抽屜原理

國陽

抽屜原理是一種特殊的思維方法，不但可以根據它來做出許多有趣的推理和判斷，同時能夠幫助同學

證明很多看似復雜的問題。本講的主要教學目標是：

1.理解抽屜原理的基本概念、基本用法；

2.掌握用抽屜原理解題的基本過程；

3.能夠構造抽屜進行解題；

4.利用最不利原則進行解題：

5.利用抽屜原理與最不利原則解釋并證明一些結論及生活中的一些問題。

部識鬧撥

一、知識點介紹

抽屜原理有時也被稱為鴿籠原理，它由德國數學家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數論中

的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則.抽屜原理是組合數學中一個重要而又基本的數學原理，利用它可

以解決很多有趣的問題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用.許多看起來相當復雜，甚至無從下手的問題，

在利用抽屜原則后，能很快使問題得到解決.

二、抽屜原理的定義

（1）舉例

桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜可以放一個，有的可以放

兩個，有的可以放五個，但最終我們會發現至少我們可以找到一個抽屜里面至少放兩個蘋果。

（2）定義

一般情況下，把n+1或多于n+1個蘋果放到n個抽屜里，其中必定至少有一個抽屜里至少有兩個蘋

果，我們稱這種現象為抽屜原理（

三、抽屜原理的解題方案

（一）、利用公式進行解題

革果二抽屈=商……余數

余數：（1）余數=1,結論：至少有（商+1）個蘋果在同一個抽屜里

（2）余數=%（1YXY（〃-1））,結論：至少有（商+1）個蘋果在同一個抽屜里

（3）余數=0,結論：至少有“商”個羊果在同一個抽屜里

（二）、利用最值原理解題

將題目中沒有闡明的量進行被限討論，將發雜的題目變得非常簡單，也就是常說的極限思想“任我意”

方去、特殊值方法.

（一）、直接利用公式進行解題

（1）求結論

【例1】6只鴿子要飛進5個籠子，每個籠子里都必須有1只，一定有一個籠子里有2只鴿子.對嗎？

【考點】抽屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】6只鴿子要飛進5個籠子，如果每個籠子裝1只，這樣還剩下1只鴿子.這只鴿子可以任意飛進其

中的一個籠子，這樣至少有一個籠子里有2只鴿子.所以這句話是正確的.

利用剛剛學習過的抽屜原理來解釋這個問題，把鴿籠看作“抽屜”，把鴿子看作“蘋果”，

6+5=11,1+1=2（只）把6個蘋果放到5個抽屜中，每個抽屜中都要有I個革果，那么肯

定有一個抽屜中有兩個羊果，也就是一定有一個籠子里有2只鴿子.

【答案】對

【鞏固】把9條金魚任意放在8個魚缸里面，請你說明至少有一個魚缸放有兩條或兩條以上金魚.

【考點】抽屜原理【難度】I星【懣型】解答

【解析】略.

【答案】在8個魚缸里面，每個魚缸放一條，就是8條金魚；還軻下的一條，任意放在這8個魚缸其中的任

意一個中，這樣至少有一個魚缸里面會放有兩條金魚.

【鞏固】教室里有5名學生正在做作業，現在只有數學、英語、語文、地理四科作業試說明：這5名學

生中，至少有兩個人在做同一科作業.

【考點】抽屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】略.

【答案】將5名學生看作5個蘋果的教學、英語、語文、地理作業各看成一個抽屜，共4個抽屜由抽屜

原理，一定存在一個抽屜，在這個抽屜里至少有2個苴果.即至少有兩名學生在做同一科的作業

【鞏固】年級一班學雷鋒小組有13人.教數學的張老師說：“你們這個小組至少有2個人在同一月過生

日.”你知道張老師為什么這樣說嗎？

【考點】抽屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】略.

【總結】題目中并沒有說明什么是“抽屜”,什么是“物品”，解題的關鍵是制造“抽屜”，確定假設的“物品”,

根據“抽屜少，物品多”轉化為抽屜原理來解.

【答案】從題目可以看出，這道題顯然與月份有關.我們知道，一年有12個月，把這12個月看成12個抽

屜，這道題就相當于把13個蘋果放入12個抽屜中.根據抽屜原理，至少有一個抽屜放了兩個蘋

果.因此至少有兩個同學在同一個月過生日.

【鞏固】數學興趣小組有13個學生，請你說明：在這13個同學中，至少有兩個同學屬相一樣.

【考點】抽屜原理【難度】I星【題型】解答

【解析】略.

【答案】屬相共12個,把12個屬相作為12個“抽屜”，13個同學按照自己的屬相選擇相應的“抽屜”,根據

抽屜原理，一定有一個“抽屜”中有兩個或兩個以上同學，也就是說至少有兩個同學屬相一樣

【鞏固】光明小學有367名2000年出生的學生，請問是否有生日相同的學生？

【考點】抽屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】略.

【答案】一年最多有366天，把366天看作366個“抽屜”，將367名學生看作367個“蘋果這樣，把367個

蘋果放進366個抽屜里，至少有一個抽屜里不止放一個蘋果.這就說明，至少有2名同學的生日

相同

【鞏固】用五種顏色給正方體各面涂色（每面只涂一種色），請你說明：至少會有兩個面涂色相同.

【考點】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【答案】五種顏色最多只能涂5小不同顏色的面，因為正方體有6個面，還有一個面要選擇這五種顏包中

的任意一種來涂，不管這個面涂成哪種顏色，都會和前面有一個面顏色相同，這樣就有兩個面會

被涂上相同的顏色.也可以把五種顏色作為5個“抽屜”，六個面作為六個物品，當把六個面隨意

放入五個抽屜時，根據茄屜原理，一定有一個抽屜中有兩個或兩個以上的面，也就是至少會有兩

個而涂色相同

【鞏固】三個小朋友在一起玩，其中必有兩個小朋友都是男孩或者都是女孩.

【考點】柚屜原理【難度】1星【題型】解答

【解析】略.

【答案】方法一：情況一：這三個小朋友，可能全部是男，那么必有兩個小朋友都是男孩的說法是正確的；

情況二：這三個小朋友，可能全部是女，那么必有兩個小朋友都是女孩的說法是正確的；

情況三：這三個小朋友，可能其中1男2女那么必有兩個小朋友都是女孩說法是正確的；

情況四：這三個小朋友，可能其中2男I女，那么必有兩個小朋友都是男孩的說法是正

確的.所以，三個小朋友在一起玩，其中必有兩個小朋友都是男孩或者都是女

孩的說法是正確的；

方法二：三個小朋友只有兩種性別，所以至少有兩個人的性別是相同的，所以必有兩個小朋友都

是男孩或者都是女孩

【鞏固】試說明400人中至少有兩個人的生日相同.

【考點】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【答案】將一年中的366天或365天視為366個或365個抽屜，400個人看作400個蘋果，從最極端的情況

考慮，即每個抽屜都放一個蘋果，還有35個或34個蘋果必然要放到有一個蘋果的抽屜里，所以

至少有一個抽屜有至少兩個蘋果，即至少有兩人的生日相同

【例2】向陽小學有730個學生，問：至少有幾個學生的生日是同一天？

【考點】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【卷案】一年最多有366天，可看做366個抽屜，730個學生看做730個蘋果.因為730?366=1……364,

所以，至少有1+1=2（個）學生的生日是同一天

【鞏固】人的頭發平均有12萬根，如果最多不超過20萬根，那么13億中國人中至少有一人的頭發的

根數相同。

圖8

【考點】抽屜原理【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】這是一道抽屜原理的題目，所以要先分清楚什么是抽屜，什么是蘋果。此題中的抽屜是人的頭發:

有20萬個，中國的人數是蘋果：13億人，所以至少應有：1300000000+200000=6500（人）。

【答案】650人

【例31“六一”兒童節，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人.試說明：在游園

的小朋友中，至少有兩個小朋友遇到的熟人數目相等.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】假設共有〃個小朋友到公園游玩，我們把他們看作〃個“蘋果”，再把每個小朋友遇到的熟人數目

看作“抽屜”，那么，〃個小朋友每人遇到的熟人數目共有以下〃種可能：0,1,2,……,n-1.其

中0的意思是指這位小朋友沒有遇到熟人：而每位小朋友最多遇見〃-1個熟人，所以共有〃個“抽

屜”.下面分兩種情況來討論：

（1）如果在這〃個小朋友中，有一些小朋友沒有遇到任何熟人，這時其他小朋友最多只能遇上〃-2

個熟人,這樣熟人數目只有〃-1種可能：（），I,2,……，n-2.這樣，“蘋果”數（〃個小朋友）

超過“抽屜”數（〃-1種熟人數目），根據抽屜原理，至少有兩個小朋友，他們遇到的熟人數目相等.

（2）如果在這〃個小朋友中，每位小朋友都至少遇到一個熟人，這樣熟人數目只有〃-1種可能：1,

2,3......n-\.這時，“蘋果”數（〃個小朋友）仍然超過“抽屜”數（〃-1種熟人數目）,根據抽屜

原理，至少有兩個小朋友，他們遇到的熟人數目相等.

總之，不管這〃個小朋友各遇到多少熟人（包括沒遇到熟人），必有兩個小朋友遇到的熟人數目相等

【鞏固】五年級數學小組共有20名同學，他們在數學小組中都有一些朋友，請你說明：至少有兩名同學，

他們的朋友人數一樣多.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】數學小組共有20名同學，因此每個同學最多有19個朋友；又由于他們都有朋友，所以每個同學

至少有1個朋友.因此，這20名同學中,每個同學的朋友數只有19種可能：1.2.3......

19.把這20名同學看作20個“蘋果”，又把同學的朋友數目看作19個“抽屜”，根據抽屜原理，至

少有2名同學，他們的朋友人數一樣多

［例4］四個連續的自然數分別被3除后，必有兩個余數相同，請說明理由.

【考點】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【率案】想一想，不同的自然數被3除的余數有幾類？在這道懣中，把什么當作抽屜呢？

把這四個連續的自然數分別除以3,其余數不外乎是0,1,2,把這3個不同的余數當作3個''抽

屜”，把這4個連續的自然數按照被3除的余數，分別放入對應的3個“抽屜”中，根據抽屜原理，

至少有兩個自然數在同一個抽屜里，也就是說，至少有兩個自然數除以3的余數相同

［例5］在任意的四個自然數中，是否其中必有兩個數，它們的差能被3整除？

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】因為任何整數除以3,其余數只可能是0,1,2三種情形.我們將余數的這三種情形看成是三個

“抽屜一個整數除以3的余數屬于哪種情形，就將此整數放在那個“抽屜”里.將四個自然數放入

三個抽屜，至少有一個抽屜里放了不止一個數，也就是說至少有兩個數除以3的余數相同（需要對

學生利用余數性質進行解釋：為什么余數相同，則差就能被整除）.這兩個數的差必能被3整除

【鞏固】證明：任取8個自然數，必有兩個數的差是7的倍數.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【客案】在與整除有關的問題中有這樣的性質，如果兩個整數a、b,它們除以自然數〃？的余數相同，那

么它們的差是〃？的倍數.根據這個性質，本題只需證明這8個自然數中有2個自然數，它們

除以7的余數相同.我們可以把所有自然數按被7除所得的7種不同的余數0、I、2、3、4、5、6

分成七類.也就是7個拈屜.任取8個自然數，根據抽屜原理，必有兩個數在同一個抽屜中，也就

是它們除以7的余數相同，因此這兩個數的差一定是7的倍數

【鞏固】證明：任取6個自然數，必有兩個數的差是5的倍數。

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略。

【答案】把自然數按照除以5的余數分成5個剩余類，即5個抽屜.任取6個自然數，根據抽屜原理，至少

有兩個數屬于同一剩余類，即這兩個數除以5的余數相同，因此它們的差是5的信數

【鞏固】（第八屆《小數報》數學競賽決賽）將全體自然數按照它們個位數字可分為10類：個位數字是

1的為第1類，個位數字是2的為第2類，…，個位數字是9的為第9類，個位數字是0的為第

10類.（1）任意取出6個互不同類的自然數，其中一定有2個數的和是1（）的倍數嗎？（2）任

意取出7個互不同類的自然數，其中一定有2個數的和是10的倍數嗎？如果一定，請煎藥說明

理由；如果不一定，請舉出一個反例.

【考點】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【答案】（1）不一定有.例如1、2、3、4、5、10這6個數中，任意兩個數的和都不是10的倍數.

（2）一定有.招?第I類與第9類合并，第2類與第8類合并，第3類與第7類合并，第4類與第

6類合并，制造出4個抽屜；把第5類、第10類分別看作1個抽屜，共6個抽屜.任意7個

互不同類的自然數，放到這6個抽屜中，至少有1個抽屜里放2個數.因為7個數互不同類，

所以后兩個抽屜中每個都不可能放兩個數.當兩個互不同類的數放到前4個抽屈的任何一個

里面時，它們的和一定是10的倍數

【鞏固】證明：任給12個不同的兩位數，其中一定存在著這樣的兩個數，它們的差是個位與十位數字相

同的兩位數.

【考點】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】略.

【率案】兩位數除以11的余數有11種：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,按余數情況把所有兩位數

分成II種.12個不同的兩位數放入II個抽屜，必定有至少2個數在同一個抽屜里，這2個數除

以11的余數相同，兩者的差一定能整除11.兩個不同的兩位數，差能被11整除，這個差也一定

是兩位數（如II,22……）,并且個位與十位相同.所以，任給12個不同的兩位數，其中一定

存在著這樣的兩個數，它們的差是個位與十位數字相同的兩位教

［例6］任給11個數，其中必有6個數，它們的和是6的倍數.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答■案】設這11個數為4，a-,,%.......4“，由5個數的結論可知，在q,a,,公,a4,小中必有

3個數，其和為3的倍數，不妨設q+%+/=3K；在見，%,《，的，心中必有3個數，其

和為3的倍數，不妨設《+氏+”=3&;在%,歿，%，，a”中必有3個數，算和為3的倍

數,不妨設％+仆+q=3網.又在4，&，勺中必有兩個數的奇偶性相同，不妨設K，區的奪

偶性相同，那么34+3&是6的倍數，即4，%，%，4，6，4的和是6的倍數

【鞏固】在任意的五個自然數中，是否其中必有三個數的和是3的倍數？

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【客案】至多有兩個數在同一個茄屜里，那么每個抽屜里都有數，在每個抽屜里各取一個數，這三個數被

3除的余數分別為0,I,2.因此這三個數之和能被3整除.綜上所述，在任意的五個自然數中，

其中必有三個數的和是3的倍數

【鞏固】從2、4、6、…、30這15個偶數中，任取9個數，證明其中一定有兩個數之和是34.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【客案】我們用題目中的15個偶數制造8個抽屜，（2）,（4,30）,（6,28）,（16,18）,凡是抽屜中的有兩個

數，都具有一個共同的特點：這兩個數的和是34.

現從題目中的15個偶數中任取9個數，由抽屜原理1因為抽屜只有8個），必有兩個數在同一

個抽屜中.由制造的抽屜的特點，這兩個數的和是34

［例7］任意給定2008個自然數，證明：其中必有若干個自然數，和是2008的倍數（單獨一個數也當做和）.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】把這2008個數先排成一行：q,a2,a3,....,42go§，

第1個數為4；

前2個數的和為q+/；

前3個數的和為q+%+%；

前2008個數的和為勺+a2+…+/008.

如果這2008個和中有一個是2008的倍數，那么問題已經解決；如果這2008個和中沒有2008的

倍數，那么它們除以2038的余數只能為1,2,……,2007之一，根據抽屜原理，必有兩個和除

以2008的余數相同，那么它們的差(仍然是q,%，%............loos中若干個數的和)是2008的

傳數.所以結論成立

【鞏固】20道復習題，小明在兩周內做完，每天至少做一道題.證明：小明一定在連續的若干天內恰好

做了7道題目.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】設小明第1天做了％道題，前2天共做了生道題，前3天共做了出道題，……，前14天共做了乙

道題.顯然《4=20,而q?％3都小于20.考慮4,a2,,.,a3及4+7,a2+l,+7,..,

%+7這28個數，它們都不超過27.

根據抽屜原理，這28個數中必有兩個數相等.由于4,0，％?14互不相等，4+7,%+7，

4+7............q4+7也互不相等，因而這兩個相等的數只能一個在前一組，另一個在后一組中，

即有：%=4+7,所以q-《=7.這表明從第i+1天到第/天，小明恰好做了7道題.

【例8］求證：可以找到一個各位數字都是4的自然數，它是1996的倍數.

【考點】抽屜原理【難度】4星【題型】解答

【解析】略.

【答案】1996+4=499,下面證明可以找到1個各位數字都是1的自然數，它是499的倍數.

取500個數：1,11,111,........,111........1(500個1).用499去除這500個數，得到500個余

沏.

數％,a2f6，…，4由于余數只能取0,1,2,498這499個值，所以根據抽屜原則，

必有2個余數是相同的，這2個數的差就是499的倍數，差的前若干位是1,后若干位是0:

1I...100...0.義499和10是互質的，所以它的前若干位由I組成的自然數是499的倍數，將它

乘以4,就得到一個各位數字都是4的自然數，這是1996的倍數

【鞏固】任意給定一個正整數〃，一定可以將它乘以適當的整數，使得乘積是完全由0和7組成的數.

【考點】抽屜原理【難度】4星【題型】解答

【解析】略.

【答案】考慮如下〃+1個數：7,77,777,……,生二2，ZZ二Z，這〃+1個數除以〃的余數只能為。，1，

/ill依

2............〃-1中之一，共〃種情況，根據抽屜原理，其中必有兩個數除以〃的余數相同，不妨設

為77?.-7和77?一7(〃>4),那么77-7-77-?7=77-7()0—0是〃的倍數，所以〃乘以適當的整數,

~~~~點.~~'(p-q)位'~布一~

可以得到形式為77…700…0的數,即由0和7組成的數

(p-g)位**一殺

【例9］求證：對于任意的8個自然數，一定能從中找到6個數4,b,c,d,etf,使得(a-〃)(c-d)(e-7)

是105的倍數.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【率案】105=3x5x7.對于任意的8個自然數，必可選出2個數，使它們的差是7的倍數；在剩下的6

個數中，又可選出2個數，使它們的差是5的倍數；在剩下的4個數中，又可選出2個數，使它

們的差是3的倍數

【鞏固】任給六個數字，一定可以通過加、減、乘、除、括號，將這六個數組成一個算式，使其得數為

105的倍數.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】根據上一題的提示我們可以寫出下列數字謎“□/(。山)(6?)使其結果為105的倍數，那么我們的

思路是使第一個括號里是7的倍數，第二個括號里是5的倍數，第三個括號里是3的倍數，那

么對于如果六個數字里有7的倍數，那么第一個括號里直接做乘法即可，如果沒有7的倍數，

那么我們做如下抽屜：

｛除以7的余數是1或者是6｝

｛除以7的余數是2或者是5｝

｛除以7的余數是3或者是4｝那么六個數字肯定有兩個數字在同一個抽屜里，那么著兩個數如果

余數相同，做減法就可以得到7的倍數，如果余數不同，做加法就可以得到7的倍數.

這樣剩下的4個數中，同理可得后面的括號里也可以組合出5和3的倍數.于是本題可以證明

【鞏固】在100張卡片上不重復地編上1700,至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出的卡片上的數之

乘積可被12整除？

【考點】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【關曜詞】2008年，中國臺灣小學數學競賽決賽

【解析】略。

【答案】12=2?x3,因為3的倍數有［與］=33個，所以不是3的倍數的數一共有100-33=67(個)，抽

取這67個數無法保證乘積是3的倍數，但是如果抽取68個數，則必定存在一個數是3的倍數，義

因為奇數只有50個，所以抽取的偶數至少有18個，可以保證乘積是4的倍數，從而可以保證乘

積是12的倍數。于是最少要抽取68個數(即：68張卡片)才可以保證結果

【例10］把1、2、3....10這十個數按任意順序排成一圈，求證在這一圈數中一定有相鄰的三個數之

和不小于17.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】喀.

【卷案】(法1)把這一國從某一個數開始按順時針方向分別記為4、生、4....相鄰的三個數為一

組，有《a2a3、、4344a5、…、、4⑼生共10組.

這十組三個數之和的總和為：

(?)+a2+々3)+(〃2+43+%)+…+(〃10+4+々2)=314+。2+…+4O)=3X55=165,

165=16x10+5,根據抽屜原理，這十組數中至少有一組數的和不小于17.

(法2)在10個數中一定有一個數是1,不妨設4。=1，除去%之外，把4、〃2、%....%這9

個數按順序分為三組、Cl4a5a6、%4%.因為這三組數之和的總和為：

(4+?2+々3)+(。4+4+&)+(%+4+4)=2+3+…+10=54,根據抽屜原理，這三組數中

至少有一組數之和不小于17

【鞏固】圓周上有2000個點，在其上任意地標上0,1,2,…/999(每一點只標一個數，不同的點標上不同

的數).證明必然存在一點，與它緊相鄰的兩個點和這點上所標的三個數之和不小于2999

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】把這一圈從某一個數開始按順時針方向分別記為4、的、％、…、生頌—相鄰的三個數為一組，

有、"s""%、???、”［999〃汽乂/)"1、"，(((不"】"，2000xM?

這2000組三個數之和的總和為：

(4+電+6)+(生+°3+()+一，+(°2?)0+%+〃2)=3(q+a,+???+〃20no)=3x(l+2+3+?--1999)=5997000

5997000=2998x2000+1(XX),根據抽屜原理，這兩千組數中至少有一組數的和不小于2999

【例11】證明：在任意的6個人中必有3個人，他們或者相互認識，或者相互不認識.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】把這6個人看作6個點，每兩點之間連一條線段，兩人相互認識的話將線段涂紅包，兩人不認識

的話將線段涂上藍色，那么只需證明其中有一個同色三角形即可.從這6個點中隨意選取一點A,

從八點引出的5條線段，根據抽屜原理，必有3條的顏色相同，不妨設有3條線段為紅色，它們

另外一個端點分別為8、C、D,那么這三點中只要有兩點比如說8、C之間的線段是紅色，那

么A、8、C3點組成紅色三角形；如果3、C、。三點之間的線段都不是紅色，那么都是藍色，

這樣8、C、03點組成藍色三角形，也符合條件.所以結論成立

【鞏固】平面上給定6個點，沒有3個點在一條直線上.證明：用這些點做頂點所組成的一切三角形中，

一定有一個三角形，它的最大邊同時是另外一個三角形的最小邊.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【客案】我們先把題目解釋一下.一般情況下三角形的三條邊的長度是互不相等的，因此必有最大邊和最

小邊.在等腰三角形（或等邊三角形中），會出現兩條邊，甚至三條邊都是最大邊（或鼠小邊）.

我們用染色的辦法來解決這個問題.分兩步染色：

第一步：先將每一個三街形中的最大邊涂上同一種顏色，比如紅色；第二步，將其它的未涂色的

線段都涂上另外一種顏色，比如藍色.

這樣，我們就將所有三角形的邊都用紅、藍兩色涂好.根據上題題的結論可知，這些三角形中至

少有一個同色三角形.由于這個同色三角形有自己的最大邊，而最大邊涂成紅色，所以這個同色

三角形必然是紅色三角腦.由于這個同色三角形有自己的最小邊，而這條最小邊也是紅色的，說

明這條最小邊必定是某個三角形的最大邊.結論得證

【鞏固】假設在一個平面上有任意六個點，無三點共線，每兩點用紅色或藍色的線段連起來，都連好后，

問你能不能找到一個由這些線構成的三角形，使三角形的三邊同色？

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】從這6個點中隨意選取一點A,從A點引出的5條線段，根據抽屜原理，必有3條的顏色相同，

不妨設有3條線段為紅包，它們另外一個端點分別為8、C、D,那么這三點中只要有兩點比如

說8、C之間的線段是紅色，那么A、B、C3點組成紅色三角形；如果8、C、。三點之間的

線段都不是紅色，那么都是藍色，這樣8、C、。3點組成籃色三角形，也符合條件.所以結論

成立.（可以拓展玩轉數學）

【鞏固】平面上有17個點，兩兩連線，每條線段染紅、黃、藍三種顏色中的一種，這些線段能構成若干

個三角形.證明：一定有一個三角形三邊的顏色相同.

【考點】抽屜原理【難度】4星【題型】解答

【解析】略.

【答案】從這17個點鐘任取一個點A,把A點與其它16個點相連可以得到16條線段,根據抽屜原理.

其中同色的線段至少有6條，不妨設為紅色.考慮這6條線段的除A點外的6個端點：

⑴如果6個點兩兩之間有1條紅色線段，那么就有1個紅色三角形符合條件；

⑵如果6個點之間沒有紅色線段，也就是全為黃色和藍色，由上面的2題可知，這6個點中必有

3個點，它們之間的線段的顏色相同，那么這樣的三角形就符合條件.

綜上所述，一定存在一個三角形滿足題目要求

【例12】上體育課時，21名男、女學生排成3行7列的隊形做操.老師是否總能從隊形中劃出一個長方

形，使得站在這個長方形4個角上的學生或者都是男生，或者都是女生?如果能，請說明理由；

如果不能，請舉出實例.

【考點】抽屜原理【難度】3星【題型】解答

【解析】略.

【答案】因為只有男生或女生兩種情況，所以第1行的7個位置中至少有4個位置同性別.為了確定起見，

不妨設前4個位矍同是男生，如果第二行的前4個位豆有2名男生，那么4個角同是男生的情況

已經存在，所以我們假定第二行的前4個位置中至少有3名女生，不妨假定前3個是女生.又第

三行的前3個位置中至少有2個位置是同性別學生，當是2名男生時與第一行構成一個四角同性

別的矩形，當有2名女生時與第二行構成四角同性別的矩形.所以，不論如何，總能從隊形中劃

出一個長方形，使得站在這個長方形4個角上的學生同性別.問題得證

【例13】8個學生解8道題目.（1）若每道題至少被S人解出，請說明可以找到兩個學生，每道題至少被

過兩個學生中的一個解出.（2）如果每道題只有4個學生解出，那么⑴的結論一般不成立.試構

造一個例子說明這點.

【考點】抽屜原理【難度】4星【題型】解答

【解析】略

【零案】（1）先設每道題被一人解出稱為一次，那么8道題目至少共解出5x8=40次，分到8個學生身上，

至少有一個學生解出了5次或5次以上題目，即這個學生至少解出5道題，稱這個學生為A,

我們討論以下4種可能：

第一種可能若A只解出5道題，則另3道題應由其他7個人解出，而3道題至少共被解出3x5=15

次，分到7個學生身上，至少有一名同學解出了3次或3次以上的題目（15=2x7+1,由抽屜原則

便知）由于只有3道題，那么這3道題被一名學生全部解出，記這名同學為B.那么，每道題至

少被A、B兩名同學中某人解出.

第二種可能若A解出6道題，則另2道題應由另7人解出，而2道題至少共被解出2x5=10

次,分到7個同學身上,至少有一名同學解出2次或2次以上的題目（10=1x7+3,由抽屜原則便

知）.與1第一種可能I同理，這兩道題必被一名學生全部解出，記這名同學為C.疥么，每道題

目至少被A、C學生中一人解出.

第三種可能若A解出7道題目，則另一題必由另一人解出，記此人為D.那么，每道題目至

少被A、D兩名學生中一人解出.

第四種可能若A解出8道題目，則隨意找一名學生，記為E,那么，每道題目至少被A、E

兩名學生中一人解出，所以問題（1）得證.

（2）類似問題（1）中的想法，題目共被解出8x4=32次，可以使每名學生都解出4次，那么每人解

出4道題.隨便找一名學生，必有4道未被他解出，這4道題共被7名同學解出4x4=16次，由

于16=2乂7+2,可以使每名同學解出題目不超過3道，這樣就無法找到兩名學生，使每道題目至

少被其中一人解出.

具體構造如下表，其中漢字代表題號，數字代表學生，打4代表該位置對應的題目被該位置對應

的學生解出.

—?二三四五六七A

17

2V

3-JVV

4777

5VV7V

6V

77

87-J

【鞏固】試卷上共有4道選擇題，每題有3個可供選擇的答案.一群學生參加考試，結果是對于其

中任何3人，都有一個題目的答案互不相同.問參加考試的學生最多有多少人？

【考點】抽屜原理【難度】4星【題型】解答

【解析】略

【客案】設總人數為A,再由分析可設第一題篩選取出的人數為A.第二題篩選的人數為第三題篩

選取的人數為第四題篩選的人數為如果不能滿足題目要求，則：A4至少是3,即3個

人只有兩種答案.由于4是A,人做第四題后篩選取出的人數，則由抽屜原則知，

（兩種答案）中至少放有A—個蘋果（即4-=A=3,則A3至少為4,即4人只有

圖圖4

兩種答案.由于A3是4人做第三題后篩選的人數，則由抽屜原則知，將4個蘋果放久三個抽屜

（三種答案），那么必然有兩個抽屜（兩種答篥）中至少放有A,——-個羊果（即

~3

AJ42一與=4=＜則4至少為5,即5人只有兩種答案?同理，有A-與=A2=5則A

[與卜A=7.則4至少為io,

至少為7,即做完第一道題必然有7個人只有兩種答案；則有4）-

即當有10人參加考試時無法滿足題目的要求.考慮9名學生參加考試，令每人答題情況如下表

所示（漢字表示題號，數字表示學生）.故參加考試的學生最多有9人.

123456789

—AAABBBCCC

二ABCABCABC

三ABCBCACAB

四ABCCABBCA

（2）求抽屜

【例14】把十只小兔放進至多幾個籠子里，才能保證至少有一個籠里有兩只或兩只以上的小兔？

【考點】抽屜原理【難度】2星【題型】解答

【解析】要想保證至少有一個籠里有兩只或兩只以上的小兔，把小兔子當作“物品”，杷“籠子”當作“抽屜”，

根據抽屜原理，要把10只小兔放進10-1=9個籠里，才能保證至少有一個籠里有兩只或兩只