高中數學中的不等式

（-）名目

前言

（-）不等式的概念

（二）不等式的基本性質

（三）不等式的分類

（四）常用不等式介紹

（五）重要不等式介紹

（六）兩個重要的工具

（七）不等式的證明

例題介紹

（八）不等式的解法

例題介紹

（九）不等式的應用

例題介紹

（十）綜述

軟件（數學公式編輯器，幾何畫板，lingo,matalab等）

正文：

一不等式的概念

不等式在我們的日常生活中很常見，它是與等式相對的一個概念。為了給不等式一個準確

的概念，下面我介紹一下集合論的簡潔學問。

“集合論創始人Cantor稱集合為一些確定的、不同的東西的總體，這些東西，人們能夠意

識到，并且能推斷一個給定的東西是否屬于這個總體。”口］

定義1：如果a是集合A的元素，則稱a屬于A,記作aw4反之，如果a不是集合A的

元素，則稱a不屬于A,記作acA。［2］

定義2：如果集合A和B的元素完全相同，則稱A和B相等，記作A=B,如果集合A

中的每一個元素都是集合B中的元素，稱A包含于B,記作A=B（當B中還有不屬

于集合A的元素，則稱A真包含于B,記作AuB）。［3］

列出集合的元素的方式，一般采納枚舉法、描述法和歸納法。其實我們可以將不等式歸為

一類集合，如下：

U=｛不等式｝="（%,孫孫…）NO或者/'（尤|,七,工3,…）＞。"（內，工2，當，…）為一個定義

在實數集R上的函數｝。

一般地，在數學上，不等式表明兩個對象的大小或者挨次的二元關系。不等關系主要有四

種：

將兩個表達式用不等符號連起來，就構成了不等式。若不等關系對變量的全部元素都成立，

則稱其為“肯定的”或“無條件的”。若不等關系只對變量的部分取值成立，而對另一部分

將轉變方向或失效，則稱為條件不等。我們現在就引入集合的幾種運算，從集合理論中來

對它進行更深刻的熟悉。

依據上面的定義，我們就可以推出下面的運算性質：

定理1：設E為全集，則對任意子集A,B,C而言，我們有如下的結論:

它們的證明可以參看朱梧橫、肖奚安教授所著《集合論導引》25頁的證明。

要理解不等式，其實質上是“不等”，我們就采用上面的學問來闡釋“不等”。當然我們還

要一個概念一一卡氏積，下面就來介紹卡氏積。

首先，我們給出“序偶”的概念。1921年，K.Kuratowsk給出的定義，也是我們現在普遍

采納的一種。

然而卡氏積這個概念與不等式的關系不大，假如我們將不等式中的“不等”單獨地提出來

看，其實不等式中核心的部分是不等這個關系，因此我們需要“關系”這個數學概念。因

此我們就用上面的所建立的卡氏積概念來定義，如下：

現在我們來對關系的運算進行說明，首先定義六個基本的二元關系的特性，依次為自反性，

反自反性，對稱性，反對稱性，擬反對成性和可傳性，然后而我們采用這些特性來對關系

分類。關系的這些特性是從實際生活中抽象出來寫成數學語言，現在就列在下面：

上面所列舉的特性對于“不等式”中的不等關系是成立的，由于等式與不等式相對應，先

給出一個簡潔的關系一一等價關系。

我們現在能夠理解“=”是等價關系，由于“=”滿意自反性，對稱性，傳遞性。那么，“不

等”的性質在下面作出具體的介紹：

定義92非空集合4上的二元關系R如果滿足下述條件，貝皴定義為A上的偏序

關系：

RQAXA&R[ref]&R[asym]&R[tra]

我們經常用4表示偏序關系。下面我門定義一個稱作全序的概念：

定義92非空集合4上的偏序關系R如果滿足下述條件，貝皴定義為A上的全序

關系：

RcAxA&VaV仇aeA&b￡A=>a<<b)

我們經常用表示4?全序關系，顯然我們育幽得出這樣的結論一全序一定是偏序，

這里舉幾個例子來說蝌一點：

正整數集合N+上的整除關系|上偏序關系，不是全序這里用(N+,|)來表示。下

面給出I關系在N+的定義：tn,neN+,若n=m,其中AeN*,則加|〃，記作<m,

現在來驗證|滿足偏序的幾個條件，(1)自反性，因為zeN+,〃=，〃，則

<〃,〃>耳；(2)反對稱性，當<n,m>€N",<m,n>wN*,即〃|加，有m=k?〃，m",

有n=l,m>k,leN+,則Z?/=l,k=l=\,故％=/。(3)傳遞性，如果<.m,s>e|,HP

n\m,m\s,有tn=k?n,s=I?m,則S=即〃|s,<>e),因此|滿足傳遞性。

下面我們來舉例子說明|不是全序關系，<3,7>/，<7,3>史|,不滿足全序關系的定義。

依據上面集合理論，我們常常使用的“不等”關系明顯的是屬于全序關系，現在我們給出

一個稱為嚴格全序關系的定義：

現在我們可以將不等式大致地分為兩類，一類是用或“>”表示的不等式，它明顯的

是屬于嚴格全序關系；另一類是用"W”或"之”表示的不等式，它屬于全序關系。因此我

們就可以定義不等式了，即兩個代數式滿意全序關系。依據上面的介紹，可以得出不等式

的基本性質。

二不等式的基本性質

上面兩共性質是直接可以采用全序關系之直接得出，而我們特殊的留意到全序關系的特殊

性，因此我們有：

下面對于運算有另一些性質：

我們可采用這四條性質導出更多的式子，例如下面一些：

我們列舉兩個例子來進行證明：

三不等式的分類

在世界上，不等關系遠遠多于相等關系，而我們知道關系是可以進行分類的，下面我們介

紹幾重分類方式，以關心同學進行更好的記憶及應用。我們知道，對關系進行分類，我們

需要對集進行全面的了解，而不等式是如此之多，但我們很簡潔的得出一種分類方式，及

采用全序與非全序得到兩種不等式，依據它們自身的性質，其中區分是全序具有

即當a4則a=4對于"<"關系不成立。

然而這樣的分類并沒有怎樣在同學學習有任何大的關心，于是我們探求更好的分類的方式。

在高中階段，學習的都是初等不等式，一般書上都是分成幾類經典的不等式，如均值不等

式、幾何不等式、柯西不等式、琴生不等式等，這樣的分類能夠讓同學更加簡潔把握并應

用。但是它并沒有將初等的不等式進行完整的概括。為了更全面的熟悉，首先引進函數的

概念，由于不等式的兩端可以看作一個函數，例如

"a2+b2>20,我們可以看作是函數1(x,y)=x2+與函數=2xy,即/(x,y)

現在我將對初等函數進行分類，如下：

多項式函數：(常數函數看作是零多項式函數)

指數函數：--------------------

對數函數：---------------------

三角函數：---------------------

反三角函數：--------------------

因此我將依據初等函數來對不等式進行分類，高中不等式的種類也許可以分成

=31種。這樣，我們就可以很簡潔的將全部初等多項式做完整的

分類。這里再提出一類重要不等式，肯定值不等式，它可以由我們的多項式函數表示出來，

如y=|x|=日。還有我們所熟知的數列不等式，以及組合不等式，我們可以看作他們的定

義域是在N上的函數，例如S(〃)=%?等。

現在我們來證明我們的分類是成立的。

首先，我們記L1為多項式函數類，L?為指數函數類，L3為對數函數類，L,三角函

數類，Ls為反三角函數類L12表示含有指數函數與多項式函數類，依次類推就

可以將31類表示出來。

現在我們來進行證明，L,jiijcLjjjjj=0,其中iJziai，*j』力3上/（注：

沒有次序，例如是相同的與也是相同的）如黑

?/J463,31J1313libelscLJJ“2J3Jm4J3

工0,那么存在一個元素teLji…月.xeLgii，即x這個不等式中必然存在既有

?ihbUijJ1J2J3J4J5

Ly兒，兒，j,L%,以及Lj「L，以，Lj,,Lj$中的兀素（注：匕，兒，L/

Lj,Lj可能有相同的元素，Lj,L.,LJ,Lj可能有相同的元素），因此我

U15JlJ2J3PJ4J5

們只需要證明L「L2,L3,L4,L5兩兩之交非空，這個懿是成立的。因為在碘

函數類兩兩之交非空，那么組成的不等式的豁的交也是非空的。途需要指出的

是，｛/>0｝eL2。這里特別說明的是對手不等式一段只有0的這種情形，應當將它

歸類為另一端的函