/專題18.38平行四邊形幾何模型（中點四邊形）（基礎篇）（專項練習）【定義】中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形。特征：中點四邊形的形狀由四邊形的對角線位置關系和數量關系確定【結論1】如圖1、四邊形ABCD為任意四邊形，則四邊形EFGH是平行四邊形。圖1【結論2】如圖2、四邊形ABCD對角線AC垂直于BD,則中點四邊形EFGH是矩形。圖2【結論3】如圖3、四邊形ABCD對角線AC=BD,則中點四邊形EFGH是菱形。圖3【結論4】如圖4、四邊形ABCD對角線AC=BD,則中點四邊形EFGH是正方形。圖4一、單選題1．順次連接四邊形ABCD各邊的中點，所得四邊形是（）A．平行四邊形B．對角線互相垂直的四邊形C．矩形D．菱形2．已知矩形的對角線長為10，那么順次連接矩形四邊中點所得的四邊形的周長為（

）A．40 B．10 C．20 D．53．順次連接四邊形ABCD各邊的中點，得到四邊形EFGH，在下列條件中，能使四邊形EFGH為矩形的是（）A．AB＝CD B．AB⊥CD C．AC⊥BD D．4．若順次連接四邊形各邊的中點所得到的四邊形是矩形，則原四邊形必定是（

）A．正方形 B．對角線相等的四邊形C．菱形 D．對角線互相垂直的四邊形5．順次連接正方形四邊中點得到的四邊形是（

）A．正方形 B．菱形 C．平行四邊形 D．矩形6．如圖，點O為四邊形ABCD內任意一點，E，F，G，H分別為OA，OB，OC，OD的中點，則四邊形EFGH的周長為（）A．9 B．12 C．18 D．不能確定7．如圖，在四邊形ABCD中，點E，F分別是AD，BC的中點，G，H分別是BD，AC的中點，AB，CD滿足什么條件時，四邊形EGFH是菱形.（

）A． B．// C． D．8．如圖，點E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點．則下列說法：①若AC⊥BD，則四邊形EFGH為矩形；②若AC＝BD，則四邊形EFGH為菱形；③若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分；④若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等．其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，任意四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，對于四邊形EFGH的形狀，某班學生在一次數學活動課中，通過動手實踐，探索出如下結論，其中錯誤的是（）A．當E，F，G，H是各邊中點，且AC=BD時，四邊形EFGH為菱形B．當E，F，G，H是各邊中點，且AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形C．當E，F，G，H不是各邊中點時，四邊形EFGH可以為平行四邊形D．當E，F，G，H不是各邊中點時，四邊形EFGH不可能為菱形10．如圖，四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2…，如此進行下去，得到四邊形AnBn?nDn．下列結論正確的有（）①四邊形A2B2C2D2是矩形；

②四邊形A4B4C4D4是菱形；③四邊形A5B5C5D5的周長是④四邊形AnBn?nDn的面積是．A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④二、填空題11．四邊形中，，順次連接它的各邊中點所得的四邊形是________．12．順次連結對角線相等且垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形是___________．13．如圖，順次連結四邊形ABCD四邊的中點E、F、G、H，則四邊形EFGH的形狀一定是____．14．如圖，點分別為四邊形的邊的中點，當四邊形滿足條件_______時，四邊形是菱形．（只需寫出一個即可，圖中不能再添加別的“點”和“線”）15．如圖，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，AC⊥BD，AC＝BD，則四邊形EFGH是______．16．如圖，某小區要在一塊矩形ABCD的空地上建造一個如圖所示的四邊形花園EFGH，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，若AB＝10m，AD＝20m，則四邊形EFGH的面積為______．17．如圖，矩形ABCD的相鄰兩邊的長分別是3cm和4cm，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形EFGH，則四邊形EFGH的周長等于___cm．18．如圖：順次連接矩形A1B1C1D1四邊的中點得到四邊形A2B2C2D2，再順次連接四邊形A2B2C2D2四邊的中點得四邊形A3B3C3D3，…，按此規律得到四邊形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面積為8，那么四邊形AnBnCnDn的面積為______．三、解答題19．如圖，在四邊形中，E，F，G和H分別是各邊中點．求證：四邊形為平行四邊形．20．如圖，點E、F、G、H分別為矩形ABCD四條邊的中點，證明：四邊形EFGH是菱形．21．已知：如圖四邊形四條邊上的中點E、F、G、H，順次連接、、、，得到四邊形，四邊形的形狀是什么？并證明結論．22．如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點．（1）判斷四邊形EFGH是何種特殊的四邊形，并說明你的理由；（2）要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應滿足的一個條件是．23．如圖，在四邊形中，，分別是，的中點，，分別是對角線，的中點，依次連接，，，，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當時，與有怎樣的位置關系？請說明理由；24．如圖所示，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊中點，連接EF、FG、GH、HE，則四邊形EFGH為________形．（1）當四邊形滿足________條件時，四邊形EFGH是菱形．（2）當四邊形滿足________條件時，四邊形EFGH是矩形．（3）當四邊形滿足________條件時，四邊形EFGH是正方形．在橫線上填上合適的條件，并說明你所填條件的合理性．參考答案1．A解：試題分析：連接原四邊形的一條對角線，根據中位線定理，可得新四邊形的一組對邊平行且等于對角線的一半，即一組對邊平行且相等．則新四邊形是平行四邊形．解：如圖，根據中位線定理可得：GF=BD且GF∥BD，EH=BD且EH∥BD，∴EH=FG，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．故選A．考點：中點四邊形．2．C【分析】根據矩形的性質得到AC=BD=10，再根據三角形中位線定理得到EH=GF=BD=×10=5，EF=GH=AC=×10=5，最后求出中點四邊形的周長即可．解：如圖，因為矩形的對角線相等，所以AC=BD=10，∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD、的中點，∴EH=GF=BD=×10=5，EF=GH=AC=×10=5，故順次連接矩形四邊中點所得的四邊形周長為EH+GF+EF+GH=5+5+5+5=20．故選:

C．【點撥】本題比較簡單，只要熟知矩形的對角線相等，三角形的中位線等于第三邊的一半即可．3．C【分析】連接AC，BD，根據中位線的性質及矩形的判定方法即可求解．解：∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點，∴EF＝AC，，GH＝AC，，，∴EF＝GH，，∴四邊形EFGH為平行四邊形，當AC⊥BD時，∵，，EF、AC、EH、BD在同一平面內，∴EF⊥EH，則∠HEF=90°，∴四邊形EFGH為矩形，綜上：當AC⊥BD時，EF⊥EH，則四邊形EFGH為矩形．故選：C．【點撥】此題主要考查中點四邊形的判定，解題的關鍵是熟知中位線定理與矩形的判定定理．4．D【分析】根據題意畫出相應的圖形，由四邊形EFGH為矩形，根據矩形的四個角為直角得到，又為三角形的中位線，根據中位線定理得到，根據兩直線平行，同位角相等得到，同理根據三角形中位線定理得到，再根據兩直線平行,同位角相等得到，根據垂直定義得到．解：如圖，四邊形是矩形點、的分別是、的中點是的中位線點、的分別是、的中點是的中位線．故選：D【點撥】此題主要考查中點四邊形，熟知矩形的性質，三角形的中位線定理，以及平行線的性質是解題的關鍵．5．A【分析】根據三角形的中位線定理可推出，進一步即可根據正方形的判定推出答案．解：如圖，∵，，，分別為，，，的中點，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，，∴，∴四邊形是菱形，∵，∴四邊形是正方形．故選：A．【點撥】本題考查了正方形的性質與判定，中位線的性質，掌握正方形的性質與判定是解題的關鍵．6．C【分析】由三角形中位線定理可得EF=AB，FG=BC，HG=DC，EH=AD，再根據題目給出的已知數據即可求出四邊形EFGH的周長．解：∵E，F分別為OA，OB的中點，∴EF是△AOB的中位線，∴EF=AB=3，同理可得：FG=BC=5，HG=DC=6，EH=AD=4，∴四邊形EFGH的周長為=3+5+6+4=18，故選C．【點撥】本題考查了中點四邊形的性質和三角形中位線定理的運用，解題的關鍵是根據三角形中位線定理得到四邊形EFGH各邊是原四邊形ABCD的各邊的一半．7．A【分析】根據中位線的定義與性質可知四邊形EGFH是平行四邊形，然后找出鄰邊相等的條件即可證明該四邊為菱形．解：由題意知是的中位線∴，是的中位線∴，∴，∴四邊形EGFH是平行四邊形∵是的中位線，∴當時，∴平行四邊形EGFH是菱形故選A．【點撥】本題考查了中位線，菱形的判定．解題的關鍵在于對知識的靈活運用8．C【分析】因為一般四邊形的中點四邊形是平行四邊形，當對角線AC⊥BD時，中點四邊形是矩形，當對角線BD=AC時，中點四邊形是菱形，當對角線AC=BD，且AC⊥BD時，中點四邊形是正方形．解：∵點E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點，∴EH=BD，EH//BD，FG=BD，FG//BD，EF=AC，EF//AC，HG=AC，HG//AC，∴EH=FG，EH//FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，當對角線AC⊥BD時，則∠HEF=90°，∴四邊形EFGH是矩形，故①符合題意；當對角線BD=AC時，則EF=EH，∴四邊形EFGH是菱形，故②符合題意；當四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD不一定互相平分，故③不符合題意；若四邊形EFGH是正方形，∴EH⊥HG，EH=HG，∴AC⊥BD，AC=BD，∴AC與BD互相垂直且相等，故④符合題意；綜上，正確的是①②④，共3個．故選：C．【點撥】本題考查中點四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的判定等知識，解題的關鍵是記住一般四邊形的中點四邊形是平行四邊形，當對角線BD=AC時，中點四邊形是菱形，當對角線AC⊥BD時，中點四邊形是矩形，當對角線AC=BD，且AC⊥BD時，中點四邊形是正方形．9．D【分析】根據連接四邊形各邊中點所得的四邊形必為平行四邊形，根據中點四邊形的性質進行判斷，即可求解解：A．當E，F，G，H是各邊中點，且AC=BD時，EF=FG=GH=HE，故四邊形EFGH為菱形，故A正確；B．當E，F，G，H是各邊中點，且AC⊥BD時，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四邊形EFGH為矩形，故B正確；C．當E，F，G，H不是各邊中點時，EF∥HG，EF=HG，故四邊形EFGH為平行四邊形，故C正確；D．當E，F，G，H不是各邊中點時，四邊形EFGH可能為菱形，故D錯誤；故選D．10．C【分析】①由兩組對邊平行，證明出A1B1C1D1是平行四邊形，再根據四邊都相等，證明出是菱形.②由①知四邊形A2B2C2D2是菱形，根據中位線定理，四邊形A4B4C4D4是菱形.③根據中位線性質得到每邊長的關系，從而計算出周長.④三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半.解：①連接A1C1，B1D1．∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形；∵AC丄BD，∴四邊形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1＝A1C1（矩形的兩條對角線相等）；∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位線定理），∴四邊形A2B2C2D2是菱形；故①錯誤；②由①知，四邊形A2B2C2D2是菱形；∴根據中位線定理知，四邊形A4B4C4D4是菱形；故②正確；③根據中位線的性質易知，A5B5＝A3B3＝×A1B1＝××AC，B5C5＝B3C3＝×B1C1＝××BD∴四邊形A5B5C5D5的周長是2×（a+b）＝；故③正確；④∵四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，∴S四邊形ABCD＝ab÷2；由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，四邊形AnBn?nDn的面積是；故④正確；綜上所述，②③④正確．故選C．【點撥】本題考查了四邊形綜合性質，解題關鍵在于，理清題干給出的條件，從證明什么類項的圖形到面積和周長的計算.運用到的菱形證明定理是，四個邊都相等的四邊形為菱形，運用到大中位線性質為，三角形的中位線平行且等于第三邊的一半.11．菱形【分析】根據三角形中位線定理和菱形的判定定理，即可得到答案．解：∵E，F分別是DC，AD的中點，∴EF=AC，EF∥AC，同理，GH=AC，GH∥AC，GF=BD，∴EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC=BD，∴EF=GF，∴平行四邊形EFGH為菱形．故答案是：菱形．【點撥】本題考查的是中點四邊形，掌握三角形中位線定理，菱形的判定定理是解題的關鍵．12．正方形【分析】根據中點四邊形性質,中位線,正方形性質與判定即可求解．解：順次連接對角線既相等又垂直的四邊形各邊的中點所得的四邊形是正方形．故答案為：正方形．【點撥】本題考查對角線互相垂直四邊形的性質,中點四邊形性質,中位線,正方形性質與判定,掌握對角線互相垂直四邊形的性質,中點四邊形性質,中位線,正方形性質與判定是解題關鍵.．13．平行四邊形解：如圖，連接AC，∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊的中點，∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC．∴EF=HG且EF∥HG；∴四邊形EFGH是平行四邊形．14．（答案不唯一）【分析】本題屬于開放性試題，要判定四邊形EFGH是菱形，只要HG=GF=FE=EH即可．解：在四邊形ABCD中，∵E、F、G、H分別四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點∴HG=EF=AC，GF=HE=BD∴四邊形EFGH是平行四邊形若∴平行四邊形EFGH是菱形．故答案為.【點撥】判定特殊的四邊形，必須根據已知條件，選擇適當的方法．菱形的判定方法：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．（3）四邊相等的四邊形是菱形．15．正方形【分析】有一個角是直角的平行四邊形是矩形．利用中位線定理可得出四邊形是平行四邊形，且各邊互相垂直，再證明鄰邊相等得到正方形．解：點、、、分別為四邊形的邊、、、的中點，，，，，又，，且．故四邊形是矩形，，，，，四邊形是正方形．故答案為：正方形．【點撥】本題考查了中點四邊形，涉及矩形的判定以及正方形的判定，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．16．100【分析】根據矩形的性質及H、F分別為邊AD、BC的中點，推出AH＝BF，得到平行四邊形BFHA，推出ABHF，AB＝HF，同理得到BC＝EG，BCEG，推出HF⊥EG，根據三角形的面積公式求出即可．解：連接HF、EG，交于點O，∵四邊形ABCD是矩形，∴BCAD，BC＝AD＝20m，∵H、F分別為邊AD、BC的中點，∴AH＝BF，∴四邊形BFHA是平行四邊形，∴AB＝HF＝10m，ABHF，同理BC＝EG＝20m，BCEG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四邊形EFGH的面積＝＝＝100（m2），故答案為：100．【點撥】本題主要考查了矩形的性質，平行四邊形的性質和判定，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能求出HF、EG的長和HF⊥EG是解此題的關鍵．17．10【分析】連接AC、BD，根據勾股定理求出BD，根據三角形中位線定理、菱形的判定定理得到四邊形EHGF為菱形，根據菱形的性質計算周長．解：連接AC、BD，在Rt△ABD中，BD==5，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=5，∵E、H分別是AB、AD的中點，∴EH∥BD，EH=BD=，同理，FG∥BD，FG=，EF∥AC，EF=AC=，∴四邊形EHGF為菱形，∴四邊形EFGH的周長=×4=10，故答案為：10．【點撥】本題考查的是中點四邊形，掌握三角形中位線定理、菱形的判定定理是解題的關鍵．18．【分析】根據矩形A1B1C1D1面積、四邊形A2B2C2D2的面積、四邊形A3B3C3D3的面積，即可發現新四邊形與原四邊形的面積的一半，找到規律即可解題．解：順次連接矩形A1B1C1D1四邊的中點得到四邊形A2B2C2D2，則四邊形A2B2C2D2的面積為矩形A1B1C1D1面積的一半，順次連接四邊形A2B2C2D2四邊的中點得四邊形A3B3C3D3，則四邊形A3B3C3D3的面積為四邊形A2B2C2D2面積的一半，故新四邊形與原四邊形的面積的一半，則四邊形AnBnCnDn面積為矩形A1B1C1D1面積的，∴四邊形AnBnCnDn面積=×8=，故答案為：．【點撥】本題考查了學生找規律的能力，本題中找到連接矩形、菱形中點則形成新四邊形的面積為原四邊形面積的一半是解題的關鍵．19．見分析【分析】連接AC，由點E是AB的中點、點F是BC的中點，可得出EF為△ABC的中線，進而可得出EF∥AC、EF=AC，同理，可得出HG∥AC、HG=AC，即EF∥HG、EF=HG，再利用平行四邊形的判定定理即可證出四邊形EFGH是平行四邊形．解：證明：連接AC，如圖所示．∵點E是AB的中點，點F是BC的中點，∴EF∥AC，EF=AC．同理，可得出：HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．【點撥】本題考查了中點四邊形、中線以及平行四邊形的判定，根據三角形中線定義找出EF∥HG、EF=HG是解題的關鍵．20．證明見分析．【分析】根據矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，利用三角形中位線定理求證EF=FG=GH=EH，然后利用四條邊都相等的平行四邊形是菱形即可判定．解：連接BD，AC．∵矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，∴AC=BD，∴EF=AC，GH=AC，同理，FG=BD，EH=BD∴EF=FG=GH=EH，∴四邊形EFGH是菱形．21．平行四邊形，證明見分析【分析】連接BD，根據三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形．解：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．證明：如圖，連接BD，∵E、H分別是AB、AD中點，∴EH∥BD，EH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．【點撥】本題主要考查對三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，解題的關鍵是正確的構造三角形病正確的運用中位線定理，難度不大．22．（1）詳見分析；（2）AD=BC試題分析：（1）利用三角形的中位線定理可證得EF∥GH，EF=GH后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定即可；（2）由（1）中的結論，再根據菱形的判定定理即可得到條件．解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形；理由如下：在△ACD中∵G、H分別是CD、AC的中點，∴GH∥AD，GH=AD，在△ABC中∵E、F分別是AB、BD的中點，∴EF∥AD，EF=AD，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2）要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應滿足的一個條件是AD=BC．理由如下：∵E，F分別是AB，BD的中點，∴EF=AD，同理可得：FG=BC，∵AD=BC，即EF=FG，又∵四邊形EFGH是平行四邊形．∴?EFGH是菱形．考點：1．菱形的判定；2．平行四邊形的判定；3．三角形的中位線定理23．（1）見分析；（2）當AB=CD時，EF⊥GH，理由見分析【分析】（1）利用三角形的中位線定理可以證得