第二輯平面直角坐標系與函數………………………01一次函數………………………20反比例函數……………………41二次函數………………………65函數綜合………………………960101平面直角坐標系與函數考點考情分析平面上確定物體的位置的方法主要以選擇題、填空題為主，也可能在一些綜合應用題的某一小問中出現。平面直角坐標系以選擇題、填空題為主，也可能在解答題中作為一部分出現，如在函數與幾何圖形的綜合題中，利用平面直角坐標系來求解相關問題。函數基礎知識選擇題、填空題常考查函數的基本概念、性質、圖象等基礎知識；解答題則更注重函數的綜合應用。考查分值：分值在10-15分之間，具體分值因地區和試卷結構而異。考查形式：選擇題、填空和解答題均有。命題趨勢：與實際問題結合更緊密；跨學科融合增強；注重考查數形結合思想，要求學生能將函數圖象與解析式相互轉化，通過圖象分析函數性質，利用函數性質解決圖象問題；可能會出現條件開放、結論開放或解題方法開放的題目；常與幾何圖形結合。知識點1：平面直角坐標平面內畫兩條相互垂直，原點重合的數軸，組成平面直角坐標系．水平的數軸稱為橫軸或x軸，取向右為正方向；豎直的數軸稱為縱軸或y軸，取向上為正方向；兩坐標軸的交點稱為平面直角坐標系的原點．知識點2：象限x軸y軸將坐標平面分成了四個象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。知識點3：坐標系內點的特征（1）x軸上的點的縱坐標為0；y軸上的點的橫坐標為0。（2）在任意的兩點中，如果兩點的橫坐標相同，則兩點的連線平行于縱軸（兩點的橫坐標不為零）；如果兩點的縱坐標相同，則兩點的連線平行于橫軸（兩點的縱坐標不為零）。（3）點到軸及原點的距離：點到x軸的距離為|y|；點到y軸的距離為|x|；點到原點的距離為x的平方加y的平方的算術平方根。（4）一三象限角平分線上的點橫縱坐標相等。（5）二四象限角平分線上的點橫縱坐標互為相反數。知識點4：坐標的平移在平面直角坐標系內，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減去)一個正數a，相應的新圖形就把原圖形向右(左)平移a個單位長度:如果把它各個點的縱坐標都加(或減去)一個正數a,相應的新圖形就把原圖形向上(下)平移a個單位長度點的平移規律：左右平移一縱坐標不變，橫坐標左減右加;上下平移-橫坐標不變，縱坐標上加下減知識點5：函數的相關概念：變量：在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量.常量：在一個變化過程中，數值始終不變的量稱為常量.函數的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.函數的取值范圍：使函數有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.確定函數取值范圍的方法：1）函數解析式為整式時，字母取值范圍為全體實數；2）函數解析式含有分式時，分式的分母不能為零；3）函數解析式含有二次根式時，被開方數大于等于零；4）函數解析式中含有指數為零的式子時，底數不能為零；5）實際問題中函數取值范圍要和實際情況相符合，使之有意義.函數值概念：如果在自變量取值范圍內給定一個值a，函數對應的值為b，那么b叫做當自變量取值為a時的函數值.函數解析式：用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式.函數圖象上點的坐標與解析式之間的關系：1）將點的坐標代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點在解析式上，反之，不在.2）兩個函數圖形交點的坐標就是這兩個解析式所組成的方程組的解.知識點6：函數的三種表示法及其優缺點解析法：兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法.列表法：把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法.圖象法：用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法.優點缺點解析法準確反映整個變化過程中自變量與函數的關系求對應值是要經過比較復雜的計算，而且實際問題中有的函數值不一定能用解析式表示列表法自變量和與它對應的函數值數據一目了然所列對應數值個數有限，不容易看出自變量與函數值的對應關系，有局限性圖象法形象的把自變量和函數值的關系表示出來圖象中只能得到近似的數量關系真題1（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC各頂點的坐標分別是O0,0，A1,2，B3,3，C5,0，則四邊形A．14 B．11 C．10 D．9【答案】D【分析】本題考查了坐標與圖形，過A作AM⊥OC于M，過B作BN⊥OC于N，根據A、B、C的坐標可求出OM，AM，MN，BN，【詳解】解∶過A作AM⊥OC于M，過B作BN⊥∵O0,0，A1,2，B3,3∴OM=1，AM=2，ON=∴MN=ON-∴四邊形OABC的面積為S==9，故選：D．真題2（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，O是坐標原點，菱形ABOC的頂點B在x軸的負半軸上，頂點C的坐標2為3,4，則頂點A的坐標為（

）A．-4,2 B．-3,4 C．-2,4【答案】C【分析】本題考查平面直角坐標系內兩點間的距離公式，菱形的性質，坐標與圖形．結合菱形的性質求出AC=OC=5是解題關鍵．由兩點間的距離公式結合菱形的性質可求出AC=OC=5，從而可求出【詳解】解：如圖，∵點C的坐標為3,4，∴OC=∵四邊形ABOC為菱形，∴AC=∴AD=∴頂點A的坐標為-2,4故選C．真題3（2024·貴州·中考真題）為培養青少年的科學態度和科學思維，某校創建了“科技創新”社團．小紅將“科”“技”“創”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標系，使“創”“新”的坐標分別為-2,0，0,0，則“技”所在的象限為（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】本題考查坐標與圖形，先根據題意確定平面直角坐標系，然后確定點的位置．【詳解】解：如圖建立直角坐標系，則“技”在第一象限，

故選A．真題4（2024·江蘇徐州·中考真題）小明的速度與時間的函數關系如圖所示，下列情境與之較為相符的是（

）A．小明坐在門口，然后跑去看鄰居家的小狗，隨后坐著逗小狗玩B．小明攀巖至高處，然后順著桿子滑下來，隨后躺在沙地上休息C．小明跑去接電話，然后坐下來電話聊天，隨后步行至另一個房間D．小明步行去朋友家，敲門發現朋友不在家，隨后步行回家【答案】C【分析】本題考查了函數圖象，讀懂函數圖象，從圖象中獲取必要的信息是解決本題的關鍵．根據函數圖象分析即可．【詳解】解：由圖象可知速度先隨時間的增大而增大，然后直接降為0，過段時間速度增大，然后勻速運動，則小明跑去接電話，然后坐下來電話聊天，隨后步行至另一個房間，符合題意．故選：C．真題5（2024·江蘇南通·中考真題）甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為20km．兩人前進路程s（單位：km）與甲的前進時間t（單位：h）之間的對應關系如圖所示．根據圖象信息，下列說法正確的是（

A．甲比乙晚出發1h B．乙全程共用2hC．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5【答案】D【分析】本題考查用函數圖象表示變量之間的關系，從函數圖形獲取信息，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、乙比甲晚出發1h，原說法錯誤，不符合題意；B、乙全程共用2-1=1hC、乙比甲早到B地4-2=2hD、甲的速度是20÷4=5km/h故選D．真題6（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數關系的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了函數圖象；根據題意，分3段分析，即可求解．【詳解】解：下層圓柱底面半徑大，水面上升塊，上層圓柱底面半徑稍小，水面上升稍慢，再往上則水面上升更慢，所以對應圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩，第三段比第二段緩．故選：D．真題7（2024·江蘇宿遷·中考真題）點Px2+1,-3【答案】四【分析】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限+,+；第二象限-,+；第三象限-,-；第四象限【詳解】解：點Px2+1,-3的橫坐標x∴點Px故答案為：四．真題8（2024·四川·中考真題）如圖，在一個平面區域內，一臺雷達探測器測得在點A，B，C處有目標出現．按某種規則，點A，B的位置可以分別表示為1,90°,(2,240°)，則點【答案】3,30【分析】本題考查了坐標確定位置，根據題意得到圓圈數表示有序數對的第一個數，度數表示有序數對的第二個數是解題關鍵．根據題意可得：圓圈數表示有序數對的第一個數，度數表示有序數對的第二個數，可得答案．【詳解】解：∵A，B的位置分別表示為1,90°∴目標C的位置表示為3,30°．故答案為：3,30預測1（2025·浙江杭州·一模）如圖為冰壺比賽場地示意圖，由以P為圓心、半徑分別為a，2a，3a，4a的同心圓組成．三只冰壺A,B,C的位置如圖所示，∠APB=120°，CP的延長線平分∠APB，冰壺A．3a,120° B．4a,200° C．【答案】C【分析】本題考查了坐標表示位置，理解坐標表示方法是關鍵．如圖所示，延長CP到點D，則∠CPE=∠APD=60°，點C所在的角度為【詳解】解：如圖所示，延長CP到點D，∴∠APD∴∠CPE∴點C所在的角度為180°+60°=240°，∴C3故選：C．預測2（2025·遼寧鞍山·一模）在化學課上用PH值表示溶液酸堿性的強弱程度，當PH>7時溶液呈堿性，當PH<7時溶液呈酸性．若將鹽酸溶液加水稀釋，那么在下列圖象中，能大致反映鹽酸溶液的PH值與所加水的體積V之間對應關系的是（A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了函數的圖象，數形結合是解題的關鍵．根據題意，鹽酸溶液呈酸性，隨著加入水的體積的增加，溶液的濃度越來越低，pH的值則接近7，據此即可求解．【詳解】解：∵鹽酸溶液呈酸性，則PH<7，隨著加入水的體積的增加，溶液的濃度越來越低，pH的值則接近7故選：C．預測3（2025·河南周口·一模）在物理實驗課上，同學們利用如圖1所示的裝置做了關于冰熔化的實驗，他們將實驗數據記錄后，繪制了如圖2所示的圖象，則下列說法正確的是（）A．實驗開始時，冰塊的溫度為0℃B．加熱8?C．冰塊熔化后，繼續加熱3?minD．冰塊熔化過程持續了8【答案】C【分析】本題考查函數的圖象，理解題意，能從圖象中獲取信息是解答的關鍵．根據圖象中的數據逐項分析求解即可．【詳解】解：由圖可知，實驗開始時，冰塊的溫度為-4℃，故∵冰在熔化過程中，溫度不變，∴由圖象知，加熱2min后，冰塊開始熔化，故B∵加熱8min∴冰的整個熔化過程持續了8-2=6min，故D由圖象知，第8min到12min，用時4分鐘，溫度升高4℃，平均每分鐘升高1℃態，那么冰塊熔化后，繼續加熱3?min，溫度計讀數增加到故選：C．預測4（2025·山東泰安·一模）點Aa-2,a+3A．a<2 B．C．a<-3 D．【答案】C【分析】本題考查了點所在的象限和解一元一次不等式組，能根據點的位置得出不等式組是解此題的關鍵．根據點的位置得出不等式組，求出不等式組的解集即可．【詳解】解：∵Aa∴a-解得a<-3故選：C．預測5（2025·河南新鄉·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠C=45°，邊BC在x軸上，頂點A，B的坐標分別為0,3和-4,0，F為OB的中點，將平行四邊形BDEF沿x軸向右平移．當點D落在AC上時，點A．1,2 B．4,32 C．2,2 D【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的性質、坐標與圖形變化-平移，熟練掌握以上知識點是關鍵．利用平行四邊形性質，根據中位線定理求出點E坐標，再求出平移距離，繼而得到平移后點E的坐標．【詳解】解：如圖，∵頂點A，B的坐標分別為0,3和-4,0∴OB=4，∵∠ACO=45°，∴∠OAC∴OC∵F為OB的中點，四邊形BDEF∴DE是△∴E0,3由平移的性質可知：DD∴向右平移距離的距離為72∴平移后點E的坐標為：7故選：D預測6（2024·山西太原·一模）2025年第九屆亞洲冬季運動會將在哈爾濱舉行．如圖是本屆亞冬會的會徽“超越”，將其放在平面直角坐標系中，若A,C兩點的坐標分別為2,1,0,2【答案】-【分析】本題主要考查了用坐標確定位置．先根據A，C兩點的坐標建立好坐標系，即可確定點B的坐標．【詳解】解：∵A，C兩點的坐標分別為2,1,∴建立坐標系如圖所示：∴點B的坐標為-1,-2故答案為：-1,-2預測7（2025·河南周口·一模）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度沿折線A→B→C運動，同時點Q從點B出發，以12cm/s的速度沿線段BC運動．當點P到達點C時，P，Q

(1)直接寫出y1關于x的函數表達式，并注明自變量x(2)在圖2所示的平面直角坐標系中，畫出函數y1的圖象，并寫出函數y(3)結合函數y2=2x(x>0)【答案】(1)y(2)當0<x<4時，y隨x的增大而增大；4<x<8時，(3)2<【分析】（1）分當點P在線段AB上時和當點P在線段BC上時兩種情況求解即可；（2）用描點法畫出圖象即可；（3）先畫出反比例函數的圖象，然后利用數形結合求解即可．【詳解】（1）當點P在線段AB上時，0≤x此時AP=∴y當點P在線段BC上時，4<x此時BP=∴PQ∴y綜上所述，y（2）函數圖象如下：性質：當0<x<4時，y隨x的增大而增大；4<x<8時，（3）當0<x≤4時，由圖形可得14當4<x≤8時，由圖形可得8-x=2x，即由圖象可知：2<x【點睛】本題考查了求函數解析式，畫函數圖象，反比例函數的圖象與性質，數形結合是解答本題的關鍵．押題1在平面直角坐標系中，已知點P-3,a2+1A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】本題考查了點的坐標，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限+,+，第二象限-,+，第三象限-,-，第四象限【詳解】解：∵點P-3,a2+1∴點P位于第二象限．故選：B．押題2如圖，若小紅的坐標為2,1，小亮的坐標為1,-1，則小華的坐標為（

）A．-2,1 B．-1,-1 C．-1,2【答案】C【分析】此題主要考查了坐標與圖形的變化，關鍵是正確理解題意，建立平面直角坐標系．根據小亮的坐標，建立平面直角坐標系，結合圖形直接得到答案．【詳解】解：∵小紅的坐標為2,1，小亮的坐標為1,-1，∴建立平面坐標系如圖：小華東的坐標應該是-1,2故選：C．押題3下列各圖象中，y是x的函數的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此題考查函數的定義，函數圖象，對于自變量x的每一個確定的值y都有唯一的確定值與其對應，則y是x的函數，根據函數的定義解答即可．【詳解】解：根據函數的定義，選項A圖象表示y是x的函數，B、C、D圖象中對于x的一個值y有多個值對應，故選：A．押題4將盛有部分水的小圓柱形水杯放入事先沒有水的大圓柱形水杯中，拿去接水時，讓水先進入大圓柱形水杯，如圖所示，則小水杯水面的高度hcm與注水時間tmin的函數圖象大致為圖中的（A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查函數的圖象．根據將一盛有部分水的圓柱形小玻璃杯放入事先沒有水的大圓柱形容器內，現用一注水管沿大容器內壁勻速注水，即可求出小水杯內水面的高度hcm與注水時間t【詳解】解：將一盛有部分水的圓柱形小玻璃杯放入事先沒有水的大圓柱形容器內，小玻璃杯內的水原來的高度一定大于0，則可以判斷A、D一定錯誤，用一注水管沿大容器內壁勻速注水，水開始時不會流入小玻璃杯，因而這段時間h不變，當大杯中的水面與小杯水平時，開始向小杯中流水，h隨t的增大而增大，當水注滿小杯后，小杯內水面的高度h不再變化．故選：B．押題5在平面直角坐標系中，點P1,2到x軸的距離為【答案】2【分析】本題主要考查點到坐標軸的距離，根據點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值解答即可．【詳解】解：在平面直角坐標系中，點P1,2到x軸的距離為2故答案為：2．押題6如圖1，在△ABC中，AB=AC．動點P從△ABC的頂點A出發，以2?cm/s的速度沿A→B→C→A勻速運動回到點A．圖2是點P【答案】8【分析】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關系，進而求解．從圖（2）看，當t=3時，點P在點B處，即AB=3×2=6=AC，AP的最小值為4，即AH=4；在Rt△AHB中，【詳解】解：過點A作AH⊥BC于點∵AB=故BH=CH=1從圖（2）看，當t=3時，點P在點B處，即AB從圖（2）看，點Q為曲線部分的最低點，即AP的最小值為4，即AH=4在Rt△AHB中，AB2=故BC=4△ABC的面積為1故答案為：85押題7函數y=-2x+3的自變量【答案】x【分析】本題考查了二次根式有意義條件，熟練掌握條件是解題的關鍵．根據形如aa【詳解】解：y=-故2x故x≥-3故答案為：x≥-押題8科學興趣小組利用不同材料制作了A，B兩種太陽能電池板，記錄了在一定條件下，當光照強度為x（單位：klx）時，A電池板的輸出電壓y1（單位：V）和B電池板的輸出電壓y1（單位：x0102030405060708090100y0m3.05.46.0y05.0通過分析數據發現，可以用函數刻畫y1與x，y2與(1)①y1可以看作是關于x的正比例函數，則m的值為______②當光照強度越大時，太陽能電池板的輸出電壓越高．請選出y2中不符合這條規律的數據，在表格中劃“×”(2)結合（1）的研究結果，在給出的平面直角坐標系中畫出y1，y(3)根據以上數據與函數圖象，解決下列問題：①當光照強度為55klx時，B電池板的輸出電壓與A電池板的輸出電壓之差約為______V②如果想使兩塊電池板的輸出電壓之和不低于6.5V，則光照強度應至少達到______klx【答案】(1)①2.4；②見解析(2)見解析(3)①2.1；②31【分析】本題考查了函數圖象和正比例函數的應用，熟練掌握函數圖象是解題關鍵．（1）①設y1=k1x②根據當光照強度越大時，太陽能電池板的輸出電壓越高即可得；（2）根據表格數據，描點畫出函數圖象即可得；（3）①根據表格和函數圖象求出當x=55時，y1，②根據表格和函數圖象求出當x=31時，y1，y2的值，再根據y【詳解】（1）解：①由題意，設y1將點10,0.6代入得：10k1=0.6則y1當x=40時，m故答案為：2.4．②當光照強度越大時，太陽能電池板的輸出電壓越高．選出y2中不符合這條規律的數據，在表格中劃“×”x0102030405060708090100y0m3.05.46.0y05.0×（2）解：在給出的平面直角坐標系中畫出y1，y2．（3）解：①當x=55時，y由表格和函數圖象可知，當x=55時，y則y2即當光照強度為55klx時，B電池板的輸出電壓與A電池板的輸出電壓之差約為2.1故答案為：2.1．②由表格數據可知，當x=30時，y當x=31時，y1=0.06×31=1.86∴當x=31時，y∵y1,y∴如果想使兩塊電池板的輸出電壓之和不低于6.5V，則光照強度應至少達到31故答案為：31．0202一次函數考點考情分析一次函數的性質與圖象選擇題常考查對一次函數基本性質的理解；填空題可能涉及求函數解析式、與坐標軸交點坐標等；解答題則注重綜合應用，常與方程、不等式、幾何圖形結合。一次函數與方程（組）﹑不等式選擇題可能考查一次函數與方程組、不等式關系的基本概念；填空題常涉及根據給定條件求一次函數表達式，進而解決相關方程組或不等式問題；解答題則注重綜合應用。用一次函數解決實際問題主要以解答題為主，也可能在選擇題或填空題中出現相關的簡單應用問題。解答題通常會結合實際情境，要求學生完整地寫出解題過程，包括建立函數模型、分析函數性質和得出結論等。考查分值：在中考中所占分值一般保持在8%-10%左右，具體分值因地區和試卷結構而異。考查形式：題型靈活多樣，選擇題可能會考查一次函數的基本性質、圖象特征等基礎知識點；填空題常涉及求函數解析式、與坐標軸交點坐標等；解答題則以實際應用和綜合應用為主。命題趨勢：注重考查學生的數學思維能力，如建模思想、數形結合思想、分類討論思想等；跨學科融合與創新：可能會出現與物理、地理等學科知識相結合的題目。知識點1：一次函數的圖象和性質圖象特征正比例函數y=kx（k為常數，k≠0）必過點（0,0）、（1，k）.一次函數y=kx+b（k，b是常數，k≠0）必過點（0，b）、（-bk，0增減性k＞0k＜0從左向右看圖象呈上升趨勢，y隨x的增大而增大從左向右看圖象呈下降趨勢，y隨x的增大減小圖像b＞0b＝0b＜0b＞0b＝0b＜0經過象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四與y軸交點位置b＞0，交點在y軸正半軸上；b=0，交點在原點；b＜0，交點在y軸負半軸上圖像關系一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數y=kx(k≠0)的圖象平移得到：當b>0時，向上平移b個單位長度；當b<0時，向下平移|b|個單位長度平移口訣：左加有減，上加下減高分技巧：若兩直線平行，則；若兩直線垂直，則知識點2：用待定系數法確定一次函數解析式確定一次函數解析式的方法：1）依據題意中等量關系直接列出解析式；2）待定系數法.用待定系數法求一次函數表達式的一般步驟：1）設出函數的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；2）根據已知條件(自變量與函數的對應值)代入表達式得到關于待定系數的方程或方程組；3）解方程或方程組求出k，b的值；4）將所求得的k，b的值代入到函數的一般形式中，從而得到一次函數解析式.知識點3：一次函數與方程（組）﹑一元一次不等式（一）一次函數與一元一次方程思路：由于任何一個一元一次方程可以轉化為ax+b=0(a、b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求自變量的值.從“數”上看：方程ax+b=0（a≠0）的解?函數y=ax+b（a≠0）中，y=0時對應的x的值從“形”上看：方程ax+b=0(a≠0）的解?函數y=ax+b（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標.（二）一次函數與二元一次方程組思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常數，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a、b為常數，且a≠0）的形式.因此，一個二元一次方程對應一個一次函數，又因為一個一次函數對應一條直線，所以一個二元一次方程也對應一條直線，進一步可知，一個二元一次方程組對應兩個一次函數，因而也對應兩條直線.從“數”的角度看：解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是何值；從“形”的角度看：解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的交點坐標.（三）一次函數與一元一次不等式思路：關于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直線y=kx+b和x軸的交點為分界點，x軸上(下)方的圖象所對應的x的取值范圍.從函數的角度看：解一元一次不等式就是尋求使一次函數y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量的取值范圍；從函數圖象的角度看：就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的橫坐標滿足的條件.高分技巧：1.求直線與另一直線的交點，就是在求兩條直線對應解析式聯立所得方程（組）的交點；2、由函數圖象直接寫出不等式解集的方法歸納：①根據圖象找出交點橫坐標，②不等式中不等號開口朝向的一方，圖象在上方，對應交點的左邊或右邊符合，則x取對應一邊的范圍。真題1（2024·山西·中考真題）已知點Ax1,y1,Bx2,yA．y1>y2 B．y1<【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，熟知一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．根據一次函數的圖象和性質即可解決問題．【詳解】∵3>0,∴y隨x又∵點Ax1,y∴y故選：B真題2（2024·湖南長沙·中考真題）對于一次函數y=2x-A．它的圖象與y軸交于點0,-1 B．y隨x的增大而減小C．當x>12時，【答案】A【分析】本題考查一次函數的性質，根據一次函數的性質逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：A.當x=0時，y=-1，即一次函數y=2x-B.一次函數y=2x-1圖象C.當x>12D.一次函數y=2故選A．真題3（2024·青海·中考真題）如圖，一次函數y=2x-3的圖象與x軸相交于點A，則點A關于A．-32,0 B．32,0 C【答案】A【分析】本題考查了一次函數與坐標軸的交點坐標，點的對稱，屬于簡單題，求交點坐標是解題關鍵．先求出點A的坐標，再根據對稱性求出對稱點的坐標即可．【詳解】解：令y=0，則0=2解得：x=即A點為(3則點A關于y軸的對稱點是-3故選：A．真題4（2024·廣東·中考真題）已知不等式kx+b<0的解集是x<2，則一次函數A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查一次函數與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍．找到當【詳解】解∶∵不等式kx+b<0∴當x<2時，y觀察各個選項，只有選項B符合題意，故選：B．真題5（2024·吉林長春·中考真題）區間測速是指在某一路段前后設置兩個監控點，根據車輛通過兩個監控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經過一段長度為20千米的區間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛112小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區間測速路段行駛的路程y（千米）與在此路段行駛的時間x(1)a的值為________；(2)當112≤x≤a(3)通過計算說明在此區間測速路段內，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）【答案】(1)1(2)y(3)沒有超速【分析】本題考查了一次函數的應用、一次函數的圖象、求函數解析式等知識點，掌握待定系數法求函數關系式是解題的關鍵．（1）由題意可得：當以平均時速為100千米/時行駛時，a（2）利用待定系數法求解即可；（3）求出先勻速行駛112【詳解】（1）解：由題意可得：100a=20，解得：故答案為：15（2）解：設當112≤x≤15時，則：16k+∴y=90（3）解：當x=112∴先勻速行駛112小時的速度為：9.5÷∵114＜∴輛汽車減速前沒有超速．真題6（2024·廣東廣州·中考真題）一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征．某數學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數據，通過對數據的整理和分析，發現身高y和腳長x之間近似存在一個函數關系，部分數據如下表：腳長x…232425262728…身高y…156163170177184191…(1)在圖1中描出表中數據對應的點(x(2)根據表中數據，從y=ax+b((3)如圖2，某場所發現了一個人的腳印，腳長約為25.8cm，請根據（2）中求出的函數解析式，估計這【答案】(1)見解析(2)y(3)175.6【分析】本題考查了函數的實際應用，正確理解題意，選擇合適的函數模型是解題關鍵．（1）根據表格數據即可描點；（2）選擇函數y=ax+（3）將25.8cm代入y【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解：由圖可知：y隨著x的增大而增大，因此選擇函數y=將點23,156,156=23a解得：a∴y（3）解：將25.8cm代入yy∴估計這個人身高175.6預測1（2025·湖南長沙·一模）若一次函數y=kx+A．k>0,b>0 B．k>0,b<0【答案】D【分析】本題考查了一次函數圖象與系數的關系，牢記“k<0，b>0?根據一次函數圖象和性質進行判斷即可．【詳解】解：∵一次函數y=∴k<0,故選：D．預測2（23-24八年級下·全國·期末）直線y=-2x+2向下平移1A．y=-2x+3 B．y=-2x+1【答案】B【分析】本題考查的是一次函數的圖象的平移變換，熟知“上加下減，左加右減”的平移規律是解答本題的關鍵．【詳解】解：直線y=-2x+2向下平移1故選B．預測3（2024·河北石家莊·一模）某個一次函數的圖象與直線y=12x+3平行，與x軸，y軸的交點分別為A，B，并且過點-2,-4，則在線段AB上（包括點A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】本題考查了平行線的解析式之間的關系．平行線的解析式一次項系數相等，設直線AB為y=12x+b，將點(-2,-4)代入可求直線AB的解析式，可得點A(6,0)【詳解】解：根據題意，設一次函數的解析式為y=由點(-2,-4)在該函數圖象上，得-4=12所以，y=12x-由0≤x≤6，且x為整數，取x=0，2，4，6因此，在線段AB上（包括點A、B)，橫、縱坐標都是整數的點有4故選：B．預測4（2025·廣西貴港·一模）小林在學習了摩擦力的相關知識后，在斜面上拉動木塊進行實驗．如圖用彈簧測力計拉著重為12N的木塊分別沿傾斜程度不同的斜面向上做勻速直線運動．經測算，在彈性范圍內，彈簧測力計的讀數F（N）是裝置高度h（m）的一次函數．當h=0m時，F為2N；當h=0.2m時，F為4NA．45m B．34m C．【答案】A【分析】本題考查了一次函數的應用、求一次函數解析式，利用待定系數法求一次函數解析式是解題的關鍵．設一次函數為F=kh+b【詳解】解：設一次函數為F=代入0,2和0.2,4得，b=2解得：k=10∴一次函數為F=10當F=10N時，解得：h=故選：A．預測5（24-25八年級下·福建廈門·期中）如圖，在平面直角坐標系中，一束光經過A-6,2照射在平面鏡(x軸)上的點B-2,0處，其反射光線BC交y軸于點C0,1，再被平面鏡y軸反射得光線CD（根據物理知識【答案】y【分析】本題主要考查了直角三角形的兩個銳角互余，同旁內角互補兩直線平行，求一次函數解析式，解二元一次方程組等知識點，熟練掌握鏡面反射中入射光線與鏡面所在直線的夾角與反射光線與鏡面所在直線的夾角相等以及兩直線平行一次項系數相等是解題的關鍵．可設直線AB的解析式為y=kx+b，把點A、B的坐標代入即可求出k和b的值，于是可得直線AB的解析式，易得AB∥CD，則直線AB和CD一次項的系數相等，進而設出直線【詳解】解：由題意得：∠ABE=∠CBO，∠∴∠ABC=180°-2∠CBO，∴∠=180°-2∠=360°-2=360°-2×90°=180°，∴AB設直線AB的解析式為：y=把點A、B的坐標代入，得：-6解得：k=-∴直線AB的解析式為：y=-∴設直線CD的解析式為：y=-∵C0,1∴m=1∴直線CD的解析式為：y=-故答案為：y=-預測6（2025·吉林·一模）【問題背景】古法造紙術是中國古代四大發明之一，其核心工藝含有兩個環節，一是蒸煮脫膠，二是自然干燥．【實驗操作】某文化遺產保護小組在研究古法造紙工藝時，記錄關鍵環節數據，旨在通過數學建模揭示溫度與時間、濕度與時間的內在聯系．環節一：蒸煮脫膠將樹皮等原料在溶液中蒸煮，記錄蒸煮過程中溫度T℃與時間t時間t01234溫度T2030405060環節二：自然干燥紙張成型后需自然干燥，記錄干燥過程中濕度H%與時間t時間t02468濕度H8070605040【分析數據】如圖1，根據表中T與t的數值，在平面直角坐標系中描出了各點．如圖2，根據表中H與t的數值，在平面直角坐標系中描出了各點．【建立模型】觀察上述各點的分布規律，從y=kx+bk≠0和y=kxk≠0【問題解決】古法造紙術的核心工藝要求：①蒸煮脫膠溫度需在45℃以上（包含45℃）至少持續②自然干燥環節必須在蒸煮脫膠環節完成后開始，蒸煮脫膠和自然干燥總時間為13h．③自然干燥后的紙張濕度需低于45%根據核心工藝要求，求蒸煮脫膠環節的最短時間，并驗證自然干燥環節是否滿足濕度要求．【答案】建立模型：都是y=kx+bk問題解決：蒸煮脫膠環節的最短時間2.5+3=5.5h，自然干燥環節滿足濕度要求【分析】本題考查一次函數的實際應用；建立模型：觀察上述各點的分布規律，兩個圖的點都近似在一條直線上，故都是y=kx問題解決：根據古法造紙術的三條核心工藝要求求解即可．【詳解】解：建立模型：觀察上述各點的分布規律，能近似的反映溫度T與時間t及濕度H與時間t的函數關系都是y=設T=kt+b，當t=0時，T∴20=b30=k∴溫度T與時間t函數關系T=10設H=mt+n，當t=0時，H∴80=n70=2m∴溫度T與時間t函數關系H=-5問題解決：當T=10t+20=45∵蒸煮脫膠溫度需在45℃以上（包含45℃）至少持續∴蒸煮脫膠環節的最短時間2.5+3=5.5h；∵自然干燥環節必須在蒸煮脫膠環節完成后開始，蒸煮脫膠和自然干燥總時間為13h，∴自然干燥時間為13-5.5=7.5h，當t=7.5時，H∴自然干燥環節滿足濕度要求．預測7（24-25八年級上·廣東茂名·階段練習）兩個透明的圓柱容器和一根裝有節流閥（控制水的流速）的軟管，制作了類似“漏刻”的簡易計時裝置（如圖2）．在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm．若由于裝置的原因，甲容器內的水無法全部流出，當水面高度剛好是1cm時，停止流水，此時停止計時．上午8：00開始放水后，甲容器的水面高度y(cm)和流水時間x(min)的部分數據如表：記錄時間8：008：108：258：308：40流水時間x(min)010253040水面高度y(cm)3028252422(1)綜合實踐小組在平面直角坐標系中描出了以表中各組對應值為坐標的點，并用光滑的曲線（包括直線）把描出的點連接起來（如圖3），發現可以用一次函數近似地刻畫甲容器的水面高度y(cm)與流水時間x(min)的關系，根據以上信息，求y關于x的函數解析式．(2)當時間正好是9：(3)剛好停止流水時是幾時幾分？【答案】(1)y(2)甲容器中水面的高度是14厘米(3)剛好停止流水時是【分析】本題考查了一次函數的應用，待定系數法．掌握待定系數法，理解、表示的實際意義是解題的關鍵．（1）設函數解析式是y=kx+b(（2）從8:00到9：20共（3）當y=1【詳解】（1）設函數解析式是y=把0,30、10,28代入，

得b=30∴k∴y（2）解：從8：00到9：20共80分鐘，∴x=80，答：甲容器中水面的高度是14厘米．（3）當y=11=-15解得：x=145，即為2小時25分鐘，時間為10:25

答：剛好停止流水時是10:25．預測8（23-24八年級下·陜西西安·期末）在測浮力的實驗中，將一長方體石塊由玻璃器皿的上方，向下緩慢移動浸入水里的過程中，彈簧測力計的示數F拉力(N(1)求AB所在直線的函數解析式；(2)當石塊下降的高度為8cm，求此刻彈簧測力計的示數F【答案】(1)y(2)13【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用：（1）利用待定系數法求解即可；（2）根據（1）所求求出當x=8時，y【詳解】（1）解：設AB所在直線的函數解析式為y=把A6，4，B解得k=-∴AB所在直線的函數解析式為y=-（2）解：在y=-38x+∴當石塊下降的高度為8cm，求此刻彈簧測力計的示數F拉力為預測9（2025·北京通州·一模）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，對于平面內點P和y軸上點Q，給出如下定義：將點P繞著點Q旋轉90°得到的對應點P'恰好在⊙O上，稱點P為⊙O(1)已知點Q的坐標為0,1．①如圖1，在點P12,1,P21,1,P3②如圖2，若直線y=-x+b上存在點P，使點P為⊙O的“(2)如圖3，點Q0,t,M-1,2,N2,2．若線段MN上存在點P，使點P【答案】(1)①P1,P(2)1≤【分析】（1）①將⊙O繞點Q0,1旋轉90°，得到半徑為1的⊙O1和⊙O2，其中O1-1,1，O21,1，通過計算判斷P1,P2,P3是否在⊙O1或（2）將⊙O繞點Q0,t旋轉90°，得到半徑為1的⊙O1和⊙O2，其中O1-t,t，O2t,t，根據【詳解】（1）解：①將⊙O繞點Q0,1旋轉90°，得到半徑為1的⊙O1和⊙O2∵O2P∴點P1在⊙O2上，點P∴點P1,P3是⊙O∵O1P∴點P2不在⊙O1∴點P2不是⊙O的“賦能點∴綜上所述，⊙O的“賦能點”是P故答案為：P1②∵直線y=-x+b與x軸交于點Eb∴OE∴∠GEO∵直線y=-x+b上存在點P，使點P為⊙O∴直線y=-x+b與當直線y=-x+b與⊙O1相切于點C連接CO1、DO∴∠C又∵∠GEO∴∠C∵cos∴O∴D∵點D在直線y=-∴1-2∴b當直線y=-x+b與⊙O2相切于點C同理可得，D1,1+∵點D在直線y=-∴1+2∴b∴b的取值范圍為-（2）解：將⊙O繞點Q0,t旋轉90°，得到半徑為1的⊙O1和⊙O∵線段MN上存在點P，使點P為⊙O的“賦能點”∴線段MN與⊙O1或當線段MN與⊙O1只有點M一個交點，此時∴-解得：t1=1，當線段MN與⊙O2只有點N一個交點，此時∴t解得：t1=2+2∴結合圖象得，t的取值范圍為1≤t【點睛】本題考查了新定義、旋轉的性質、解直角三角形、直線與圓的位置關系、一次函數的性質，理解“賦能點”的定義是解題的關鍵．本題屬于函數與幾何綜合題，需要較強的數形結合能力，適合有能力解決壓軸題的學生．押題1在一次函數y=4-7x中，k的值是（A．-4 B．4 C．-7 D【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數的定義，根據y=4-7x即【詳解】解：y=4-7x即∴k=-7故選：C．押題2一次函數y=kx+b的x與x．．．-2-012．．．y．．．-7-159．．．A．y的值隨x值的增大而減小 B．該函數的圖象經過第一、三、四象限C．不等式kx+b>1的解集為x>0 D．關于x【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數的增減性，一次函數與不等式和一元一次方程之間的關系，一次函數圖象與其系數的關系，由表格數據可得增減性，進而可得k>0，由當x=0時，y=1，得到b=1，據此可判斷A、B、C；再由當x=1時，函數值為5【詳解】解：由表格中的數據可知，y的值隨x值的增大而增大，故A說法錯誤，不符合題意∴k>0∵當x=0時，y∴b=1∴該函數圖象經過第一、二、三象限，故B說法錯誤，不符合題意；∵當x=0時，y=1，y的值隨∴不等式kx+b>1的解集為x∵當x=1時，函數值為5，不是0∴關于x的方程kx+b=0的解不是x故選：C．押題3某吊繩最大承受拉力對應的重物質量不超過8噸．當沒有吊起任何重物時，吊繩的自然長度是5米，通過實驗測定，每吊起1噸重物，吊繩會伸長0.3米．在吊繩的彈性限度內，吊起重物后吊繩的長度y（單位：米）與所吊重物的質量x（單位：噸）之間的函數關系式為（

）A．y=0.3x+5（0≤C．y=0.3x-5（【答案】A【分析】本題考查了一次函數的應用，根據題意即可得到函數關系式，熟知相關等量關系是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意可得y=0.3故選：A．押題4圖中兩直線l1，l2的交點坐標可以看作下列方程組的解的是（A．x-y=12x-y=1 B【答案】B【分析】本題考查了一次函數圖象交點與二元一次方程組的關系，理解一次函數圖象交點的橫縱坐標即為二元一次方程組的解是解題的關鍵．由于函數圖象交點坐標為兩函數解析式組成的方程組的解，因此本題應分別解四個選項中的方程組，然后即可確定正確的選項．【詳解】解：由圖象可知兩直線的交點為2,3，即方程組的解應為x=2A、解方程組x-y=1B、解方程組x-y=-1C、解方程組x-y=3D、解方程組x-y=-3故選：B．押題6已知一次函數y=kx+b的圖象過點A1,A．k<0 B．k>0 C．b<0【答案】A【分析】本題考查一次函數的圖象與性質，由題意得出y隨x的增大而減小，根據一次函數的增減性可確定k的值的范圍．解題的關鍵是掌握一次函數y=kx+bk≠0的圖象與性質：當k>0時，y隨x【詳解】解：∵一次函數y=kx+b的圖象過點A1,∴y隨x的增大而減小，∴k<0故選：A．押題7已知直線y=m-1x+【答案】3【分析】本題考查兩條直線平行問題，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．根據兩直線平行，可以得到關于m的方程，從而可以求得m的值．【詳解】解：∵直線y=m-∴m-解得，m=3故答案為：3．押題8科學家通過實驗發現，聲音在空氣中的傳播速度隨溫度的變化而變化，且滿足某種函數關系．某興趣小組為探究空氣的溫度x（單位：℃）與聲音在空氣中傳播的速度y（單位：米秒）之間的關系，在標準實驗室里進行了多次實驗．下表為實驗時記錄的一些數據．溫度x…05101520…聲音在空氣中傳播的速度y/（米/秒）…331334337340343…(1)在如圖所示的平面直角坐標系中，描出表中數據所對應的點．(2)根據描點，發現這些點大致位于同一個函數的圖象上，則這個函數的類型最有可能是______（填“一次函數”或“二次函數”），求出該函數的解析式．(3)某地春季的室外溫度是25℃，小明在看到閃電2【答案】(1)見解析(2)y(3)小明與燃放煙花地的距離為346×2=692（米）．【分析】本題主要考查了一次函數的應用，理解題意、讀懂表格、用待定系數法求函數解析式是解題的關鍵．（1）根據表格所給數據描點即可；（2）根據（1）的圖象可得該函數可能是一次函數，再利用待定系數法求解即可；（2）先求出x=25時y的值，再由距離=速度×【詳解】（1）解：根據題意描點如圖：（2）解：根據（1）的圖象得這個函數可能是一次函數，設這個函數的解析式為y=將點0,331，5k+b∴這個函數的解析式為y=0.6（3）解：在y=0.6當x=25時，y∵小明同學看到煙花2秒后才聽到聲響，∴小明與燃放煙花地的距離為346×2=692（米）．押題9綜合與探索【探索發現】如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，過點A作AD⊥l交于點D，過點B作BE⊥l交于點E【遷移應用】如圖2，在直角坐標系中，直線l1：y=2x+4分別與y軸，x軸交于點(1)直接寫出OA=______，OB=(2)將直線AB繞點A順時針旋轉90°得直線AE，求出直線AE解析式：小明的解題思路是：在第二象限構造等腰直角△ABE，使得∠BAE=90°，AB=AE，根據K型全等和坐標之間的關系，求出點E的坐標為______；通過A，(3)如圖3，將直線l1繞點A順時針旋轉45°得到l2，求【答案】(1)4，2；(2)-4,6，y(3)l2的函數表達式為y【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，一次函數的圖象與性質，等腰直角三角形等知識點，熟練掌握其性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．（1）由l:y=2x+4即可求出點A的坐標為0,4（2）根據“k型全等”證明△EAM≌△ABOAAS，則有點E的坐標為-4,6，設AE解析式為（3）過點B作BC⊥l2交l2于點C，過點A作AD⊥y軸，過點C作CN⊥x軸與AD交于點D，與x軸交于點N，證明△ACD≌△【詳解】（1）解：如圖2，在直角坐標系中，直線l:y=2x+4分別與y令x=0，解得y=4，令y=0，得0=2∴點A的坐標為0,4，點B的坐標為-2,0∴OA=4，OB故答案為：4，2；（2）解：過點E作EM⊥y軸于則∠AEM∵EA⊥∴∠EAM∴∠AEM∵AB=AE，∴△EAM∴EM=OA=4∵OM=∴點E的坐標為-4,6設AE解析式為y=∴-4k1∴AE解析式為y=故答案為：-4,6，y（3）解：過點B作BC⊥l2交l2于點C，過點A作AD⊥y軸，過點C作CN⊥x軸與AD∵∠BCA=90°，∴∠BAC∴AC=∵∠DCA∴∠DAC∵∠ADC∴△ACD∴CD=設CD=x，則BN=∴CN=2+∴2+x+x∴C-∴設直線AC解析式為y3=-3k2+∴l2的函數表達式為y0303反比例函數考點考情分析反比例函數的圖象與性質選擇題常考查反比例函數的基本性質、圖象特征、k的幾何意義等基礎知識點；填空題可能涉及求函數解析式、根據性質比較大小、利用k的幾何意義求面積等；解答題多與一次函數結合，考查交點坐標、函數解析式的確定，以及根據函數圖象解不等式等，還可能與幾何圖形綜合，利用反比例函數解決幾何圖形中的計算問題。用反比例函數解決實際問題多以解答題形式出現，要求學生完整地寫出建立模型、求解和作答的過程。考查分值：8-12分左右，具體分值因地區和試卷結構而異。考查形式：選擇題、填空題會側重考查反比例函數的基本概念、性質、k的幾何意義等基礎知識；解答題則以函數綜合應用和實際問題為主。命題趨勢：注重考查學生的數形結合、分類討論、函數與方程等數學思想；跨學科融合與創新：與物理、化學等學科的融合會更加緊密，體現學科間的綜合性。知識點1：反比例函數的概念及其圖象﹑性質（一）反比例函數的概念（1）定義：形如y＝eq\f(k,x)(k≠0)的函數稱為反比例函數，k叫做比例系數，自變量的取值范圍是非零的一切實數．（2）形式：反比例函數有以下三種基本形式：①y＝eq\f(k,x)；②y=kx-1;③xy=k.(其中k為常數，且k≠0)（二）反比例函數的圖象k的符號圖象經過象限y隨x變化的情況k>0圖象經過第一、三象限（x、y同號）每個象限內，函數y的值隨x的增大而減小.k>0圖象經過第二、四象限（x、y異號）每個象限內，函數y的值隨x的增大而增大.（三）反比例函數的圖象特征（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；（2）圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；（3）圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直角坐標系一、三象限和二、四象限的角平分線（四）待定系數法求解析式只需要知道雙曲線上任意一點坐標，設函數解析式，代入求出反比例函數系數k即可.高分技巧：反比例函數值大小的比較時，首先要判斷自變量的取值是否同號，即是否在同一個象限內，若不在則不能運用性質進行比較，可以畫出草圖，直觀地判斷.知識點2：反比例系數的幾何意義及與一次函數的綜合（一）系數k的幾何意義（1）意義：從反比例函數y＝eq\f(k,x)(k≠0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點、一個垂足和原點為頂點的三角形的面積為1/2|k|.（2）常見的面積類型：高分技巧：已知相關面積，求反比例函數的表達式，注意若函數圖象在第二、四象限，則k＜0.（二）與一次函數綜合（1）確定交點坐標：【方法一】已知一個交點坐標為（a,b），則根據中心對稱性，可得另一個交點坐標為（-a,-b）.【方法二】聯立兩個函數解析式，利用方程思想求解.（3）在同一坐標系中判斷函數圖象：充分利用函數圖象與各字母系數的關系，可采用假設法，分k＞0和k＜0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可.也可逐一選項判斷、排除.（4）比較函數值的大小：主要通過觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結合交點坐標，確定出解集的范圍.知識點3：反比例函數的實際應用一般解題步驟：（1）題意找出自變量與因變量之間的乘積關系；（2設出函數表達式；（3）依題意求解函數表達式；（4）根據反比例函數的表達式或性質解決相關問題真題1（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數y=kx-kk≠0A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數與一次函數圖象，根據一次函數與反比例函數的性質，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵y當k<0當k>0A.一次函數中k<0，則當x>0時，函數B.一次函數經過第二、三、四象限，不合題意，一次函數中k>0，則當x>0時，函數y=kx故選：C．真題2（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A為反比例函數y=-1xx<0圖象上的一點，連接AO，過點O作OA的垂線與反比例y=4A．12 B．14 C．33【答案】A【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數系數k的幾何意義，三角形相似的判定和性質，數形結合是解題的關鍵．過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于【詳解】解：過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥∴S△ACO=12∵OA⊥∴∠AOC∴△AOC∴S△ACOS∴OAOB故選：A．真題3（2024·江蘇徐州·中考真題）若點A-3,a、B1,b、C2,c都在反比例函數y=-【答案】a【分析】本題主要考查了比較反比例函數值的大小，判斷反比例函數的增減性，根據解析式得到反比例函數y=-4x的函數圖象在二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大，再根據三個點的橫坐標判斷A，B，C三點的位置，從而根據增減性判斷a，【詳解】解：∵在反比例函數y=-4∴反比例函數y=-4x的函數圖象在二、四象限，且在每一象限內∵A-3,a、B∴A在第二象限，B，C在第四象限，∴a>0∵1<2，∴b<∴a>故答案為：a>真題4（2024·山西·中考真題）機器狗是一種模擬真實犬只形態和部分行為的機器裝置，其最快移動速度vm/s是載重后總質量m(kg)的反比例函數．已知一款機器狗載重后總質量m=60kg時，它的最快移動速度v=6【答案】4【分析】本題考查了反比例函數的應用，利用待定系數法求出反比例函數解析式，再將m=90【詳解】設反比例函數解析式為v=∵機器狗載重后總質量m=60kg時，它的最快移動速度∴k∴反比例函數解析式為v=當m=90kg時，∴當其載重后總質量m=90kg時，它的最快移動速度故答案為：4．真題5（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為5,0，2,6，過點B作BC∥x軸交y軸于點C，點D為線段AB上的一點，且BD=2AD．反比例函數y=kx(x>0)的圖象經過點【答案】12【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數k的幾何意義，作BM⊥x軸于M，作DN⊥x軸于N，則DN∥BM，由點A，B的坐標分別為5,0，2,6得BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，然后證明△ADN∽△ABM得【詳解】如圖，作BM⊥x軸于M，作DN⊥x軸于∵點A，B的坐標分別為5,0，2,6，∴BC=OM=2，BM∵DN∥∴△ADN∴DNBM∵BD=2∴DN6∴DN=2，AN∴ON=∴D點坐標為4,2，代入y=kx∴反比例函數解析式為y=∵BC∥∴點E與點B縱坐標相等，且E在反比例函數圖象上，∴E4∴CE=∴S四邊形故答案為：12．真題6（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AOCB為菱形，tan∠AOC=43，且點A落在反比例函數y=3x

【答案】8【分析】本題主要考查反比例函數與幾何的綜合及三角函數；過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為D、E，然后根據特殊三角函數值結合勾股定理求得A3【詳解】解：過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為

∵tan∠∴ADOD∴設AD=4a，則∴點A3∵點A在反比例函數y=∴3a∴a=12∴AD=2，OD∴OA=∵四邊形AOCB為菱形，∴AB=OA=∴點B4∵點B落在反比例函數y=∴k=4×2=8故答案為：8．真題7（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y=kx的圖象與⊙O交于A,B兩點，且點A,【答案】2,1【分析】本題考查了反比例函數的性質以及勾股定理，完全平方公式的應用，先根據A1,2得出k=2，設Bn，m，則nm=k【詳解】解：如圖：連接OA∵反比例函數y=kx的圖象與⊙O∴2=設Bn，∵OB∴m則m∵點B在第一象限∴m把nm=k∴m經檢驗：m1∵A∴B故答案為：2真題8（2024·重慶·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=8，點P為AB上一點，AP=x，過點P作PQ∥BC交AC于點Q．點P，Q的距離為y(1)請直接寫出y1，y2分別關于x的函數表達式，并注明自變量(2)在給定的平面直角坐標系中畫出函數y1，y2的圖象；請分別寫出函數y1(3)結合函數圖象，直接寫出y1>y2時【答案】(1)y(2)函數圖象見解析，y1隨x增大而增大，y2隨(3)2.2<【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合，相似三角形的性質與判定：（1）證明△APQ∽△ABC（2）根據（1）所求利用描點法畫出對應的函數圖象并根據函數圖象寫出對應的函數圖象的性質即可；（3）找到一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍即可．【詳解】（1）解：∵PQ∥∴△APQ∴C△∴y1∴y1（2）解：如圖所示，即為所求；由函數圖象可知，y1隨x增大而增大，y2隨（3）解：由函數圖象可知，當y1>y2時真題9（2024·四川涼山·中考真題）如圖，正比例函數y1=12x(1)求反比例函數的解析式；(2)把直線y1=12x向上平移3個單位長度與y2=【答案】(1)y(2)6【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，待定系數法求函數解析式，一次函數的平移等知識，熟練掌握函數的平移法則是關鍵．（1）待定系數法求出反比例函數解析式即可；（2）先得到平移后直線解析式，聯立方程組求出點B坐標，根據平行線間的距離可得S△【詳解】（1）解：∵點A(∴2=12m∴A∵A∴k∴反比例函數解析式為y2（2）解：把直線y1=12x令x=0，則y∴記直線與y軸交點坐標為D(0,3)，連接AD聯立方程組y=解得x=2y=4∴B由題意得：BD∥∴△AOB∴S預測1（2025·貴州遵義·一模）若點Ax1,-5,Bx2A．0<x1<C．x2<0<x【答案】D【分析】本題主要考查反比例函數的圖象與性質，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵；由反比例函數y=kxk>0可知該函數圖象在第一、三象限，然后根據【詳解】解：∵y=∴函數圖象在第一、三象限，∵點Ax1,-5∴x1故選D．預測2（2025·江蘇淮安·一模）如圖，已知點A與點B分別在反比例函數y=1xx>0與y=-4A．12 B．14 C．2 D【答案】A【分析】本題主要考查相似三角形的性質與判定、三角函數及反比例函數的圖象與性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定、三角函數及反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵；分別過點A、B作y軸的垂線，垂足分別為C、D，由題意易得S△ACO=12【詳解】解：分別過點A、B作y軸的垂線，垂足分別為C、D，如圖所示：∵點A與點B分別在反比例函數y=1x∴根據反比例函數k的幾何意義可知：S△∵OA⊥∴∠AOB∴∠AOC∴∠CAO∴△ACO∴OAOB∴OAOB∴tan∠故選A．預測3（2025·山西陽泉·二模）已知反比例函數y=3xA．圖象位于第二、四象限 B．圖象經過點2C．圖象越來越靠近坐標軸，最終相交 D．y隨x的增大而減小【答案】B【分析】本題主要考查了反比例函數圖象的性質，增減性，根據解析式可得經過的象限和增減性可判斷A、B、D；再根據反比例函數自變量不為0，可知函數與坐標軸不會相交可判斷C．【詳解】解；∵反比例函數解析式為y=3x∴反比例函數圖象位于第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小，且圖象越來越靠近坐標軸，但不會相交，在y=3x中，當x=2時，∴四個選項中只有B選項正確，符合題意，故選：B．預測4（2025·江西景德鎮·一模）在如圖所示的電路圖中，當開關閉合以后，滑動變阻器從左往右滑動的過程中，電流表的示數IA與RΩ關系用圖象可近似表示為（A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數的實際應用，根據I=UR，即U=IR，當從左往右滑動，即R增大時，結合U一定，則I【詳解】解：根據題意得：I=UR當從左往右滑動，即R增大時，因為U一定，則I減小，所以電流表的示數IA與RΩ關系用圖象可近似表示為反比例函數圖象，只有故選：C．預測5（2025·陜西西安·一模）如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數y=mx(m<0)與反比例函數y=kx（k為常數，k≠0）的圖象相交于A、C兩點，過點A作AB⊥x軸于點B【答案】-【分析】本題主要考查了反比例函數y=kx中k的幾何意義，首先根據反比例函數y=kx中k的幾何意義可得：【詳解】解：∵正比例函數y=mx(m<0)與反比例函數y=kx（∴OA=由反比例函數y=kx中k∴S△∴S∵k<0∴k故答案為：-4預測6（2025·北京西城·一模）在平面直角坐標系xOy中，若點Mm,-1和Nn,1都在函數y=【答案】0【分析】本題考查了反比例函數的計算，掌握反比例函數求自變量或函數值的計算是關鍵．根據點在反比例函數圖象上，分別求出m,【詳解】解：點Mm,-1和Nn∴km解得，m=-∴m+故答案為：0．預測7（2025·山東聊城·一模）某同學學習了“函數與變量之間的關系”相關知識后，參考教材設計出了如下數據x…--123…y…--42a…(1)根據上表數據，求出其對應函數的解析式及a的值，并在如圖所示的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象；(2)如果點P4,?1是該函數圖象在第一象限上的一點，過點P作x軸的平行線PQ，將PQ上方的函數圖象沿著直線PQ(3)若經過點M1,?4,?N2,?2【答案】(1)y=4x(2)2,0(3)3【分析】本題主要考查反比例函數，軸對稱的性質，一次函數圖象的性質，掌握反比例函數，一次函數，軸對稱的性質，數形結合分析是關鍵．（1）根據表格信息計算得到規律，由表格信息繪圖即可；（2）根據軸對稱的性質作圖可得交點與原圖之間的距離為2，即y=2（3）運用待定系數法得到直線MN的解析式為y=-2x+6【詳解】（1）解：∵-2∴根據列表數據可知，該函數是反比例函數，其解析式為y=當x=3時，a畫出該函數的圖象如解圖：（2）解：點P的坐標為4,1，如解圖，根據對稱性可知，當PQ上方的函數圖象沿直線PQ翻折，∵點P的縱坐標為1，即直線PQ與x軸的距離為1，∴折疊后與x軸的交點關于PQ對稱，∴交點與原圖之間的距離為2，即y=2∴2=4解得x=2∴x軸的交點坐標為2,0；（3）解：設直線MN的解析式為y=kx+b（k,k+解得k=-2∴直線MN的解析式為y=-2當x=0時，y=6，當y=0時，x∴BC=預測8（2025·寧夏固原·二模）雙曲線y=kxk≠0(1)求反比例函數的解析式；(2)觀察圖象，直接寫出不等式-1(3)設直線AB與x軸交于點C，若P為x軸上一點，當△APC的面積為3時，求點P【答案】(1)y(2)x<-4或(3)P(-8,0)或【分析】本題考查待定系數法求反比例函數解析式，已知自變量值求函數值，一次函數和反比例函數交點問題，一次函數與x軸交點問題等．（1）先將交點Am（2）觀察圖象一次函數在反比例函數上方即可；（3）先求出C(-2,0)，再設P(a,0)，后列式12×1?|PC【詳解】（1）解：由題意得：將Am,1,-12m-12×2-1=∴A-∴將A-4,1代入y=∴反比例函數的解析式：y=（2）解：∵一次函數與反比例函數交于A-∴觀察圖象，不等式-12x-1>（3）解：∵直線AB與x軸交于點C，直線AB為y=-∴令y=0，即：x∴C(-2,0)∵P為x軸上一點，∴設P(∵△APC的面積為3∴12×1×|PC∴|a+2|=6，解得：a=-8∴P(-8,0)或P押題1已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．①函數解析式為I=36R；②當R=6Ω時，I=4A；③當I≤10A時，A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】本題考查反比例函數的實際應用，掌握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵．將4,9代入I=UR【詳解】解：設I=UR，將4,9∴I=36R當R=6Ω，I當I=10A，∵36>0，∴在第一象限內，I隨著R的增大而減小，∴I≤10A時，R≥3.6Ω，故綜上所述，說法正確的是①②④；故選：C．押題2如圖，△AOC的頂點A和邊AC的中點B都在反比例函數y=kx(k>0)的圖象上，若△A．3 B．23 C．33 D【答案】D【分析】本題考查了反比例函數k值的幾何意義、相似三角形的判定與性質，利用條件求出AE=2BF，CE=2CF，由S△AOE=k2=S△BOF得到OF【詳解】解：作AE⊥x軸，垂足為E，BF⊥x軸，垂足為∴AE∥∴∠AEC∵∠ACE∴△CBF∽△CAE∵點B是邊AC的中點，∴BFAE=CBCA=∵點A、B都在反比例函數y=∴S△AOE∴OE?2BF∴OE∵S△∴S△AEO∵△AOC的面積是6∴k2+故選：D．押題3若雙曲線y=mx與直線y=nx的一個交點坐標為(-1,2)，則關于xA．-1<x<1 B．C．-1<x<0或x>1 D【答案】C【分析】本題考查反比例函數及一次函數交點問題．根據題意利用交點坐標及圖象即可得到本題答案．【詳解】解：∵雙曲線y=mx與直線y∴反比例函數經過二，四象限，一次函數經過二，四象限，另一個交點為(1,-2)，∴mx>nx的解集為：-故選：C．押題4如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，線段AB在x軸上，點D在反比例函數y=kxk≠0的圖象上，線段AD與y軸的正半軸相交于點E，若DE=3AE，且△A．9 B．12 C．18 D．24【答案】D【分析】本題主要考查了反比例函數與幾何綜合，相似三角形的性質與判定，平行四邊形的性質，設Da,ka，由平行四邊形的性質可得CD∥x軸，則【詳解】解：設Da∵四邊形ABCD是平行四邊形，線段AB在x軸上，∴CD∥AB，即∴CD=∵CD∥∴△CDE∴OACD∴OA=∵S△∴12∴k=24故選：D．押題5若點Ax1,-1,Bx2,1，Cx3,5都在反比例函數【答案】x【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，根據反比例函數解析式分布求出x1【詳解】解：∵點Ax1,-1∴-1=解得x1同理可得，x2=2，∴x1故答案為：x1押題6在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強P（單位：Pa）與它的受力面積S（單位：m2）是反比例函數關系，其函數圖象如圖所示．當S=0.2m2時，【答案】50【分析】本題考查反比例函數的實際應用，結合圖象，先求出反比例函數的解析式，再把S=0.2【詳解】解：設P=kS∴k=0.1×100=10∴P=∴當S=0.2m2故答案為：50．押題7閱讀材料：在學習反比例函數的性質時，通過圖象直觀感受到反比例函數的圖象關于原點對稱．小明利用代數方法進行了推導．證明：在反比例函數y=kxk則點A關于原點的對稱點B的坐標為-a∵-a∴點B也在反比例函數y=∵點A是反比例函數y=kx∴反比例函數y=問題解決：下面我們來研究一個新函數y=(1)試運用閱讀材料提供的方法，證明函數y=3x的圖象關于(2)已知點P(x,y1),Q(2,y(3)已知函數y=x-2的圖象在函數【答案】(1)y軸(2)x<-2或(3)x<0或【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合，關于y軸對稱的點的坐標特點；（1）根據閱讀材料的證明過程證明即可；（2）由y1<y2可得（3）結合函數圖象y=x-2與y=3x【詳解】（1）解：函數y=3x的圖象關于證明：在y=3x則點A關于y軸的對稱點B坐標為(-a∵把x=-a代入y=3x中，y∴y=3x故答案為：y軸；（2）解：∵點P(x,y1∴3∴|x∴x<-2或故答案為：∴x<-2或x（3）解：如圖：結合函數圖象y=x-2與此時聯立x-解得x1=3,經檢驗，x1∵x∴x∵函數y=x-∴x的取值范圍為：x<0或0<押題8綜合與實踐-項目式學習【項目主題】學科融合-用數學的眼光觀察現實世界．【項目背景】學習完相似三角形的性質后，某學校科學小組的同學們嘗試用數學的知識和方法來研究凸透鏡成像規律．【項目素材】素材一：凸透鏡成像中，光路圖的規律：通過凸透鏡中心的光線不發生改變；平行于主光軸的光線經過折射后經過焦點．素材二：設u表示物體到凸透鏡的距離，v表示像到凸透鏡的距離，f表示凸透鏡的焦距（凸透鏡中心到焦點之間的距離），小明在研究的過程中發現了u，v和f之間在成實像時存在著關系：v【項目任務】根據項目素材解決問題：任務一：如圖，AB為物體，點O為凸透鏡MN的中心，入射光線AC∥主光軸，折射光線CA'經過焦點D，A'B'為任務二：已知凸透鏡MN的焦距為8cm，物體AB的高度為6cm，當物體到凸透鏡的距離為xcm（x>8）時，測量物體的成像A'B(1)請你利用所學的知識求出y與x的關系式．(2)當x