高三數學大題規范訓練（23）15.如圖，在三棱錐中，，分別是線段的中點，，，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）利用中位線知識得到，然后使用線面垂直的判定定理；（2）直接使用空間向量求解.【小問1詳解】由于是的中點，，故.而分別是的中點，故且，而，所以.由，知，而，故.而，在平面內交于點，故平面.【小問2詳解】已證，平面，故可以原點，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標系.則，，，且由知.設，分別是平面和的一個法向量，則由可知.故可取，，得.所以二面角的正弦值是.16.記是等差數列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）設，證明：.【答案】（1）（2）證明見解答【解答】【分析】（1）利用等差數列的通項公式與求和公式得到關于的方程組，解之即可得解；（2）由（1）求得，再利用累乘法求得，從而利用及與的關系式的性質即可得證.【小問1詳解】因為是等差數列，設其公差為，則由，得，解得，所以數列通項公式為.【小問2詳解】數列的前項和，則，所以，因為，所以，則；因為，當增大，則減少，所以時，取得最大值為，所以最大為；綜上，.17.佛山順德雙皮奶是一種粵式甜品，上層奶皮甘香，下層奶皮香滑潤口，吃起來，香氣濃郁，入口嫩滑，讓人唇齒留香．雙皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，輔以雞蛋和白糖制成．水牛奶中含有豐富的蛋白質，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人體生長發育所需的氨基酸和微量元素．不過新鮮的水牛奶保質期較短．某超市為了保證顧客能購買到新鮮的水牛奶又不用過多存貨，于是統計了50天銷售水牛奶的情況，獲得如下數據：日銷售量/件0123天數5102510假設水牛奶日銷售量的分布規律保持不變，將頻率視為概率．（1）求接下來三天中至少有2天能賣出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存貨管理水平的高低會直接影響超市的經營情況．該超市對水牛奶實行如下存貨管理制度：當天營業結束后檢查存貨，若存貨少于2件，則通知配送中心立即補貨至3件，否則不補貨．假設某天開始營業時貨架上有3件水牛奶，求第二天營業結束后貨架上有1件存貨的概率．【答案】（1）;（2）.【解答】【分析】（1）由題設三天中賣出3件水牛奶的天數，利用二項分布的概率概率公式求即可；（2）討論第一天營業結束是否需要補貨，利用全概率公式分別求出不需補貨、需要補貨情況下在第二天營業結束貨架上有1件存貨的概率，即可得結果.【小問1詳解】由題設，能賣出3件水牛奶的概率為，3件以下的概率為，所以三天中賣出3件水牛奶的天數，則.【小問2詳解】由（1）及題意知：第一天營業結束后不補貨的情況為A={銷售0件}或B={銷售1件}，所以，，令C={第二天貨架上有1件存貨}，則，，所以.第一天營業結束后補貨的情況為D={銷售3件}或E={銷售2件}，所以，，令F={第二天貨架上有1件存貨}，則，，所以.綜上，第二天營業結束后貨架上有1件存貨的概率.18.已知函數，．（1）當時，求函數最小值；（2）是否存在，且依次成等比數列，使得，，依次成等差數列？請證明；（3）當時，函數有兩個零點，是否存在的關系？若存在，請證明；若不存在，請寫出正確的關系．【答案】（1）1（2）答案見解答，證明見解答（3）存在，證明見解答【解答】【分析】（1）代入，再對求導，并研究其單調性，可得答案；（2）利用等差中項建立等式，結合等比中項以及對數運算律化簡等式，根據分類討論思想，可得答案；（3）先分析的單調性，結合零點存在定理得到，再構造函數，利用導數研究其單調性，建立關于的不等式，整理可即可得解.【小問1詳解】當時，，，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增，所以．【小問2詳解】要證，，依次成等差數列，只需證，整理可得，由依次成等比數列，則，所以①當時，上式顯然成立；②當時，則，整理可得，由依次成等比數列可得，則，代入得：與題意矛盾，故此時不存在；綜上：當時，存在滿足要題意的；當時，不存在滿足要題意的.【小問3詳解】因為，，，所以，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，又當時，恒成立，當趨于0時，趨于無窮小；當趨于無窮大時，趨于無窮小；所以在上各有一個零點，不妨設，則，．設函數，則，，所以在上單調遞增，故當時，，即，當時，，即，所以，，所以，整理可得：，即，所以．【小結】方法小結：利用導數解決函數零點問題的方法：（1）直接法：先對函數求導，根據導數方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.19.在平面直角坐標系中，已知兩定點，，M是平面內一動點，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．（1）求動點M的軌跡；（2）設過的直線交曲線于C，D兩點，Q為平面上一動點，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動點Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．【答案】（1）（2）在定直線y＝8（x≠0）上．【解答】【詳解】（1）設，則，由題意知－4＜x＜4．∵，∴，即，故動點M的軌跡為．（2）存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．理由如下：當直線CD的斜率存在時，設直線CD的方程為y＝kx＋1．設，，，則，，，由此知．將y＝kx＋1代入，得，于是，．①條件即，也即．將，代入得．顯然不在直線y＝kx＋1上，∴，從而得，即．將，代入得．將式①代入得，解得．