第28講表面積與體積（二）

一、知識要點

解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：

（1）物體沉入水中，水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出，水面下

降部分的體積等于物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中，

那么派開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。

（2）把一種形狀的物體變為另一種形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變。

（3）求一些不規則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。

（4）求與體積相關的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定。

二、精講精練

【例題1】有大、中、小三個正方體水池，它們的內邊長分別為6米、3米、2米。把兩

堆碎石分別沉在中、小水池里，兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎

石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？

中、小水池升高部分是一個長方體，它的體積就等同于碎石的體積。兩個水池水面分別

升高了6厘米和4厘米，兩堆碎石的體積就是3X3X0.06+2X2X0.04=0.7（立方米）。把它

沉到大水池里，水面升高部分的體積也就是0.7立方米，再除以它的底面積就能求得升高了

多少厘米。

3X3X0.06+2X2X0.04=0.7（立方米）

0.7+6的平方:7/360（米）=1又17/18（厘米）

答：大水池的水面升高了1又17/18厘米。

練習1：

1、有大、中、小三個正方體水池，它們的內邊長分別為4米、3米、2米。把兩堆碎石

分別沉沒在中、小水池的水中，兩個水池的水面分別升高了4厘米和11厘米，如果將這兩堆

碎石都沉沒在大水池中，那么大水池水而將升高多少厘米？

2、用直徑為20厘米的圓鋼，鍛造成長、寬、高分別為30厘米、20厘米、5厘米的長方

體鋼板，應截取圓鋼多長（赭確到0.1厘米）？

3、將表面積為54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三個鐵質正方體熔鑄成一個

大正方體（不計損耗），求這個大正方體的體積。

【例題2】一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長和寬都

是8厘米、高是15厘米的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？

在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中，還是部分沉入水中。如果鐵塊是全部沉入水

中，排開水的體積是8X8X15=960（立方厘米）。而現在瓶中水深是8厘米，要淹沒15厘米

高的鐵塊，水面就要上升15—8二7（厘米），需要排開水的體積是（3.14X10X10—8X8）X

7=1750（立方厘米），可知鐵塊是部分在水中。

當鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積就是3.14X10X10—8X8=250（平方厘米）。

水的形狀變了，但體枳還是3.14X10X10X8=2512（立方厘米）。水的高度是2512?

250=10.048（厘米），上升10.048—8=2.048（厘米）

3.14X10X10X84-<3.HX10X10—8X8）—8

=25124-250—8

=10.048—8

=2.048（厘米）

答：水面上升了2.048厘米。

練習2：

1、一個底面積是15平方厘米的玻璃杯中裝有高3厘米的水?，F把一個底面半徑是1厘

米、高5厘米的圓柱形鐵塊垂直放入玻璃杯水中，問水而升高了多少厘米（口取3）?

2、一個圓柱形玻璃杯內盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯內側的底面積市2平方里。在

這個杯中放進棱長6厘米的E方形鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊，這時水面高多少厘米?

3、在底面是邊長為60厘米的正方形的一個長方形容器里，直立放著一個長100厘米、

底面邊長為15厘米的正方形的四棱柱鐵棍。這時容器里的水50厘米深。現在把鐵棍輕輕地

向上方提起24厘米，露出睡眠的四棱柱鐵棍浸濕部分長多少匣米？

【例題3】某面粉廠有一容積是24立方米的長方體儲糧池，它的長是寬或高的2倍。當

貼著它一最大的內側面將面粉堆成一個最大的半圓錐體時，求這堆面粉的體積（如圖28T所

示）。

圖28-1

設圓錐體的底面半徑是r,則長方體的高和寬也都是r,長是2r。長方體的容積是2rXr

Xr二24,即r的立方二12。這個半圓錐體的體積是1/3XHr的平方Xr+2=l/6rir的立方，

將r的立方二12代入，就可以求得面粉的體積。

設圓錐體的底面半徑是r,則長方體的容積是2rXrXr=24,r的立方二12。

1/3X3.14Xr的平方Xi、+2

=1/6X3.14Xr的立方

=1/6X3.14X12

=6.28（立方米）

答：這堆面粉的體積是6.28立方米。

練習3：

1、已知一個圓錐體的底面半徑和高都等于一正方體的棱長，這個正方體的體積是216立

方分米。求這個圓錐體的體積。

練習4：

1、如果把長8厘米，寬7厘米，高3厘米的2件同樣的長方體物品打包，形成一件大的

包裝物，有兒種包裝方法？怎樣打包，物體的表面積最??？

2、一個精美小禮品盒的形狀是長9厘米，寬6厘米，高4厘米的長方體。請你幫廠家設

計一個能裝10個小禮品盒的大紙箱，你覺得怎樣設計比較合理？為什么？

3、一包香煙的形狀是長方體，它的長是9厘米，寬是5厘米，高是2厘米。把10包香

煙包裝在一起形成一個大長方體，稱為一條?？梢栽鯓影b？算一算需要多少包裝紙（包轉

念能夠紙的重疊部分忽略不計）。你認為哪一種包裝比較合理？

【例題5】一只集裝箱，它的內尺寸是18X18X18?，F在有批貨箱，它的外尺寸是1X4

X9。問這只集裝箱能裝多少只貨箱？

因為集裝箱內尺寸18不是貨箱尺寸4的倍數，所以，只能先在18X16X18的空間放貨

箱，可放18X16X184-（1X4X9）=144（只）。這時還有18X2X18的空間，但只能在18

X2X16的空間放貨箱，可放18X2X164-（1X4X9）=16（只）。最后剩下18X2X2的空間

無法再放貨箱,所以最多能裝144+16=160（只）。

18X16X18+（1X4X9）+18X2X16+（1X4X9）

=144+16

=160（只）

答：這只集裝箱能裝160只貨箱。

練習5：

1、有一個長方體的盒子，從里面量長為40厘米、寬為12厘米、高為7厘米°在這個盒

子里放長5厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊，最多可放幾塊？

2、從一個長、寬、高分別為21厘米、