第頁，共頁北師大貴陽附中2024-2025學年度第二學期期中考試試卷高二數學（考試時間：120分鐘試題滿分：150分）第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別化簡表示集合，再根據集合的交集運算求解即可.【詳解】，，則.故選：D.2.若，則（）A.380 B.190 C.188 D.240【答案】B【解析】【分析】利用組合數的性質求出，再求出答案.【詳解】由，得，所以.故選：B3.已知復數，為z的共軛復數，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據復數的運算法則，化簡得到，得出，結合復數的概念，即可求解.【詳解】由復數，可得，所以復數的虛部為.故選：C.4.已知向量若則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的坐標運算即可求解.【詳解】由，因為所以，故選：B.5.展開式中系數為（）A.10 B.15 C.20 D.25【答案】A【解析】【分析】根據多項式乘法法則，分析計算即可.【詳解】展開式的項是4個因式中任取3個用，另一個因式用常數項相乘的和，則展開式中的項為，所以含項的系數為10.故選：A.6.一組數據按從小到大的順序排列為1，3，8，，14，16，若該組數據的中位數是極差的，則該組數據的第60百分位數是（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】D【解析】【分析】先由中位數和極差的概念得到，再由百分位數的計算方法求出即可；【詳解】該組數據的中位數為，極差為15，故，則，，則第60百分位數為10.故選：D.7.某班要從8名班干部（其中5名男生，3名女生）中選取3人參加學校優秀班干部評選，事件：男生甲被選中，事件：有兩名女生被選中，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算出事件、的概率，利用條件概率公式可求得的值.【詳解】由題意可得，事件男生甲與兩名女生被選中，則，因此，.故選：B.8.設為數列的前n項和，若，則（）A.1032 B.1033 C.520 D.521【答案】B【解析】【分析】利用題目給的條件。使用退一步相減的方法，構造出數列是等比數列，結合題目的條件，求解出結果即可.【詳解】，即，所以又當時，，作差得，即即，則，又，所以，則數列是以為首項，為公比的等差數列，所以，所以，又，所以，所以故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知離散型隨機變量，滿足，其中的分布列為：且，則下列正確的是（）012A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據分布列的性質對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，解得，所以AB選項正確.，所以，C選項錯誤.，所以，所以D選項正確.故選：ABD10.在一個不透明的袋子里裝有編號為1，2，3的3個白球和編號為4，5的2個紅球.這五個小球除顏色外完全相同.現從中不放回地抽取2次，每次抽取一個小球，則下列說法正確的是（）A.第二次抽到紅球概率為B.在抽取過程中，至少有一次抽到紅球的概率為C.若已知第二次抽到的是紅球，則第一次也抽到紅球的概率為D.設抽到紅球的個數為X，則【答案】AD【解析】【分析】利用古典概型概率公式求得對應概率判斷ABC，X可能取值為0，1，2，利用古典概型概率公式求得分布列，進而計算期望判斷D.【詳解】第二次抽到紅球的概率為，故A正確；至少有一次抽到紅球的概率為，故B錯誤；已知第二次抽到的是紅球，則第一次也抽到紅球的概率為，故C錯誤；X可能取值為0，1，2，，，故，故D正確.故選：AD.11.函數，則下列說法正確的是（）A.的圖象過定點 B.當時，在上單調遞增C.當時，恒成立 D.存在，使得與軸相切【答案】AC【解析】【分析】A計算即可；B求導研究其單調性即可；C根據單調性求其最小值即可；D假設存在，列出方程組，，通過構造函數，來得出矛盾.【詳解】，故A正確；當時，，，因在上單調遞增，且，，故存在使得，即，，則得；得，則在上單調遞減，在上單調遞增，則，當時等號成立，因，故而恒成立，故B錯誤，C正確；假設存在使得與軸相切，設切點為，因，則切線斜率為，故方程組，有解，化簡得，令，則，則在上單調遞減，因，，故，令，則，故在上單調遞增，因且，則，與矛盾，故不存在，使得與軸相切，故D錯誤.故選：AC第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.展開式中的常數項為__________.【答案】【解析】【分析】利用二項式定理得到展開式的通項公式，求出常數項.【詳解】的展開式通項公式為，令，解得，故，所以展開式中常數項為.故答案：.13.從名同學中選擇人參加三天志愿服務活動，有一天安排兩人，另兩天各安排一人，共有__________種安排方法（用數字作答）【答案】【解析】【分析】先從人中選人，將人分成三組，再進行全排，即可求解.【詳解】第一步，從人中選人，共有種取法，第二步，將人分成三組，共有種分法，再進行全排有種排法，由分步計算原理知，共有種安排方法，故答案為：.14.曲線上的點到直線的最短距離是______．【答案】【解析】【分析】利用數形結合方法，結合指數函數的圖象和利用導數研究切線，求得與已知直線平行的切線的切線坐標，進而得解.【詳解】，曲線在

處的切線斜率為

，對應切點，切線與直線

平行，如圖所示.此時距離最短.曲線

上的點到直線的最短距離為,故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知函數.在中，，且.（1）求的大?。海?）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡，根據以及可以得到，由三角形內角和可求出的大??；（2）由的余弦值以及條件計算可得到的值，代入三角形面積公式可求出結果.【小問1詳解】，在中，，所以，因為，所以，則有：或，即或，因為，所以，即，所以.【小問2詳解】因為，，則，即，所以.16.如圖所示，在四面體中，平面，是的中點，分別在線段上，且，．（1）求證：平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據相似可證明，且，進而可得四邊形為平行四邊形，利用線線平行即可求解，（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可根據向量的夾角求解.【小問1詳解】方法一：如圖，在線段上取一點，使，由已知，，且，在線段上取一點，使，由已知，，且，所以，且，因此四邊形為平行四邊形，所以，又平面，且平面，所以平面．方法二：如圖，連接并延長交于連接，在中，過點作，交于點，因為，所以，又是的中點，則，所以，即，又因為，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】由，，知．以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，分別以所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標系．又，得，，，，，則，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】17.已知編號為甲、乙、丙的三個袋子中裝有除標號外完全相同的小球，其中甲袋內裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；乙袋內裝有兩個1號球，一個3號球；丙袋內裝有三個1號球，兩個2號球和一個3號球.（1）從甲袋中一次性摸出2個小球，記隨機變量為1號球的個數，求隨機變量的分布列和數學期望；（2）現按照如下規則摸球：連續摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機摸出1個球，若摸出的是1號球放入甲袋，摸出的是2號球放入乙袋，摸出的是3號球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機摸出1個球.求第二次摸到的是3號球的概率.【答案】（1）分布列見詳解；（2）【解析】【分析】（1）分析可知隨機變量的可能取值為0，1，2，結合超幾何分布求分布列和期望；（2）設相應事件，根據題意可得相應概率，利用全概率公式圓求解.【小問1詳解】由題意可知：隨機變量的可能取值為0，1，2，則有：，可得隨機變量的分布列為012所以隨機變量的期望.【小問2詳解】記第一次從甲袋中隨機摸出1個球，摸出的是1、2、3號球分別為事件，第二次摸到的是3號球為事件B，則，所以.18.已知橢圓的左焦點在拋物線的準線上，且橢圓的短軸長為．（1）求橢圓的方程；（2）已知過原點的直線與橢圓相交于M，N兩點，若直線：上存在點Q，使得是以為底邊的等腰直角三角形，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)利用拋物線方程可求出，再由短軸長可求出，進而求得的值，可寫出橢圓的方程；(2)將直線分三種情況討論：斜率不存在時，斜率為時和斜率存在且不為時，再利用是以為底邊的等腰直角三角形進行求解即可.【小問1詳解】拋物線的準線方程為，橢圓的左焦點為，即，橢圓的短軸長為，，即，，橢圓的方程為；小問2詳解】設，，當直線的斜率不存在時，：，此時M，N分別為橢圓的上、下頂點，不妨設，，要使是以為底邊的等腰直角三角形，則，，，，不合題意；當直線斜率為時，：，此時M，N分別為橢圓的左、右頂點，不妨設，，要使是以為底邊的等腰直角三角形，則，，，，滿足題意；當直線的斜率存在且不為時，設：，由，得，，，，設的垂直平分線方程為，由，得，是以為底邊的等腰直角三角形，，，化簡得，，或(舍)，：，綜上，直線的方程為或.19.已知，．（1）當時，求函數的極小值；（2）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；（3）若當時，函數，有最小值，證明：．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數求解函數的單調性，進而得到極值即可.（2）將函數單調問題轉化為導函數恒成立問題，再利用分離參數法求解即可.（3）利用隱零點代換得到，將化為一元函數，再求解其值域，進而證明不等式即可.【小問1詳解】由題可知，定義域，，令