專題10同余定理小升初數學思維拓展數論問題專項訓練（知識梳理+典題精講+專項訓練）1、所謂的同余，顧名思義，就是許多的數被一個數d去除，有相同的余數．d數學上的稱謂為模．如a=6，b=1，d=5，則我們說a和b是模d同余的．因為他們都有相同的余數1。【典例一】一個兩位數，除以3余1，除以5余3，這個兩位數最大是（）

A、78

B、88

C、98

D、90

【分析】除以3余1，除以5余3，那么這個數不是3和5的倍數；由此用排除法求解．

【解答】解：除以3余1，除以5余3，那么這個數不是3和5的倍數；

A、7+8=15；15是3的倍數，所以78是3的倍數，故A錯誤；

D、5的倍數的個位數都是0或5的整數，90的個位數字是0，那么是5的倍數，故D錯誤；

BC、而這個數的末尾應是3或8；B和C都符合，只要再看哪個數除以3余1即可．

88÷3=29…1；

98÷3=32…2；

88除以3余1，所以88符合要求．

故選：B．

【點評】本題先根據余數的特點，找出這個數的可能性，再利用排除法進行求解．【典例二】有一整數，除300，262，205得到的余數相同，這個整數是（）。

【分析】這個數除300、262，得到相同的余數，所以這個數整除300262=38，同理，這個數整除262205=57以及300205=95，因此，求出38、57、95的最大公約數1即是所求結論．

【解答】解：300262=38，2

62205=57，

300205=95．

38，57，95的最大公約數是19．這個整數是19．

故答案為：19．

【點評】此題考查了學生最大公約數的知識，以及整除的性質．【典例三】動物賓館來了不足30只小動物，每4只住一間或6只住一間最后都會余3只住一間，想一想，動物賓館來了幾只小動物？【分析】先求出4和6的公倍數，然后加上3即可．【解答】解：30以內，4的倍數有：4、8、12、16、20、24、28；6的倍數有：6、12、18、24、4和6的公倍數是：12、24（只，（只．答：動物賓館來了15或27只小動物．【點評】解答此題的關鍵是先求出6和4的公倍數，然后加上3進行解答即可．一．選擇題（共3小題）1．已知69，90，125分別除以一個大于1的自然數，它們的余數相同，那么81除以的余數為A．3 B．4 C．5 D．72．一筐桔子6個人平均分余1個，7個人平均分也余1個，這筐桔子至少有個．A．13 B．21 C．8 D．433．一箱桃子有40多個，如果把這箱桃子每8個裝一盒，還剩5個；如果每10個裝一盒，也剩余5個，這箱桃子有個。A．40 B．45 C．48二．填空題（共13小題）4．有一個數，除300、262、205，都得到相同的余數，這個數是．5．，，，，、均為非零自然數，則最小是。6．有一個自然數，被10除余7，被7除余4，被4除余1．這個自然數最小是．7．用某數分別去除數560、906和1252，所得余數都相同，則這個數是．8．一個大于1的整數分別除167，352，574得到相同的余數，則這個整數為．9．除以5，余數是．10．有甲、乙、丙、丁四個數．甲數除以4商2011余2，乙數除以8商2011余4，丙數除以12商2011余6，丁數除以16商2011余8．那么甲、乙、丙、丁四個數的總和除以4的商是．11．與的和除以7的余數是．12．有幾十個蘋果，三個一組，余2個，四個一組，余2個，5個一組余2個，共個．13．被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然數是．14．一個數除13511，13903，14589的余數都相同，這個數最大是．15．一排士兵（不超過12人）報數，1、2、1、地報數，排尾的人報1；1、2、3、1、2、地報數，排尾的人報2；1、2、3、4、1、2、3、地報數，排尾的人報3。有名士兵。16．如果33、27與21分別除以同一個數，余數都是3，那么這個除數最大的是．三．解答題17．有一個數，它比30小，比20大，如果平均分成4份還余2，如果平均分成6份就余4，這個數是多少？18．有一個兩位數，除以2與除以3都余1，除以4與除以5都余3，求這個數．19．用151、197、238分別除以同一個整數，所得3個余數的和是31，這個整數是幾？20．如果13511、13903、14589這3個自然數除以一個自然數，所得的余數相同，那么這個自然數最大是多少？21．用某數去除425余5，去除500少4，去除300余6，這個數最大是多少？22．一堆糖，第一次把它五等份后剩1塊，第二次把其中的四份再五等份后還剩1塊，第三次把第二次中的三份再五等份后還剩1塊，第四次把第三次中的二份再五等份后還剩1塊，這堆糖至少有多少塊？23．求被5除余2，被6除余5，在100至200之間所有這樣的數．24．把三個數24、56、104分別除以正整數時，它們都有相同的余數，試求的最大值？25．某數被7除余1，被4除余3，求：（1）滿足條件的最小整數；（2）100以內滿足條件的所有這些數．26．聰聰要把一堆小皮球分裝成若干小袋，每6粒裝一袋余5粒，每7粒裝一袋也余5粒，每8粒裝一袋還余5粒．這堆小皮球至少有多少粒？27．有一個不等于1的整數，它除967、1000、2001，得到相同的余數，那么這個整數是多少？28．有一堆蘋果，3個3個地數多1個，4個4個地數多1個，5個5個地數少4個．這堆蘋果最少有多少個？29．有一個不等于1的整數，它除967，1000，2001得到相同的余數，那么這個整數是多少？參考答案一．選擇題（共3小題）1．【答案】【分析】可設是余數），，，，，能被這個自然數整除，相減之后即能被這個自然數整除，所以得到這個結論：這個數能同時整除它們的差，然后求出公約數即可解答．【解答】解：，，，21，56，35能同時被這個數整除，21，56，35大于1的公約數為7．故選：。【點評】本題主要考查了公約數的概念，通過同余得出它們的差能夠整除這個自然數是解答本題的關鍵．2．【答案】【分析】如果這筐桔子去掉一個，也就可以被6和7整除，由此求出6、7的最小公倍數加1即可得出答案．【解答】解：6和7的最小公倍數是，（個，答：這筐桔子至少有43個．故選：。【點評】解決此題的關鍵是抓住余數相同，轉化為整除解決問題．3．【答案】【分析】如果把這箱桃子每8個裝一盒，還剩5個；如果每10個裝一盒，也剩余5個，說明這個數減去5后，能被8和10整除，這個數就是8和10的公倍數再加上5，據此解答。【解答】解：8和10的最小公倍數為40，（個符合題意。答：這箱桃子有45個。故選：。【點評】本題主要考查了同余定理，題目較為簡單，找到8和10的公倍數是本題解題的關鍵。二．填空題（共13小題）4．【分析】根據同余定理，300、262、205這三個數兩兩的差都是這個整數的倍數，這個整數最大為這三個差的最大公因數；然后把這三個差分解質因數，即可找出這個最大自然數．【解答】解；所以三個差的最大公因數為：19答：這個數是19．故答案為：19．【點評】本題解答的依據是同余定理之一：、對于模同余的充要條件是：與的差能被整除．5．【答案】31。【分析】觀察這幾個算式，余數都是1，如果沒有余數，那么被除數就是2，3，5的公倍數，再加上1，就是，要使最小就是2，3，5的最小公倍數加數1，由此求解。【解答】解：2，3，5的最小公倍數是：則。故答案為：31。【點評】解決本題關鍵是明確：最小是2，3，5的最小公倍數，再加上余數1。6．【分析】被10除余7，被7除余4，被4除余1，如果加上3，就都正好整除，所以只要求出10，7，4的最小公倍數再減去3就可以了．【解答】解：10、7、4的最小公倍數是140，，故答案為：137．【點評】本題主要考查同余定理，將此問題轉化為求3個數的最小公倍數問題是解答本題的關鍵．7．【分析】因為560、906和1252被同一個數去除，所得的余數相同，根據同余定理可知，則其中任意兩個數的差應是這個除數的整數倍，，，，，，所以這個數是346或173．【解答】解：因為，，；，，所以這個數是346或173．故答案為：346或173．【點評】如果幾個數被同一個數除余數相同，則這幾個數兩兩相減的差是這個除數的整數倍．8．【分析】根據同余定理，167，352，574這三個數兩兩的差都是這個整數的倍數，這個整數為這三個差的因數；然后把這三個差分解質因數，即可找出這個整數．【解答】解：，，；所以這個整數為三個差的公有因數：37；答：這個整數為37．故答案為：37．【點評】本題解答的依據是同余定理之一：、對于模同余的充要條件是：與的差能被整除．9．【分析】（1）由題意得，然后根據同余定理解答．（2）判斷某數是否為5的倍數只看此整數的個位數．123的一次方個位上數字是3，123的二次方個位上數字是9，123的三次方個位上數字是7，123的四次方個位上數字是1，123的五次方個位數字又回到3了，所以4個一循環，123除以4余3，因此123的123次方個位數字為7，7除以5余2；234的一次方個位上數字是4，234的二次方個位上數字是6，234的三次方個位上數字又回到4了，也就是234的奇數次方個位上數字是4，偶次方個位上數字是6，234偶數，所以234的234次方個位數字為6，6除以5余1；的能被5整除，余數是0，由此解答．【解答】解：由分析和題意得：，所以123的123次方個位數字為7，，所以除以5余2；234偶數，所以234的234次方個位數字為6，6除以5余1，所以除以5余4；的能被5整除，余數是0；則，所以除以5，余數是3．故答案為：3．【點評】靈活利用同余定理解決問題．10．【分析】根據商除數余數被除數，分別表示出甲、乙、丙、丁四個數，又因為除數都是4的倍數，可以進行巧算；然后再用它們的和除以4即可．【解答】解：．答：商是20115．故答案為：20115．【點評】本題關鍵是根據有余數的除法，分別表示出四個數，然后再根據數據特點進行巧算得出結果．11．【分析】2的次方其實是有規律可循的，余2，余4，余1，余2，32除以7余4，余1，2的次方的余數是2，4，1循環的．余2，那么就是循環中第2個數，也就是4，余1，兩個余數相加就是；由此得出2的2003次方與2003的2次方的和除以7的余數是5．【解答】解：由2的次方的余數是2，4，1循環的可得：，所以的余數是4；因為，余1，即余1，所以與的和除以7的余數是，故答案為：5．【點評】解答此題的關鍵是根據2的次方余數發現規律，求出的余數是4．12．【分析】說明這堆蘋果的個數是3、4、5的公倍數加2，3、4、5的最小公倍數是，又知這堆蘋果有幾十個，可確定這堆蘋果有個，由此解決問題即可．【解答】解：3、4、5是互質數，3、4和5的最小公倍數是：，（個，答：共有62個，故答案為：62．【點評】此題主要考查求三個數的最小公倍數的方法：三個數互質，它們的最小公倍數是它們的積，并用此決解實際問題．13．【分析】從題中可以看出這個數加8就能被10，11，12，13整除，所以要先求10，11，12，13的最小公倍數，把10，11，12，13分解質因數，把它們公有的質因數和獨有的質因數連乘所得的積就是它們的最小公倍數，再用這個數減8，可知符合條件的最小的自然數【解答】解：，11和13是質數，，所以，10，11，12，13的最小公倍數是：最小自然數是：．故答案為：8572．【點評】此題主要考查了同余問題的靈活應用，注意求最小公倍數時，把它們分解質因數后，把公有的質因數和獨有的質因數連乘所得的積就是它們的最小公倍數．14．【分析】根據同余定理，13511、13903、14589這三個數兩兩的差都是這個整數的倍數，這個整數最大為這三個差的最大公因數；然后把這三個差分解質因數，即可找出這個最大自然數．【解答】解；所以三個差的最大公因數為：答：這個自然數最大是98．故答案為：98．【點評】本題解答的依據是同余定理之一：、對于模同余的充要條件是：與的差能被整除．15．【答案】11。【分析】根據題意可知，士兵的人數要同時符合下列條件：①士兵人數不超過12；②2個2個地數，余1；③3個3個地數，余2；④4個4個地數，余3。可以從7名士兵開始嘗試計算，找出正確答案。【解答】解：根據題意可知，士兵的人數要同時符合下列條件：①士兵人數不超過12；②2個2個地數，余1；③3個3個地數，余2；④4個4個地數，余3。（1）假設有7名士兵，，，的余數不是2，不符合題意。（2）假設有8名士兵，，無余數，不符合題意。以此類推，假設有11名士兵，，，，符合題意。答：有11名士兵。故答案為：11。【點評】解決本題也可以這樣想：若增加1人，則總人數是2、3、4的公倍數，所以總人數是2、3、4的公倍數少1，即11。16．【分析】把33、27、21分別減去余數3可得30、24、18，再找出這三個數的最大公約數，就是除數最大值，由此可以解決．【解答】解：，，，，，，30、24和18的最大公約數是，所以這個除數最大是6．故答案為：6．【點評】此題是求幾個數的最大公約數的方法的應用，關鍵是分析出30、24、18這三個數．三．解答題17．【分析】如果平均分成4份還余2，如果平均分成6份就余4，如果這個數加上2之后就能被4和6整除，即是4和6的公倍數，然后分解質因數求出比30小，比20大的公倍數即可．【解答】解：根據分析可得，4和6的最小公倍數：答：這個數是30．【點評】本題考查了余數問題，關鍵是明確這個數加上2之后是4和6的公倍數．18．【分析】根據題意，這個兩位數應該是2和3的公倍數多1，即6的倍數多1，；同時又是4和5的公倍數多3，即20的倍數多3．根據兩位數中20的倍數多3的數有：23、43、63、83，其中是6的倍數多1的只有43．所以這個數為43．【解答】解：這個兩位數應該是2和3的公倍數多1，即6的倍數多1，；同時又是4和5的公倍數多3，即20的倍數多3．根據兩位數中20的倍數多3的數有：23、43、63、83，其中是6的倍數多1的只有43．答：這個數為43．【點評】本題主要考查同余定理，先根據余數的特點，找出這個數的可能性，再利用排除法進行求解．19．【答案】450，24。【分析】由題意，這三個數的和減去31后，得到的差一定能被這個整數整除，然后這個差分解質因數，即可得出結論。【解答】解：由題意可得：因為5做除數余數和最大是12，不符合題意，15做除數余數和是，不符合題意，所以這個數是37。答：這個整數是37。【點評】本題考查同余問題的靈活運用，解題的關鍵是理解這三個數的和減去31后，得到的差一定能被這個整數整除。20．【答案】98。【分析】根據據同余定理，13511、13903、14589這三個數兩兩的差都是這個整數的倍數，這個整數最大為這三個差的最大公因數；然后用短除法即可找出這個最大自然數。【解答】解：答：這個自然數最大是98。【點評】本題是一道有關短除法求最大公因數和最小公倍數、帶余除法（中國剩余定理）的題目。21．【分析】由于用它去除425余5，去除500少4，去除300余6，則這個最大自然數是，，的最大公因數．據此完成即可．【解答】解：，，即296、504和294的最大公約數是：．答：這個數最大是42．【點評】根據這個數除幾余幾求出這個數是哪些數的最大公因數是完成本題的關鍵．22．【分析】采用逆推法，設最后一次5份，每份塊，那分前為塊，那第三次每份為塊，分前為塊，第二次每份為塊，分前為塊，第一次每份為塊，分前為塊，求最小值，就是能被24整除的最小值，必須奇數，且不能被3整除不能被3整除），，5，7，．代入后11合適．所以有糖296塊；因此得解．【解答】解：假設第四次五等份的一份是塊，則由以上分析，則這一堆糖共有：塊，要求它的值最小，且是整數，就是能被24整除的最小值，必須奇數，且不能被3整除不能被3整除），，5，7，．代入后11合適．所以有糖296塊；答：這堆糖至少296塊．【點評】此題采用逆推法，列出代數式，湊數得解．23．【分析】被6除余5，余數是5，如果減去5，這個數就是6的倍數，且被5除還余2，這樣從最小的6的倍數開始尋找，；那么，符合被5除余2，所以這個數最小是，然后根據以后每30個和6的最小公倍數）有這樣一個數，找出在100至200之間所有這樣的數即可．【解答】解：被6除余5，余數是5，如果減去5，這個數就是6的倍數，且被5除還余2，這樣從最小的6的倍數開始尋找，，不符合要求；那么，，符合被5除余2，所以這個數最小是：，起始的一個是17，自此以后每30個和6的最小公倍數）有這樣一個數，所以是：17，47，77，107，137，167，197，所以，在100至200之間這樣的數有：107，137，167，197．答：在100至200之間所有這樣的數是107，137，167，197．【點評】本題先根據余數的特點，找出符合要求的最小的這個數，再利用5和6的最小公倍數30按規律進行求解．24．【分析】根據同余定理，24，56，104這三個數兩兩的差都是這個整數的倍數，這個整數為這三個差的因數；然后把這三個差分解質因數，找出它們的最大公因數，即可找出這個整數．【解答】解：；；；；；；32、80、48的最大公因數是：；所以的最大值是16．【點評】本題解答的依據是同余定理之一：、對于模同余的充要條件是：與的差能被整除．25．【分析】我們先要找到一個除1外最小的滿足條件的數；只看被7除余1，那么這個數是8，但8不滿足被4除余3，于是加上7，再看，是15，15滿足這兩個條件；所以用15加上4和7的最小公倍數（即的任意整數倍，均可滿足條件；所以，