高等學校課程思政課堂教學設計表

課程名授課

《高等數學》大一工科類專業學生授課教師謝楊曉潔

稱對象

授課內

《數列的極限》學時2

容

課程類

A.公共基礎課程；B專業教育課程；C實踐類課程

型

1理解數列極限的概念，掌握數列極限的運算法則；

教學目

2培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；

標3引導學生養成獨立思考和深度思考的良好習慣；

4培養學生的文化自信，對中國的學術自信.

課程思政元

中國自信、愛國情懷。

素

課程思融入知識點數列極限

政設計融入方式引例

序資源名稱附件

融入資源作者來源描述（描述資源的詳細內容，100-300字內）

號《人物或事件（整理在文件夾中，文件夾中資源名稱必須與此資

名稱?內容簿單源名稱相間/填寫奧源網絡連按，資源細息現頰謂寫

描述）清視順所要時長）

《莊子?天來源

1莊子戰國時代哲學家莊周所著httpsvrrw.net/wx/46984.html

下篇》網絡

融入案例數列

教學實施

引例戰國時代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：“一尺之梅，日取其半，萬世不竭這句話的意思是：一根一尺

長的木棍，每天截去它的一半，很多天后，木棍的長度會很短，隨著天數的增加，木棍的長度會越來越短，當天數無限增大時，木棍的

教學引

長度會無限接近0,但永遠不為0.?在莊周思想中體現了一種數列極限思想，今天我們來學習數列極限。引例用數學語言可表述為，

入

已知數列2482"，簡稱仁人

I.組織教學：復習舊知：初等函數

D、新課教學

一、數列極限的定義

定義對于數列當"f8時就稱A為“->8時數列的極限，記作：叫《二A

1現疑「夕IJ雙劃刖貨化限為，^LtilEIIJirjtKPRn..1.2.3.4.5.->0D

,,

1.1111-?o..

(1)一.?一.t-A一.?

(1)a?=-(2)??=3--yh2345

nn

3-g->3

教學展(2)a,=3--J-P3--.3--.3--.3--

(3)為=§)"<4)q=714916

開11JL1->0..

⑶a,..、一

2481632

7.7.7.7.7，??.-?7.,

⑴lima一=lim-=0(4)a.?7，

1f⑴lim二=0(a>0)

(2)lima=lim(3—r)=3"一""

可以看出，它們的極限分別是：……/一般地，有下述結論：(2)1imq”=0(|司<1)

⑶則…嗎『=0(3)limC=C(。為常數)

(4)lima=Iim7=7

例2求lim"+(T『解原式=|心仁+色==1+0=1

2*nzoc〃fi

例3求12當解lim衿=lim一號=：

is3〃+4=3〃+4283+，3

〃

課堂練習：

觀察下列數列｛4｝在〃TR時4的變化趨勢，寫出他們的極限：

(1)a,=—<2)”“=(4)”——(3)?n=5(4)a?=~—―-

"3""n+2"3M+5

四.作業1.2..5.6

教學總

本節重點介紹了數列極限的概念，重點在讓學生學會利用數列極限的計算：在解決例題討論過程中培養學生的邏輯思維、辯證思維和創

結新思維能力；同時通過案例的引入讓學生產生文化自信

目標達1.通過課堂練習，檢測學生知識、技能的掌握情況；2.凝練價值元素，實現價值引領；

成檢測3,通過課外作業，檢測學生知識的掌握與運用能力：4.通過課外學習任務，實現數學文化的價值引領功能，培養探索與鉆研精神

教學反

思

高等學校課程思政課堂教學設計表

課程名授課

《高等數學》大一工科類專業學生授課教師謝楊曉潔

稱對象

授課內

《函數極限和函數的連續性》學時4

容

課程類

A.公共基礎課程；B專業教育課程；C實踐類課程

型

1理解函數極限的概念,了解極限存在準則；掌握函數極限的運算法則

2理解兩個重要極限的運算法則

教學目

3理解函數連續性的定義，了解間斷點的定義及類別；掌握函數在定義區間上的連續性的判斷

標4培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；

5引導學生養成獨立思考和深度思考的良好習慣；

6培養學生的文化自信，對中國的學術自信。

課程思政元

課程思中國自信、愛國情懷。

索

政

融入知識點極限

設計

融入方式引例

資源名稱附件

序

（人物或，件（整理在文件夾中，文件夾中資源名稱必須與此資

作者來源描述（描述資源的詳細內容，100-300字內）

號名稱?內容簡單源名稱相同/填寫資源網絡連接，費源如是視頻調寫

融入資源

描述）清視族所要時長）

《莊子?天來源

1莊子戰國時代哲學家莊周所著https://www.vrrw.net/wx/46984.html

下篇》網絡

融入案例極限

教學實施

引例戰國時代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：“一尺之梗，日取其半，萬世不竭這句話的意思是：一根一尺

長的木棍，每天酸去它的半，很多天后，木棍的長度會很短，隨著天效的增加，木棍的長度會越來越短，當天數無限增大時，木棍的

教學引

長度會無限接近0,但永遠不為0.?在莊周思想中體現了一種數列極限思想，今天我們來學習數列極限。引例用數學語言可表述為，

入

已知數列2482"，簡稱12J.

2函數極限定義一一KT8（自變量趨向于無窮大）

當時，函數/（X）T/4（確定的常數），則稱其為函數/⑸當XT8時的極限，記作蚓〃K）=A.

例3反正切函數，'=arctanx.

limarctanx=--,limarctanx=—,故Hmarctanx極限不存在.

LY2X-**?2

例4反比例函數.y=,lim-=0,lim-=0,故linJ=O.

Xx-Xx-xx->oc-x

極限的運算法則

(I)lim[/(A)±/?(x)]=4±5=lini/(x)±lim.i?(A)；

則⑵

定理在白變量的同一變化趨勢下，若lim/(x)=Alimg(x)=兄

當/心(時.|加綱=4=嗎義.

(3)

g(.r)Blimg(x)

特別地，有吧為常數)：lim[/(x)y=A"=lim/(x)

例5求!i?(x?+2x-3).解lim(.v*+2x-3)=limA2+Iim2x-lim3=4+4-3=5

E2X->2XT2

2

8尸一x+9lim(8A--JV+9)g

例6求lim解hn:-------------

■trO5x+2I5x+2lim(5x+2)—-2

x-^0

解先化簡再計算，物(士一七)=lim"+3-6=J=1

例7求lim|jm

、fO(:+3)(x-3)*w(x+3)6

例8lini(x2+3A)解liin(x2+3x)=limxz+liin3x=2:+3x2=4-6=10

二第一重要極限

定義1lim—=1(等價形式=

Dxsinx

4.2sin.v32sin.vsinx___x.-2.-4.-10TOO.-1000“—>-o.

例1求hm-----.解hm-----=2hm----=2x1=2

x-f0xk.r-*0刀

2.71842

（周4.3185.286797.273200271%64

mi-4-sinx5sinx1..sinx1,1

例2求hm---解hm----=-.im----=-xl=-X.2.4.10100igo10000-->4?(1

I。2xe2xx22(HJ

2.252.4412S94.2.705?2117.2.71S

第二重要極限

我們再來研究當.1->+00戶->—時，函數(l+gj的變化趨勢，如卜表：

可以看到，當x->口時，函數("■!■)一6即=e.

定義2liin(l+—)x=e(等價形式lim(l+x)'=e)

2Xi

2i

例6求lim(l+丁),解|im(l+—),=lim(l+—)2^=liin(1+—)2;=［14?1(1+—)2r'=/

2x-B2x2x-L2xJ2x.

例7求產解山】1(1」產=出』(1」尸］=，z

X廿Xx-RX?—|_XJ

三函數連續的定義

定義1若函數〃力在點人滿足下列三個條件：

(1)在"=%處有定義，即/(X.)是一個確定的數：

(2)極限!噎J(x)存在；

(3)極限值等于函數值，即變/3=/(仆).則稱函數)，=/(犬)在點x=。處連續.

定義2如果笈J(x)=fW,則稱y=/(x)在/處右連續.如果㈣/口卜八七)，則稱y=/(x)在與處左連續.

定義3如果函數y=〃x)在開區間(a5)內每一點都連續，則稱函數在開區間(4〃)內連續：如果函數y=/(x)在開區間力)內每一點都

連續，且在左端點右連續，在右端點左連續，則稱函數f(x)在閉區間［a,b］上是連續的.

例1通過畫圖判斷函數/(x)=x是連續的.解由畫圖可知函數/(*)="是連續的。

函數的間斷性定義4如果函數/(“)在點不有下列三種情形之一：

2在"=.%處無定義：b在x=*o有定義，但日”（X）不存在；c在X=/有定義，變f（x）存在，但巴”

則稱函數/（X）在點處間斷或不連續，點.%稱為/（X）的間斷點或不連續點.

間斷點：當XT%時，“X）的左、右極限都存在的間斷點與,稱為第一類間斷點.

左、右極限至少有一個不存在的點稱為第二類間斷點.

例2判斷反比例函數y=q在x=0的連續性。

解因為y=1在X=（）處沒有定義，所以x=0為函數.y=1的間斷點.'、一

XX---------------------------?

（-1r<0

例3判斷函數/（人）=J1在4-0的連續性。

解16/。）=叫-1=-1,liip/（x）=liipl=l咖/（x）工勤/（X）,所以X=O為該函數的間斷點，且為第一類間斷點.

VxW0

例4討論函數>=/（"=]c在x=0處的連續性.

—x>0

x

解J可/（工）=岬*2=0,lini/（A）=limi=+oo（不存在）

所以x=0是/（x）的間斷點，且實第二類間斷點.

-XA<0

例5討論函數/("=41X=O在x=0處的連續性.

x2x>0

limf(.r)=lim(-A)=OJim/(.v)=limx2=0

解因為iol)"-?0"->0"-?0，

呵(X)施=。處間斷，0足第類間斷點

四.作業1.2..

教學總

本節重點介紹了/函數極限的概念，函數連續的概念，重點在讓函數極限的運算法則；在解決例題討論過程中培養學生的邏輯思維、辯證

結思維和創新思維能力：同時通過案例的引入讓學生產生文化自信

目標達L通過課堂練習，檢測學生知識、技能的掌握情況：2.凝練價值元素，實現價值引領：

成檢測3.通過課外作業，檢測學生知識的掌握與運用能力：4.通過課外學習任務，實現數學文化的價值引領功能，培養探索與鉆研精神

教學反

思

高等學校課程思政課堂教學設計表

課程名授課

《高等數學》大一工科類專業學生授課教師謝楊曉潔

稱對象

授課內

《導數概念和求導法則》學時4

容

課程類

A.公共基礎課程；B專業教育課程；C實踐類課程

型

1了解導數的定義與求導數的方法；

教學目2掌握求導的基本公式，掌握四則運算求導法則

3培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；

標

4引導學生養成獨立思考和深度思考的良好習慣；

5培養學生的文化自信，對中國的學術自信。

課程思政元

中國自信、愛國情懷。

素

課程思

融入知識點導數

政設計

融入方式引例

融入資源序資源名稱作者來源描述（描述資源的詳細內容，10CF300字內）附件

號（人物或事件（整理在文件夾中,文件夾中資源名稱必須與此資

名稱?內容簡單源名稱相同/填寫資源網絡連接，資源如是視頻調寫

描述）清視版所要時長）

《莊子?天來源

1莊子戰國時代哲學家莊周所著https://www.vrrw.net/wx/46984.html

下篇》網絡

融入案例導數

教學實施

引例戰國時代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：“一尺之趣，日取其半，萬世不竭這句話的意思是：一根一尺

長的木棍，每天截去它的一半，很多天后，木棍的長度會很短，隨著天數的增加，木棍的長度會越來越短，當天數無限增大時，木棍的

教學引

長度會無限接近0,但永遠不為0..在莊周思想中體現了種數列極限思想，今天我們來學習數列極限。引例用數學語言可表述為，

入

已知數列2482"，簡稱12人

I.組織教學：復習舊知：極限

U、新課教學

一導數的概念

定義2若極限lim包=lim以主回衛區存在,則稱/（X）在點與可導，且稱此極限值為/（月在點X。處的導數.記作/'（.），或

)h'史Xf'寮F'即/'(%)=%=馴,"+0一.若上述極限不存在，則稱函數八X)在凡點不可導.

例1求函數/C0=C(C為常數)的導數.

教學展解f(x)=lim---------'=hm--------=0

A(fOAYAifOAy

開即(。'=0

例2用定義計第產3X+1的導數

a，，/、1-/(.r+AA)-/(.v)..3(x4-Ar)+1-(3.r+l)..3.V+3AA+1-3^-13Axo

解f\x)=Inn-----------八=lim--------------------------=Inn-------------------------=Inn——=3

Ai—0A—Av-M)AirOAyAi->0/\y

上述公式可推廣到任意整數恭的情況，即（工"）=4，1特別地=1^'

22?

例8求正弦函數y=9inx導數.

,zkv

.sin一

Ai(Ar]

解Ay=sin(x+Ax)-sinx=2cos]x+一lim—=lim-—2-C：)S.v+——=COSX.UP(sin.t)=cosx.

2Ax->0ZAjMAtI2)

T

導數的基本公式

(C)'=0(》常數)：(X。)'=ax"T(a為任意實數)；(a1)=?*Ina?><>,?*1；(/)'=";

0U)=tin”；(Mx)=v；(sinx)-cos.r：(cosA)--sinx;

例1求⑺‘解⑺'=0例2求(4，j解(4*y=4'ln4例3求(log/)'解(蜒㈤'=+

函數和、差的求導法則=〃，(x)±/(x)，簡記為(〃±D)="'土!/.

例4求y=sinx-lnx的導數解y-(sinx)r-(ln.v)f=cosx--

例5求y=f-丁7+3的導數.解：/=(x4-.r-X+3/=(.v4)r-(x2/-(-v/+3*=4.v3-2A-1

函數積商求導法則

(“、,)'=八+3=s目=在券

例7求5=/&+2)的導數解y=(/)<./+2)+e"(/+2)'=ex(x2+2)+ex-2x=ex(x2+2A-+2)

223

例8求y=(2.F+3)(3x—2)的導數解/=(2x+3)73x-2)+(lx+3)(3x-2))=4x(3x—2)+(2/+3)?3=18A-8.r+9.

例9求y=/-sinx的導數解jsinx+x?.(sinx)，=2tsinx+x%osx

ysi新短、.，,siiu，(sinr)'co，t-siru?o，t)'cos2A+sin2Ji1

例1i0n求y-tanx的導數解y=(----)=----------；---------=------；----=———=sec2x

COSA-cosxcos'*cos'x

㈤-七/_2..，-2)(丁+3)-，-2)(丁+3)'2*，+3)-(1-2)(31)7+6/+6x

例11求k爐+3的導數解-，+3-=C/+3),=，+?

四.作業1.2..

教學總

本節重點介紹了導數：在解決例題討論過程中培養學生的邏輯思維辯證思維和創新思維能力：同時通過案例的引入讓學生產生文化自信

結

目標達1.通過課堂練習，檢測學生知識、技能的掌握情況；2.凝練價值元素，實現價值引領；

成檢測3.通過課外作業，檢測學生知識的掌握與運用能力：4.通過課外學習任務，實現數學文化的價值引領功能，培養探索與鉆研精神

教學反

思

高等學校課程思政課堂教學設計表

課程名授課

《高等數學》大一工科類專業學生授課教師謝楊曉潔

稱對象

授課內

《復合函數求導和高階導數，洛必達法則》學時4

容

課程類

A.公共基礎課程；B專業教育課程；C實踐類課程

型

1理解數列極限的概念，掌握數列極限的運算法則；

教學目

2培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；

標3引導學生養成獨立思考和深度思考的良好習慣；

4培養學生的文化自信，對中國的學術自信.

課程思政元

中國自信、愛國情懷。

素

課程思

融入知識點導數

政

融入方式引例

設計

序資源名稱附件

融入資源作者來源描述（描述資源的詳細內容，100-300字內）

號《人物或事件（整理在文件夾中，文件夾中資源名稱必須與此資

名稱?內容簿單源名稱相間/填寫奧源網絡連按，資源細息現頰謂寫

描述）清視順所要時長）

《莊子?天來源

1莊子戰國時代哲學家莊周所著httpsvrrw.net/wx/46984.html

下篇》網絡

融入案例導數

教學實施

引例戰國時代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：“一尺之梅，日取其半，萬世不竭這句話的意思是：一根一尺

長的木棍，每天截去它的一半，很多天后，木棍的長度會很短，隨著天數的增加，木棍的長度會越來越短，當天數無限增大時，木棍的

教學引

長度會無限接近0,但永遠不為0.?在莊周思想中體現了一種數列極限思想，今天我們來學習數列極限。引例用數學語言可表述為，

入

已知數列2482"，簡稱仁人

I.組織教學：復習舊知：導數概念

U、新課教學

一、宜合函數的導數

教師講述曹聰稱象的故事，啟發學生得出曹聰稱象的方法，并將此方法遷移到復合函數求導中，以此得到更合函數求導的鏈式法則，

引導學生歸納總結上述y和X之間的聯系，學生根據老師的講述主動進行知識遷移，理解復合函數求導的鏈式法則，掌握其求解步驟。

［記錄筆記;通過對普聰象故事和鏈式法則的講解，將中國古人的智慈和數學的邏輯美、對稱美進行展示，增強大家的民族自豪感，激發

大家的學習積極性。）

定理如果函數〃=夕（處在點'處可導，而函數），=/（〃）在對應點〃=以用處可導，則其合函數.、，=八但切在點A?處可導，且其導數為

)'=/'(")?o'")=0'(x)

教學展

開復合函數的求導法則（鏈式法則）：簡記為城=

推論若函數），=/（"），"=奴u），u=Wx）分別在對應點處可導，那么復合款數5=數。［必必）在點X處可導,且W=—

例1求復合函數y=（2.r+l『的導數解令.、，=/,〃=2r+l,則），：=5〃'“=2,所以乂=），：?“：=5/-2=10/=IO（2x+1）4

例2求且合函數y=cos(7x-4)的導數解4-y=cos?.z/=7x-4,則y：=-sin〃,〃；=7,所以才=)].“：=-sin〃7=-7sin(7x-4)

例3求且合函數y=e3i的導數解令y=e",〃=3x-2,則/=乙“：=3所以"="'?“；=/.3=Ji3=？*〃

例4求豆合函數y=h】cosx的導數解：令y=ln“,〃=cosx,sin.v所以'=L(-sinx)=~^S=Tanx

llucotix

二、高階導數

定義函數產/（X）的導數＞'=/'（、），我們把￥'=/'"）的導數（"=［八刈,叫做函數產/（"的二階導數，記為.、"，八為或富.

函數，=/W二階導數的導數叫作函數y=/（.r）的三階導數，三階導數的導數叫作四階導數，…….一般地，y=f（x）的（〃-1）階導數

的導數叫做y=/（x）的”階導數，分別記作），⑷或/（/）,/*）⑺,…/（X）⑻二階及二階以上的導數統稱為高階導數.

例5求指數函數＞，=28的二階導數.轆/=（2e，=2e，；/=（2^）=2/

例6y=sinx求它的四階導數解y'=cosx/=-sinx,＞'"="cos.ry（4）=sinx

例7y=2x'+1.求它的三階導數解y=6.ry'=12x,yM=12

四.作業1.2..

教學總

本節重點介紹了復合函數和高階導數，重點在讓學生學會計算：在解決例題i寸論過程中培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力：

結同時通過案例的引入讓學生產生文化自信

目標達

1.通過課堂練習，檢測學生知識、技能的掌握情況；2.凝練價值元素，實現價值引領；

成檢測3.通過課外作業，檢測學生知識的掌握與運用能力：4.通過課外學習任務，實現數學文化的價值引領功能，培養探索與鉆研精神

教學反

思

高等學校課程思政課堂教學設計表

課程名授課

《高等數學》大一工科類專業學生授課教師謝楊曉潔

稱對象

授課內

《微分》學時2

容

課程類

A.公共基礎課程；B專業教育課程；C實踐類課程

型

1了解微分的法本公式,微分i云算；

教學目

2培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；

標3引導學生養成獨立思考和深度思考的良好習慣；

4培養學生的文化自信，對中國的學術自信.

課程思政元

中國自信、愛國情懷。

素

課程思

融入知識點微分

政

融入方式引例

設計

序資源名稱附件

融入資源作者來源描述（描述資源的詳細內容，100-300字內）

號《人物或事件（整理在文件夾中，文件夾中資源名稱必須與此資

名稱?內容簿單源名稱相間/填寫奧源網絡連按，資源細息現頰謂寫

描述）清視順所要時長）

《莊子?天來源

1莊子戰國時代哲學家莊周所著httpsvrrw.net/wx/46984.html

下篇》網絡

融入案例微分

教學實施

引例戰國時代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：“一尺之梅，日取其半，萬世不竭這句話的意思是：一根一尺

長的木棍，每天截去它的一半，很多天后，木棍的長度會很短，隨著天數的增加，木棍的長度會越來越短，當天數無限增大時，木棍的

教學引

長度會無限接近0,但永遠不為0.?在莊周思想中體現了一種數列極限思想，今天我們來學習數列極限。引例用數學語言可表述為，

入

已知數列2482"，簡稱仁人

I.組織教學：復習舊知：導數

II、新課教學

一微分的定義

定義設函數y=/(x)在點工處可導，則稱r(x)-為函數y在點X處的4由于去=x'&=Ax,所以微分又可以記為4y=)4或

dy=r(x)公.由此可知，/'(x)=曰可看成函數的微分與白變量的微分的商：微商).由微分的定義可知，函數可微與可導是等價的.

例1求函數V=x2在x=l,公=0.1時的改變量及微分.

教學展

解Ay=(JC+Ar)2-x2=1.12-P=0.21y'-2x,"1=23].日=2所以力=y'〃=2xdv=2x0.l=0.2由=廣&=2.0.1=0.2

開

二、微分公式與微分運算法則

從函數微分的定義內=/'(1)公可見，計算函數的微分，只要先求出函數的導數，然后乘以小即可.從導數的基本公式和運算法則，可以

直接推出微分的基本公式和運算法則.

1.微分的基本公式

d(C)=0(C為常數)。d\nx=-dxdx,<=<,dsinx=cosxdx

X

aa'=a'Inadx=dcosx=-sinxdxde'=e'dxdlogax=—^—dx.

Alnrz

2函數和、差、積、商的微分法則cl(u±v)=du±dvd(uv)=vdu+udvd(2)='而二d(Cu)=Cdu

zV)廣

例2求y=V+sinx的微分.解)，'=，+sinx)'=(x')'+(sinx)'=3x2+cosxdy=y'dx=(3.v2+cosx)dx

例3求)，="2|nx的微分.解y'=(j2yInx+A'(lnx)r=2.vlnx+x2?—=.v(2lnx+l)dy=y'dx=x(2Inx+1kZv

X

例4求函數y=告的微分解“力(*：1)dy=>&dx

A+l(X+1)2(X+I)-(X+I)