第一課時集合與函數

一、考試內容：

（1）集合的定義與表示

1、某些指定的對象放在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素（確定、互異、

無序）。

2、集合與元素的關系：屬于、不屬于。

3、常用集合：R、Z、N、N*、Qo

4、集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖法。

（2）集合間的基本關系

1、包含與相等：會識別給定集合的子集。例如（1、2、3）的子集個數2%真子集個

數2入1。

2、全集：包含我們所要研究的每個集合的全部元素，全集一般用U表示。

3、空集：集合里元素個數為0的集合。

（3）集合間的運算

1、交并補：

運算交集并集補集

類型

定

設U是一個集合，A是U的

義由所有屬于A且屬由所有屬于A或屬

于B的元素所組成于B的元素所組成一個子集，由U中所有不屬

于A的元素組成的集合，叫

的集合，叫做A,B的的集合，叫做A,B

做U中子集A的補集（或余

交集.記作ADB（讀的并集.記作：AUB集）

記作般即

作'A交B'）,即（讀作‘A并B'）,A,

AQB={X|XGA,且即AUB={x|xeA,CuA={x\xeU,HxiA}

xeB）.或xeB}）.

韋

o

恩

圖

圖1圖2

性

AAA=AAUA=ACu(CuA)=A

(CuA)AA=O

AQ0=0AU(t,=A(CuA)UA=U

質(CuA)n(CuB)=Cu(AUB)

AnB=BAAAUB=BUA

(CuA)U(CuB)=Cu(AAB)

AABcAAUBoA

AABcBAUBoB

（4）函數

1、映射的概念：設A、B是兩個非空集合，如果按照某種確定的對應關系f,使得對于

集合A中的任何一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么稱對應

/：A-8為從集合A到B的一個映射。

2、函數的三要素為定義域、解析式、值域。

3、分段函數：在定義域的不同部分上有不同的解析式的函數。注意：(1)分段函數是一

個函數，不要把它誤認為是幾個函數；(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是

各段值域的并集。y=Ix|,y=Ix2-lI

4、函數單調性(局部性質)：設函數y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區

間D內的任意兩個自變量X”X2，當X|<X2時，都有f(X|)<f(X2),那么就說f(x)在區間D上

是增函數，區間D稱為y=f(x)的單調增區間；當Xi<X2時，都有f(xD>f(X2),那么就說f(x)

在這個區間上是減函數，區間D稱為y=f(x)的單調減區間。

最值：如果對于定義域I內的任意一個自變量x,都有f(x)WC,那么就說C為f(x)

的最大值；都有f(x)》C,那么就說C為f(x)的最小值。

利用函數單調性求最值：如果函數y=f(x)在區間［a,b］上單調遞增，在區間［b,c］上單調

遞減，則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數y=f(x)在區間［a,b］上單調遞減，在區間［b,c］上單調遞增，則函

數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

5、函數奇偶性(整體性質)：

偶函數：一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)

就叫做偶函數。

奇函數：一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)

就叫做奇函數。

函數奇偶性的性質

①奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同；

偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反。

②奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱.

③若/(X)為偶函數，則/(-%)=/(%)=/(IXI)0

④若奇函數/(x)定義域中含有0,則必有/(0)=0。

⑤定義在關于原點對稱區間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數/(外與一個偶函

數G(x)的和(或差)如設/(x)是定義域為R的任一函數，則Qx)=

G(%)=-----------0

2

⑥復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外

⑦既奇又偶函數有無窮多個(/(力=0,定義域是關于原點對稱的任意一個數集)。

6、函數圖像與性質：一次函數、二次函數

二、試題練習

1、下列關系式中①{O}=0②0=°③{。}=。④0e°⑤{0}30⑥ON。其中正確

的是。

2、若A={x|x=3%,攵eN},8={X|X=6Z,ZeN},則A與B的關系是,,

3、設集合4=卜|/+2%-3<0},B={X|X2-X-6>0),求4口8=

4、已知集合4=上次41},3={x|xNa}且AUB=R，求實數a的取值范圍。

5、下列函數中與y=*是同一函數的是()

2

Ay=—；By=；Cy—V?：Dy=2,og2X

x

6、函數f(%)=lg(4一幻的定義域:

/(%)=-X-2+716-x2的定義域：

lg(x-5)

/(jc)=x2-4A:+6xe[1,5]的值域：

f_)2x_3(x>0)

7、J~1?_3(犬<0)，則/"⑴]=

第二課時指數、對數、幕函數

—*、要點知識：

(一)指數與指數幕的運算

1.根式的概念：

負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0,記作而=0。

注意：(1)(折)"=a

(2)當n是奇數時，，當n是偶數時，折言〃|=」"'""°

-a,a<0

2,分數指數幕

m

=4^（a>a,m,nwN*,且〃〉1）

正數的正分數指數幕的意義，規定:6

—竺1

正數的正分數指數塞的意義：。一〃=F(G〉0,wN*,且〃>1)

an

注：0的正分數指數嘉等于0,0的負分數指數塞沒有意義

3.指數塞的運算性質

(1)arax=ar+s(a>0,r,sGR)

(2)(ar)s=a,s(a>0,r,seR)

(3)(6?b)r=arbr(a>0,Z?>0,re7?)

注意：在化簡過程中，偶數不能輕易約分；如［(1-垃)2戶口一起而應=及一1

(二)指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數y="叫做指數函數，其中X是自變量，函數的定義

域為R.

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.即a>0且aWl

2、指數函數的圖象和性質

1.對數的概念:一般地，如果a'=N，那么數x叫做以a為底N的對數，記作：x=log“N

(a—底數，N—真數，logaN一對數式)

說明：1.注意底數的限制，a>0且aWl；2.真數N>03.注意對數的書寫格式.

2、兩個重要對數：

(1)常用對數：以10為底的對數，記為IgN；

(2)自然對數：以無理數e為底的對數的對數，log,N記為InN.

3、對數式與指數式的互化

x=log“N=a*=N

對數式指數式

對數底數一a一基底數

對數一x-指數

真數一N一幕

結論：(1)負數和零沒有對數

(2)logaa=l,logal=0特別地，1g10=1,lgl=0,lne=l,In1=0

(3)對數恒等式：a陽N=N

4、對數的運算性質

如果a>0,a1,M>0,N>0有：

1、log“(M?N)=lognM+lognN兩個正數的積的對數等于這兩個正數的對數和

M

2、log?—=loguM-logflN兩個正數的商的對數等于這兩個正數的對數差

3、log“M"=〃log“M(neR)一個正數的n次方的對數等于這個正數的對數n

倍

注意：換底公式108,/=庭&=9(。>0,。工1,。>0,。工11>0)

lograIga

利用換底公式推導下面的結論

1〃

n

①log11b=------②log?b?log/,c?logrd=logad③logb=—log,,b

logba"m

(四)對數函數

1、對數函數的概念：函數y=log“x（a>0,且aWl）叫做對數函數，其中x是自變量，函

數的定義域是（0，+8）.

注意：（1）對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。

如：y=log“JE,y=log“x+2都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數.

（2）對數函數對底數的限制：a>0,且a#l

2、對數函數的圖像與性質：對數函數y=10g“x（a>0,且aWl）

0<a<1a>

yy

圖—:

像0----------------X

*0。）

14（i，：

.

1

定義域：（0,+8）值域：R

過點(1,0),即當X=1時,y=0

性在（0,+8）上是減函數在（0,+8）上是增函數

質當x>l時，y<0當x>l時，y>0

當x=l時，y=0當x=l時，y=0

當0<x<l時，y>0當0<x<l時，y<0

的影響。1V\小羅;

3、規律：底數a對函數y=log“x

8三\

'底大枝頭低，頭低尾巴翹’

"J""沙皴"工"⑴

：：///y=109

4關系

x

y=a（a>（）且a#1）與y=logax（a>0且a/1)互為反函數，圖象關于y=x對稱：

yAi,=

一少二方j=a70<a<l)t/Y=X

/fJJ

/o/*

y=x/,?=logjv(0<?<l)

（五）幕函數

1、幕函數定義：一般地，形如y=x"的函數稱為幕函數，其中X是自變量，a為常數.

2、哥函數性質歸納.

(1)所有的密函數在(0,+8)都有定義，并且圖象都過點(1,1)；

(2)a>0時，募函數的圖象通過原點，并且在|。,+