《1.5產Asin（①x+o）的圖象》

第一課時

一、講什么批注［yl］：宋體小四加粗

1.教學內容：

批注：宋體小四加粗

（1）概念原理：y=Asin（〃zr+0）的圖象。［y2］

（2）思想方法：元的思想、坐標法。

（3）能力素養：數學建模、直觀想象。］批注［y3］：正文主體使用宋體五號

2.內容解析：

“丫=八§皿（3+8）的圖象（1）”是新課標人教A版《數學》必修4第一章第五節第二

課時，是《三角函數》這一章的核心內容之一，引導學生研究“函數丫=4立11（8+0）的

圖象”是使然。要研究它就得探索每一個參數0、A對其影響，使學生領會元的思想

和坐標法是自然。函數y=Asin（的+夕）是解決實際問題的重要模型，研究函數

y=Asin（3+°）的性質又必須研究它的圖象，培養學生數學建模和直觀想象能力素養是

必然。

二、為何講

1.教學目標：

（1）引導學生探索。、/、A對y=Asin（ox+e）圖象變化的影響，理解具體函數

y=Asin（s:+0）圖象之間變化的數學原理。

（2）通過各個參數的研究，以及函數丁二45m（5+0）解析式與圖象之間的對應關系，

使學生領會元的思想和坐標法。

（3）通過本節課的（1）中內容研究與學習，以及（2）中思想與方法的掌握，培養學生

的數學建模和直觀想象能力。

2.目標解析:

借助信息技術研究探索0、①、人對），=44!1（5+8）圖象的影響，同時結合具體函

數圖象的變化，使學生領會元的思想，進而培養數學建模的能力。理解函數），=sinx與

y=Asin（5+0）圖象間的變換關系，運用并領會坐標法，進而培養學生的直觀想象能力。

本節課的重點是通過探索0、co、A對函數y=Asin（s+e）圖象的影響，領會元的思想，

培養數學建模的能力。

三、怎樣講

教學準備

1.教學問題：

如何讓學生理解夕、0、A對函數y=Asin（（yx+e）圖象的影響，以及與幾何變換中

的伸縮變換、平移變換之間的對應關系是本節課的第一個教學問題。

一節課除了讓學生研究三種參數對函數y=Asin（s:+0）圖象的影響，還要讓學生掌握

背后的多種思想方法，培養多個能力索養，這是第二個教學問題。

而通過引導學生借助信息技術手段解決這兩個教學問題的有效途徑。

2.教學支持條件：

學生學完三種正弦函數、余弦函數的圖象及性質后，來研究函數>=44。（3：+8）的圖

象，讓學生理解各類三角函數），=Asin（?x+e）之間的聯系是順利進行本節課教學的不可

缺少的支持條件。借助圖形計算器動手操作探究其幾何變換，可以使學生充分理解夕、切、

A對y=Asin（〃zr+0）圖象的影響,因此為學生準備人手一臺TLNspireCAS（便于學生操

作），老師使用幾何畫板或超級畫板（便于演示）。

（-）教學過程設計

【問題1】物體作簡諧運動時，位移s與時間，的關系為s=Asin（&+°）

（r>0,A>0,口>0）,它與函數y=sinx有何關系？

【設計意圖】使學生從物理學的簡諧振動進行數學抽象，研究?般性的數學模型三角函

數丁=45也（的十0）;通過問題及后面的師生活動引導學生，用數學的眼光觀察世界，感

受客觀世界中的周期現象，體會研究函數y=Asin（如+0）的必要性和重要性，引起學生

的興趣，激發學生的求知欲。

【師生活動】

(I)老師提問函數s=Asin(/y，+o)與函數y=sinx的解析式有何關系，學生回答；

接著提問現實生活中存在哪些可以用函數y=Asin(5+e)來刻畫的周期現象，學生思考

并舉例。

(2)師生看完模擬的簡諧振動后，再?起聽其函數的聲音，利用幾何畫板聽

y=Asin(@x+°)函數的聲音，感受①、4對聲音的影響。

【問題2］在同一坐標系中，畫出y=sinx,y=sin(x+—),y=sin(x-X)的簡

44

圖，思考y=sin(x±—)與y=sinx的圖象有什么關系？

4.

［設計意圖］引導學生借助圖形計算器TI-NspireCAS探索并理解0對y=sin"+0)圖

象的影響。其次要求學生理性地弄清問題的本質，從理論上說明其平移的依據，事實上，我

們把函數y=sin(x+-)圖象上的任意一點設為戶(x',/),其對應的函數)，=sinx上的點

4

為Pfr,。),則有G+'=x,y'=y，故有=x-乙,y,=y?由此可知點P(My')是

44

由點P(x,y)的橫坐標減小-個單位得到，即函數y=sin(x+色)的圖象是由函數y=sinx

4'4

上所有的點向左平行移動四個單位而得到。

4

【師生活動】

(1)引導學生借助圖形計算器TI-NspircCAS畫)，=$皿1，y=sin(x+-),

4

y=sin(x-C)的簡圖，討論y=sin(x土色)Vy=sinx的圖象有什么關系。

44

(2)然后借助圖形計算器TI-NspireCAS研究y=sinx,)，=sin(x+。)的圖象關系，

學生通過插入變量°,移動游標改變其值，探索與發現，然后師生討論并得出夕對

y=sin(x+e)圖象的影響的結論。

【問題3】y=sin3xy=sin(gx)與y=sinx的圖象有什么關系？

【設計意圖】引導學生探索并理解口對)=411(8)圖象的影響。其次要求學生理性地

弄清問題的本質，從理論上說明其橫向收縮的依據。

【師生活動】

(1)引導學生借助圖形計算器TI-NspireCAS畫y=sin3x、y=sin(gx)與y=sinx

的簡圖，討論它們圖象之間有什么關系。

(2)借助圖形計算器TI-NspireCAS研究y=sinx,y=sin(以r)的圖象關系，學生通

過插入變量移動游標改變其值，探索與發現，然后師生討論并得出①對y=sin(?x)圖

象的影響的結論。

7T17T

【問題4】y-sin(3x---)、y=sin(-x---)與y=sinx的圖象有什么關系？

434

【設計意圖】引導學生探索并理解切對y=sin(8+0)圖象的影響。

【師生活動】

(1)借助圖形計算器TI-NspireCAS研究y=sin犬，y=sin(④r+。)的圖象關系，學

生通過插入變量①、9,移動游標改變其值，探索與發現，然后師生討論并得出外。對

y=sin(s+⑺圖象的影響的結論。

(2)練1用幾何變換的方法畫出》=5皿(；工一?)和y=sin(2x+()的圖象，然后用

借助圖形計算器TI-NspireCAS驗證。

TTTT

【問題5]y=3sin(2x+y),y=35由(2X一彳)與y=sinx的圖象有什么關系？

【設計意圖】引導學生探索并理解A對)，=Asin(血十°)圖象的影響.其次要求學生

理性地弄清問題的本質，從理論上說明其橫向收縮的依據。

【師生活動】

(1)借助圖形計算器TI-NspireCAS研究y=sinx,y=Asin(wx+夕)的圖象關系，學生

通過插入變量A,移動游標改變其值，探索與發現，然后師生討論并得出A對

y=Asin(@x+0)圖象的影響的結論。

（2）練2用幾何變換的方法畫出丁=!$皿（'工±色）的圖象，然后用借助圖形計算器

234

TI-NspireCAS驗證。

四、講怎樣

1.教學反思：

略

2.目標檢測：

完成《1.5產Asin（cox+0）的圖象⑴同步練習》。

第二課時

一、講什么：'批注[y4]:宋體小四加粗

1.教學內容：

（1）概念原理：y=Asin（〃zx+e）的圖象。

（2）思想方法：化歸思想、數形結合思想。

（3）能力素養：數學建模。

2.內容解析：

“y=Asin（w+0）的圖象（1）”是新課標人教A版《數學》必修4第一章第五節第二

課時，是《三角函數》這一章的核心內容之一，三角函數了=/^①（5+0）是解決實際問

題的重要模型。本節課借助信息技術繼續探索由），=sinx圖象得到丁二40!1（3+0）圖象

的各種方法過程，使學生體會由簡單到復雜，由特殊到一般的化歸思想以及數形結合思想，

建立與物理知識的聯系，了解常數A、。、夕與振幅、周期、頻率、相位、初相等物理量

的關系，并培養學生的數學建模等能力。

二、為何講

1.教學目標：

（I）使學生了解常數A、S、°與振幅、周期、頻率、相位、初相等物理量的關系。

（2）通過引導學生探索并掌握由y=sinx圖象得到丫二人$出（3+0）圖象的各種方法，

使學生體會由簡單到復雜，由特殊到一般的化歸思想，以及數形結合思想。

（3）通過本節課的（1）、（2）研究與學習，培養學生的數學建模等能力。

2.目標解析：

通過物理中簡諧運動的復習，使學生可以建立與物理知識的聯系，了解常數A、0、（p

與簡諧運動的振幅、周期、頻率、相位等物理量的關系。通過引導學生探索并掌握由y=sinx

圖象得到y=4sin（@v+e）圖象的六種方法，使學生體會由簡單到復雜，由特殊到一般的

化歸思想，通過應用例題的設置，使學生體會數形結合思想，培養學生的數學建模等數學核

心素養。

其中，重點是引導學生探索并掌握由曠=$3/圖象得到丁=人0也（5+o）圖象的各種

方法，使學生體會由簡單到復雜，由特殊到一般的化歸思想。

三、怎樣講

（-）教學準備

1.教學問題：

如何讓學生從新認識幾何變換中的伸縮變換、平移變換與振幅變化、周期變化、相位變

化的對應關系。探索并掌握由y=sinx圖象得到丫=4411（5+0）圖象的各種方法，而通

過引導學生借助信息技術手段實現動態幾何變換是解決這一教學問題的有效途徑。

2.教學支持條件：

上節課已經簡單研究函數y=Asin（5+0）的圖象，并使學生理解了°、A對

y=Asin（Gx+°）圖象的影響，使得繼續探索與發現由y=sinx圖象得到

y=Asin（&x+e）圖象的各種方法提供了必要與重要的條件。借助圖形計算器動手操作探

究其幾何變換，從而使學生在一節課內探索出所有方法，以及理解幾何變換和物理量變化之

間的關系成為可能，因此為學生準備人手一臺TI-NspireCAS,老師使用超級畫板。

（二）教學過程設計

【問題I】你能回憶一下物理中描述簡諧運動的函數關系嗎？振幅、周期、頻率、相位、

初相等概念與A、0、°有何關系？

【設計意圖】通過一個輕松的問題，讓學生建立與物理知識的聯系，了解常數A、①、

0與簡諧運動的某些物理量的關系。

【師生活動】學生I可顧相關的物理知識，解釋振幅、周期、頻率、相位、初相等概念與A、

3、0的關系。老師說明函數曠=Asin3xr+夕）（A>0,G>0）中，A叫做函數的振幅,

T=竺為函數的周期，f='=色為頻率，ox+e稱為相位，當x=0時的相位9稱為

(DT2n

初相。老師再一次讓學生聽函數y=Asin(5+e)(4>0,G>0),并改變其中的參數，感

受不同頻率與振幅聲音的異同。

【問題2］怎樣由函數y=sinx變換得到函數)，=3sin(2x+1)的圖象？你能否用多

種方法進行變換？并說明出由函數j=sinx圖象變換得到函數

y=Asin(6yx+e)(A>0,3>0)圖象的變化規律。

【設計意圖】在上一節課的學習基礎上，讓學生自主理性地研究此問題，讓學生自主獲

取問題的答案，可借助于信息技術工具進行探索與發現。并在此基礎上作如下歸納：

變換方法一：先畫出函數y=sinx的圖象：再把正弦曲線y=sinx向左(右)平移

個單位長度，得到函數y=sin(x+p)的圖象;然后使曲線上各點的橫坐標變為原來的1倍，

(0

得到函數'=g1(5+G的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變為原來的A倍，這時的曲

線就是函數y=Asin(/x+0)的圖象。

變換方法二：先畫出函數y=sinx的圖象；再把正弦曲線y=sinx各點的橫坐標變為

原來的?!?倍得到函數y=sinox的圖象；然后把曲線向左(右)平移|義卜個單位長度，得

(DCD

到函數y=sin(Gx+⑼的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變為原來的A倍，這時的曲線

就是函數>=Asin(〃>+0)的圖象。

變換方法三:先畫出函數)，=sinx的圖象；再把曲線上各點的縱坐標變為原來的A倍，

得到函數)，=Asinx的圖象；正弦曲線)，=4$桁工向左(右)平移|9卜個單位長度，得到

函數y=Asin(x+G的圖象：然后使曲線上各點的橫坐標變為原來的,倍，最后這時的曲

3

線就是函數y=Asin(3+°)的圖象。

變換方法四：先畫出函數y=sinx的圖象；再把曲線上各點的縱坐標變為原來的4倍，

得到函數丫=4$皿彳的圖象；再把正弦曲線y=Asinx各點的橫坐標變為原來的L倍得到

CD

函數y=sinox的圖象；然后把曲線向左（右）平移|?|個單位長度，這時的曲線就是函

（0

數），=Asin（g+e）的圖象。

變換方法五：先畫出函數y=sinx的圖象；再把正弦曲線），=sinx向左（右）平移|°|

個單位長度，得到函數y=sinG+Q的圖象；然后把曲線上各點的縱坐標變為原來的A倍，

得到函數》=4$析6:+夕）的圖象；最后使曲線上各點的橫坐標變為原來的，倍，這時的曲

（0

線就是函數y=Asin（Gx+Q）的圖象。

變換方法六：先畫出函數y=sinx的圖象；再把正弦曲線y=sinx各點的橫坐標變為

原來的-!■倍得到函數），=sins的圖象：然后把曲線上各點的縱坐標變為原來的A倍，得

（0

到函數y=Asin（ox）的圖象：最后把曲線向左（右）平移送|個單位長度，這時的曲線就

G）

是函數y=Asin（〃zr+e）的圖象。

TT

【師生活動】學生先動手用圖形計算器畫出了=麻51和y=3sin（2x+1）的圖象，然

后思考如何通過三種變換且不限定順序，使丁=5m入的圖象得到），=3sin（2x+g）的圖象？

然后師生一起總結各種方法（一共六種），并分析最易錯的是先橫坐標伸縮變換后水平平移

變換。

【問題3】怎樣由函數y=3sin（2x+1）變換得到函數y=sinx的圖象？是否也可以有

六種方法得到？并說明出由函數y=sinx圖象變換得到函數

y=Asin（69x+（p）｛A>0,6?>0）圖象的變化規律。

【設計意圖】在前一問題的研究基礎上，讓學生自主理性地研究此問題，讓學生自主獲

取問題的答案，并在此基礎上依然得到六種方法，因為縱坐標的伸縮變換放在哪一步都不造

成困難，所以只列出其中兩種方法：

變換方法一：先把函數），=Asin（@x+*）的圖象，上各點的縱坐標變為原來的‘倍，

A

得到函數丫=$皿（5+夕）的圖象；再把正弦曲線y=sin（ox+G上各點的橫坐標變為原

來的。倍，得到函數〉=$皿（工+9）的圖象；然后使曲線的各點向右（左）平移|°|個單位

長度，最終得到函數y=sin工的圖象。

變換方法二：先把函數），=Asin（3+e）的圖象，上各點的縱坐標變為原來的L倍，

A

得到函數丁=5皿（的+0）的圖象；再把正弦曲線y=sin（3+在上各點向右（左）平移

|2|個單位長度，得到函數〉=$抽（5）的圖象：然后使曲線的各點的橫坐標變為原來的0

co

倍，最終得到函數y=sinx的圖象。

1T

【師生活動】學生已經用圖形計算器畫出y=sin/和y=3sin（2x+1）的圖象，然后思

考如何通過三種變換且不限定順序，使y=3sin（2x+1）的圖象得到y=sinx的圖象？并

用圖形計算器新建一頁，觀察改變丁=Asin（5+e）中的三個參數變量驗證自己的想法，

或者幫助自己思考。然后師生一起分析得出依然一共六種方法。

練1選擇題：

1.要得到函數y=J^sinx的圖象，只需將函數y=J5cos（2工一?）的圖象上所有的

點（）

人橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平行移動J個單位長度