第13周長方體和正方體（一）

專題簡析

在數學競賽中，有許多有關長方體、正方體的問題。解答稍復雜

的立體圖形問題要注意幾點：

1,必須以基本概念和方法為基礎，同時把構成幾何圖形的

諸多條件溝通起來；

2,

2,依賴已經積累的空間觀念，觀察經過割、補后物體的表面積

或體積所發生的變化；

3,求一些不規則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。

例題1一個零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立

方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位：厘米）

分析（1）可以把零件沿虛線分成兩部分來求它的體積，左邊

的長方體體積是10X4X2=80（立方厘米），右邊的長方體的體積是

10X（6-2）X2=80（立方厘米），整個零件的體積是80X2=160（立

方厘米）；

（2）求這個零件的表面積，看起來比較復雜，其實，朝上的兩

個面的面積和正好與朝下的一個面的面積相等；朝右的兩個面的面積

和正好與朝左的一個面的面積相等。因此，此零件的表面積就是（10

X6+10X4+2X2）X2=232（平方厘米）。

想一想：你還能用別的方法來計算它的體積嗎？

練習一

1,一個長5厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體，被切去一塊

后（如圖），剩下部分的表面積和體積各是多少？

2,把一根長2米的長方體木料鋸成1米長的兩段，表面積增加

了2平方分米，求這根木料原來的體積。

3,有一個長8厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體木塊，在它

的左右兩角各切掉一個正方體（如圖），求切掉正方體后的表面積和

體積各是多少?

二1

11

2,有一個棱長是4厘米的正方體，從它的一個頂點處挖去一個

棱長是1厘米的正方體后，剩下物體的體積和表面積各是多少?

3,如果把上題中挖下的小正方體粘在另一個面上（如圖），那么

得到的物體的體積和表面積各是多少？

例題3一個正方體和一個長方體拼成了一個新的長方體，拼成

的長方體的表面積比原來的長方體的表面積增加了50平方厘米。原

正方體的表面積是多少平方厘米？

分析一個正方體和一個長方體拼成新的長方體，其表面積比原

來的長方體增加了4塊正方形的面積，每塊正方形的面積是50-

4=12.5（平方厘米，正方體有6個這樣的面，所以，原來正方體的

表面積是12.5X6=75（平方厘米）。

練習三

1,把兩個完全一樣的長方體木塊粘成一個大長方體，這個大長

方體的表面積比原來兩個長方體的表面積的和減少了46平方厘米，

而長是原來長方體的2倍。如果拼成的長方體的長是24厘米，那么

它的體積是多少立方厘米？

2,一根長80厘米，寬和高都是12厘米的長方體鋼材，從鋼材

的一端鋸下一個最大的正方體后，它的表面積減少了多少平方厘米？

3,把4塊棱長都是2分米的正方體粘成一個長方體，它們的表

面積最多會減少多少平方分米?

例題4把11塊相同的長方體磚拼成一個大長方體。已知每塊

石專的體積是288立方厘米，求大長方體的表面積。

分析要求大長方體的表面積，必須知道它的長、寬和高。我們

用a、b、h分別表示小長方體的長、寬、高，顯然,a=4h,即h=l/4a,2a=3b

即b=2/3a,磚的體積是a*2/3a*l/4a=l/6a\由1/6a=288可知，a=12,

b=2/3*12=8,h=l/4*12=3。

大長方體的長是12X2=24厘米，寬12厘米，高是8+3=11厘米,

表面積就不難求了。

練習四

1,一塊小正方體的表面積是6平方厘米，那么，由1000個這樣

的小正方體所組成的大正方體的表面積是多少平方厘米？

2,一個長方體的體積是385立方厘米，且長、寬、高都是質數,

求這個長方體的表面積。

3,有24個正方體，每個正方體的體積都是1立方座米，用這些

正方體可以拼成幾種不同的長方體？用圖畫出來。

例題5一個長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，

這個長方體的長、寬、高以厘為為單位的數都是質數。這個長方體的

體積和表面積各是多少？

分析長方體的前面和上面的面積是長義寬+長X高二長X(寬

+高)，由于此長方體的長、寬、高用厘米為單位的數都是質數，所

以有209=11X19=11X(17+2),即長、寬、高分別為11、17、2厘

米。知道了長、寬、高求體積和表面積就容易了。

練習五

1,有一個長方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且

長、寬、高都是質數，那么這個長方體的體積是多少？

2,一個長方體的長、寬、高