第十三章立體幾何初步（單元重點綜合測試）一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．菱形ABCD在平面α內，PC⊥α，則PA與對角線BD的位置關系是()A．平行 B．相交但不垂直C．異面垂直 D．相交垂直【答案】C．【解析】因為PC⊥平面α，所以PC⊥BD.又在菱形ABCD中，AC⊥BD，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面PAC.又PA?平面PAC，所以BD⊥PA.顯然PA與BD異面，故PA與BD異面垂直．2．已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n【答案】C【解析】選項A，只有當m∥β或m?β時，m∥l；選項B，只有當m⊥β時，m∥n；選項C，由于l?β，∴n⊥l；選項D，只有當m∥β或m?β時，m⊥n.3.我國古代《九章算術》里，記載了一個“商功”的例子：今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈．問積幾何？其意思是：今有上、下底面皆為長方形的草垛(如圖所示)，下底寬2丈，長3丈，上底寬3丈，長4丈，高3丈．問它的體積是多少？該書提供的算法是：上底長的2倍與下底長的和與上底寬相乘，同樣下底長的2倍與上底長的和與下底寬相乘，將兩次運算結果相加，再乘以高，最后除以6.則這個問題中的芻童的體積為()A．13.25立方丈 B．26.5立方丈C．53立方丈 D．106立方丈【答案】B【解析】由題意知，芻童的體積為[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．4.已知圓臺的側面積(單位：cm2)為2π，且它的側面展開圖是一個半圓環(如圖所示)，則圓臺的下底面積與上底面積之差為()A．1cm2 B．πcm2C．eq\f(1,2)cm2 D．eq\f(π,2)cm2【答案】選B．【解析】設圓臺上、下底面半徑分別為r1，r2，因為圓臺的側面展開圖是一個半圓環，所以圓臺的側面積為eq\f(1,2)π(2r2)2－eq\f(1,2)π(2r1)2＝2π，所以πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝π，所以圓臺的下底面積與上底面積之差為πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝π；故選B．5．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1＝BC，P為C1D1的中點，則異面直線PB與B1C所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】選D．【解析】如圖，連接B1C，BC1，AD1，因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1＝BC，所以BC1⊥B1C.因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1是長方體，所以AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥B1C.因為AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1.因為PB?平面ABC1D1，所以B1C⊥PB，故異面直線PB與B1C所成角的大小為90°.故選D．6．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關系不確定【答案】選D．【解析】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時l1∥l4，可以排除選項A和C．若l4＝DC1，則l1與l4相交；若l4＝BA，則l1與l4異面；若l4＝C1D1，則l1與l4相交且垂直．綜上，l1與l4的位置關系不確定．故選D．7．如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結論中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】選C．【解析】因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC，又DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.又AC?平面ABC，AC?平面ADC，所以平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.故選C．8．已知四棱錐S-ABCD的所有頂點都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內，當此四棱錐體積取得最大值時，其表面積等于4＋4eq\r(3)，則球O的體積等于()A．eq\f(4\r(2),3)π B．eq\f(8\r(2),3)πC．eq\f(16\r(2),3)π D．eq\f(32\r(2),3)π【答案】選B．【解析】由題意可知四棱錐S-ABCD的所有頂點都在同一個球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內，當體積最大時，可以判定該棱錐為正四棱錐，底面在球大圓上，可知底面正方形的對角線長度的一半為球的半徑r，且四棱錐的高h＝r，進而可知此四棱錐的四個側面均是邊長為eq\r(2)r的正三角形，底面為邊長為eq\r(2)r的正方形，所以該四棱錐的表面積為S＝4×eq\f(\r(3),4)(eq\r(2)r)2＋(eq\r(2)r)2＝2eq\r(3)r2＋2r2＝(2eq\r(3)＋2)r2＝4＋4eq\r(3)，因此r2＝2，r＝eq\r(2)，所以球O的體積V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×2eq\r(2)＝eq\f(8\r(2)π,3)，故選B．二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)9．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB的中點，則下列結論正確的有()A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PCC．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC【答案】選ABC．【解析】因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正確；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中點，所以AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PC，故B，C正確；由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，因此PB與CD不垂直，從而PB不與平面ADC垂直，D錯誤．故選ABC．10．正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為棱BC和CC1的中點，則下列選項正確的是()A．BC1∥平面AQPB．A1D⊥平面AQPC．異面直線A1C與PQ所成的角為90°D．平面AQP截正方體所得截面為等腰梯形【答案】選ACD．【解析】對于選項A，P，Q分別為棱BC和CC1的中點，所以PQ∥BC1，利用線面平行的判定定理可得BC1∥平面AQP，所以A正確；對于選項B，在正方體中AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又A1D⊥AD1，AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，若A1D⊥平面AQP，則平面ABC1D1∥平面AQP，這與平面ABC1D1與平面AQP相交矛盾，所以B不正確；對于選項C，與選項B同理可證BC1⊥平面A1B1C，又PQ∥BC1，所以PQ⊥平面A1B1C，從而得到PQ⊥A1C，即異面直線A1C與PQ所成角為90°，所以C選項正確；對于選項D，在正方體中，平面AA1D1D∥平面BB1C1C，平面AQP∩平面AA1D1D＝AD1，平面AQP∩平面BB1C1C＝PQ，所以AD1∥PQ，所以平面AQP截正方體所得截面為四邊形APQD1，因為PQ≠AD1，AP＝D1Q，即四邊形APQD1為等腰梯形，所以D正確；故選ACD．11．如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結論不正確的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′－BCD的體積為eq\f(1,3)【答案】ACD【解析】因為平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因為CD∩A′D＝D，CD，A′D?平面A′CD，所以BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C＝90°，B正確，其余均不正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．12.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm.當細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的eq\f(2,3)(細管長度忽略不計).細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此圓錐形沙堆的高是________cm.【答案】eq\f(16,9)【解析】由題意得當細沙全部在上部時，底面半徑為2cm.高為4cm，所以體積為eq\f(1,3)×4π×4＝eq\f(16π,3)(cm3)，當細沙全部在下部時，底面半徑為3cm，高為hcm，所以體積為eq\f(1,3)×9π×h＝3πh(cm3).所以eq\f(16π,3)＝3πh，解得h＝eq\f(16,9).故答案為eq\f(16,9).13．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點E是SA上一點，當SE∶SA＝________時，SC∥平面EBD.【答案】1∶2【解析】連接AC，設AC與BD的交點為O，連接EO.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以點O是AC的中點．因為SC∥平面EBD.且平面EBD∩平面SAC＝EO，所以SC∥EO，所以點E是SA的中點，此時SE∶SA＝1∶2.14．一塊正方形薄鐵皮的邊長為4，以它的一個頂點為圓心，剪下一個最大的扇形，用這塊扇形鐵皮圍成一個圓錐，則這個圓錐的容積為________．(鐵皮厚度忽略不計)【答案】eq\f(\r(15)π,3)【解析】如圖所示，剪下最大的扇形的半徑即圓錐的母線長l等于正方形的邊長4，扇形的弧長＝eq\f(1,4)×(2π×4)＝2π，即為圓錐的底面周長，設圓錐的底面半徑為r，高為h，則2πr＝2π，所以r＝1，所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(15)，所以圓錐的容積為eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(15)π,3).四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分13分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點，AC交BD于點O.(1)求證：BD1∥平面MAC；(2)求證：平面BDD1⊥平面MAC．證明：(1)連接MO，因為M，O分別為DD1，BD的中點，所以BD1∥MO，因為BD1?平面MAC，MO?平面MAC，所以BD1∥平面MAC.(2)正方體ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC.因為正方體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為正方形，所以BD⊥AC.因為BD，DD1是平面BDD1內兩相交直線，所以AC⊥平面BDD1，因為AC?平面MAC，所以平面BDD1⊥平面MAC.16.(本小題滿分15分)在①PA⊥平面ABC，②∠ABC＝60°，③點P在平面ABC內的射影為△ABC的垂心，這三個條件中任選兩個補充在下面的問題中，并解答．在三棱錐P-ABC中，PA＝AB＝AC＝6.若________，求三棱錐P-ABC的體積．【解析】若選擇①和②，因為AB＝AC＝6，∠ABC＝60°，所以△ABC為等邊三角形，所以S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，因為PA⊥平面ABC，所以PA即為點P到平面ABC的距離，且PA＝6，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).若選擇①和③，因為PA⊥平面ABC，所以點A為點P在平面ABC內的射影，又因為點P在平面ABC內的射影為△ABC的垂心，所以點A即為△ABC的垂心，所以∠BAC＝90°，因為AB＝AC＝6，所以三角形ABC是等腰直角三角形，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×62＝18，因為PA⊥平面ABC，所以PA即為點P到平面ABC的距離，且PA＝6，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×18×6＝36.若選擇②和③，因為AB＝AC＝6，∠ABC＝60°，所以△ABC為等邊三角形，所以S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，設△ABC的中心為點O，則點O即為等邊△ABC的重心、垂心，且OA＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×6))＝2eq\r(3)，因為點P在平面ABC內的射影為△ABC的垂心，即O點，所以PO⊥平面ABC，所以PO即為點P到平面ABC的距離，且PO＝eq\r(62－（2\r(3)）2)＝2eq\r(6)，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PO＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×2eq\r(6)＝18eq\r(2).17.(本小題滿分15分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1⊥CC1，點E，F分別是BC，A1B1的中點，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1.(1)求證：B1C1⊥A1C；(2)求證：EF∥平面A1C1CA.【解析】證明：(1)因為B1C1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1CA∩平面BCC1B1＝C1C，B1C1?平面BCC1B1，則B1C1⊥平面ACC1A1.又因為A1C?平面A1C1CA，所以B1C1⊥A1C.(2)取A1C1的中點G，連接FG，GC.在△A1B1C1中，因為F，G分別是A1B1，A1C1的中點，所以FG∥B1C1且FG＝eq\f(1,2)B1C1.在平行四邊形BCC1B1中，因為E是BC的中點，所以EC∥B1C1且EC＝eq\f(1,2)B1C1，所以EC∥FG，且EC＝FG，所以四邊形FECG是平行四邊形，所以EF∥GC.又因為EF?平面A1C1CA，GC?平面A1C1CA，所以EF∥平面A1C1CA.18.(本小題滿分17分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).(1)求證：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大小．【解析】(1)證明：如圖所示，連接BD.因為四邊形ABCD是菱形且∠BCD＝60°，所以△BCD是等邊三角形．因為E是CD的中點，所以BE⊥CD.因為AB∥CD，所以BE⊥AB.因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE.因為PA∩AB＝A，所以BE⊥平面PAB.又因為BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知BE⊥平面PAB，PB?平面P