楊輝三角和二項式定理

二項式定理二項式定理的應用一一組合數的性質

\二項式定理中常用思想方法

和鶴梳理

一、二項式定理：

公式3+by=C>"+C[an-'b+…+C：a"P+…+C?"(〃eN*),叫做二項式定理。

其中C,：(k=0,12-N)叫做二項式系數：

公式右邊的多項式叫做①+力”的二項展開式；

(“=C?ran-rbr叫做二項展開式的通項，它表示第廠+1項；

項式系數與數字系數的積叫做項的系數。、

二項展開式的特性如下：

(1)系數規律:C：、C：、C；、…、C；；

(2)項數規律：二項和的〃次哥的展開式共有〃+1個項.

(3)指數規律：各項的次數均為〃次；二項展開式中。的次數由〃降到0,/?的次數由。升到〃，。與

。指數之和為〃.

(4)求常數項、項的系數或者有理項時，要根據通項公式討論對/"的限制；求有理項時要注意到指數

及項數的整數性.

\____________________________________________________________________________________y

【補充】二項式系數表(楊輝三角)

伍+㈤”展開式的二項式系數，當〃依次取1,2,3…時，二項式系數表，表中每行兩端都是1，除1以外的每

一個數都等于它肩上兩個數的和.

1

121

1331

464

510105

1615201561

二、二項式系數的性質

①〃展開式的二項式系數是，，，；?其中可以看成以〃為自變

+3dQC3…Cc;firy

量的函數,0），定義域是{0,1,2,???/},例當〃=6時，其圖象是7個孤立的點（如圖）

（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等（即C；=C；〃'）.20

18

直線廠=!（〃為偶數）是圖象的對稱軸.16

214

（2）增減性與最大值：C：<C；<C：<……>C；'；2>C；-1>C：（中間一項或兩項12

10

最大），若〃為偶數，中間一項（第己+1項）的二項式系數最大；若〃為奇數，中間兩8

26

項（第971+1■72和+1項）的二項式系數最大.4

22

（3）各二項式系數和：C；+C；+C；+…+C：=2";369

奇數項（偶數項）二項式系數和：+…=c：++…=2"-1.

【注釋】在二項式定理中，令”=11=—1,則c：一C+c；—c；+…==

從而移項得到：+C；+C：…+C；，+…=c：++…+川+…=2"=2"T

三、二項展開式項系數%,4,4,4，…，4的性質

23

f（x）=a0+atx+a2x+a3x+…+anx",

（1）Q（）+q+%+/+,,?+Q”=/（I）;

(2)a0-at+a2—a3-i-----F(-l)"a“=/(-I);

（3）%+Q2+Q4+%+???=---------------------⑷4+《+%+%+…

（5）/=/（0）.（6）系數的最大項：求（。+泣）〃展開式中最大的項，一般采用待定系數法。設展開式

中各項系數分別為4,4,,-、4用，設第「+1項系數最大，應有/向一'，從而解出/■來。

lA+i之A*

四、二項式定理中的常用思想方法

（1）證明組合恒等式常用賦值法。

（2）求二項展開式的項（指定項，具有某種性質的項）一般用二項展開式的通項公式，通常是先根據已知

條件求r，再求Tz，有時需先求〃，再求「，才能求出7,+一

（3）研究二項展開式的系數和、二項式系數和的問題，常通過賦值的方法整體處理，特別要注意區分二項

展開式的系數和與二項展開式的二項式系數和的差別。

（4）二項式定理作為“母體”，可以生成很多的組合恒等式，在進行組合數和式研究時要注意其與二項式

定理的關系，能正向、逆向地運用二項式定理。關于組合恒等式的證明，常采用“構造法”一一構造函數

或構造同一問題的兩種算法。

（5）有些三項式展開式的問題，可以通過變形轉化成二項式問題，這種轉化體現了數學化歸的思想方法，

要掌握化歸的基本技能。

【注釋】（a+8+c）”展開式中小〃c'.的系數求法（p,q,rNO的整數且p+q+r=〃）

nr

（a+b+c）"=[（a+b）+c]可取其中的某一項Cn{a+c'="門—叱

如：（。+〃+4°展開式中含的系數為G\C；C：=」一

107§3!X2!X5!

\_______________________________________________________________________________________________/

（6）近似計算要首先觀察精確度，然后選取若干項逼近近似計算的要求。用二項式定理證明整除性問題或

余數問題，一般將被除式變為有關除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”（蘊含目標意識）、“消

除法”（配合整除的有關知識）來解決，還有不等式證明中目標導向與“放縮法”，這些問題的解法中體

現的數學思想很重要，并且有一般的思維價值。

金）的我卷錯

1、求展開式中的項（指定項、常數項，有理項，系數最大項，賦值求某些項系數和與差等）

①求展開式中的指定項

【例1】（1）在。-2）5的展開式中X的系數為.

（2）已知（1+丘）也是正整數）的展開式中，f的系數小于120,則2=

（3）在（1+奴）7的展開式中，1的系數是X?和X”的系數的等差中項，那么實數。=

【例2]⑴在(l+x)3+(l+"+(l+x)5+...+(l+x嚴4的展開式中，X?的系數為()

A.C；oi5B.C2014C.C；oi5D.C；o”

(2)(x+y)(2x-y)s的展開式中的Vy3系數為()

A.-80B.-40C.40D.80

(3)在(l+2x-3x2)6的展開式中，好的系數為,

【例3】(1)已知等差數列｛6｝的通項公式為4,=3〃-5,則(1+幻5+(1+X)6+(1+幻7的展開式中》4項的

系數是數列｛”“｝中的第項.

(2)令氏為￡,(x)=(l+x)用的展開式中含項系數，則數列,前〃項和為_______________，

UJ

［例4］已知(2”w+l)"展開式中最后三項的系數的和是方程/g(y2-72y-72)=0的正數解，它的中間項

是10g2加0,求x的值.

千g雙國制秣

1、已知(l+x)(l-0X)6展開式中口項的系數為21,則實數4=()

A.7357「］.7

A.±---DB.——C.1或——D.-1或工

5255

2、在(l-Y嚴展開式中，如果第4r項和第r+2項的二項式系數相等，則/=,Q=

3、(x-y嚴的展開式中，x/3的系數與V丁的系數之和等于

4、在f(x+l)?展開式中含/項系數與含力項系數相等，則〃取值為()

4=1

A.12B.13C.14D.15

5、設/（x）=（l+x）'"+（l+x）"（a,〃eN*）,若其展開式中關于x的一次項的系數和為11,問根，〃為何值

時，含/項的系數取最小值？并求這個最小值.

6、已知+的展開式中有連續三項的系數之比為1：2：3,這三項是第幾項？若展開式的倒數第二

項為112,求x的值.

②常數項

【例5】（1）在二項式（五+。）"的展開式中，各項系數之和為A,各項二項式系數之和為3,且4+8=72,

X

則展開式中常數項的值為.

（2）己知關于x的二項式（6+弓=）"展開式的二項式系數之和為32,常數項為80,則。的值為

（3）二項式（^一二）”展開式中的第三項與第五項的系數之比為-3，其中i為虛數單位，則展開式的常數

yjx14

項為（）

A.72B.-72tC.45D.-45;

（4）（［幻+上―2＞展開式中的常數項是（）

|幻

A.5B.-5C.-20D.20

【例6】（1）（l+x+Y）卜+g）的展開式中沒有常數項，〃eN*,且2W〃W8,則〃=

⑵（＞%后的展開式中整理后的常數項為----------------（用數字作答）.

力區雙通制依

1、若二項式（x+4）6展開式的常項數為20,則。=

X

2、在二項式（分+±）6（“eR）的展開式中，常數項的值是-20,則lim（a+/+d+-+q"）=

X"TOO

3、已知（Y—十）"的展開式中第三項與第五項的系數之比為總，求展開式中常數項.

4、若（犬+!-2）"的展開式中常數項為-20,則自然數"=

X

③有理項

[例7]+的展開式中共有項是有理項.

【例8】在（?+的二項展開式中.

（1）當〃=6時，求該二項展開式中的常數項；

（2）若前三項系數成等差數列，求該二項展開式中的所有有理項.

力風與制秣

1.求二項式（五-H）9展開式中的有理項？

2、若（親-五）"展開式中奇數項各項的二項式系數和為64,則展開式中的有理項是

④系數最大（小）的項

【例9】在二項式（；+2幻"的展開式中：

（1）若第5項，第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大的項;

（2）若所有項的二項式系數和等于4096,求展開式中系數最大的項.

含々雙也制秣

1、二項式（1+sinx）"的展開式中，末尾兩項的系數之和為7,且二項式系數最大的一項的值為*,則x在

2

（0,2兀）內的值為.

2、求（五-壺）的展開式中，系數絕對值最大的項以及系數最大的項.

3、在（以"，+法"產中，""為正實數，且2〃?+〃=0,加7X0,它的展開式中系數最大的項是常數項，求處的

b

取值范圍.（1）求它是第幾項；（2）求0的最值.

b

⑤賦值求某些項系數的和與差

【例10】設(2%-3)5=%+o1x+a2/2+…+,則141+14|+|。21+…+&1=

【例11]設元4+4/+〃/2+%l+〃4=(X+1)4+4(尤+1)3+4(工+1)2+Z?3(X+?+&,定義/(〃[,

4)二(々，4,4，%),則/(4,3,2,1)等于.

【例12］（1）在（x-④嚴6的二項展開式中，含就j奇次幕的項之和為s,當天=也時,s=

⑵若(l-2x)=q)+qx+…+〃2009戶)°9，貝+/+…+字符=------

【例13］已知：（X+1）"=。0+4（工-1）+。2。一1）2+。3（%-1）3+…+%（工一1）"（〃..2,〃￡M）

（1）當〃=5時，求4+4+出+4+4+4的值.

（2）設〃=券，（=4+&+仇+…+2.試用數學歸納法證明：當*2時，T“=”（〃/1）（〃T）

力卷風電制秣

222

1>若(2x+l)"=%+atx+a2x+...+q/",則(4+a24-...4-6rl0)-(q+q+...+an)=

2

2、己知(3+X)+(3+X)2+(3+X)3+…+(3+x)〃=&+a1