高頻考點2025年高升專數學（理）全真模擬試卷（立體幾何三視圖專項）一、選擇題要求：從每題的四個選項中，選擇一個最符合題意的答案。1.在下列各對點中，屬于異面直線的是（）A.點A（1，0，1）和點B（0，1，0）B.點C（0，0，1）和點D（0，0，0）C.點E（1，2，3）和點F（4，5，6）D.點G（2，3，4）和點H（5，6，7）2.已知點A（1，2，3），點B（4，5，6），點C（7，8，9），則向量AB、向量AC、向量BC分別表示為（）A.（3，3，3）、（6，6，6）、（3，3，3）B.（3，3，3）、（6，6，6）、（-3，-3，-3）C.（3，3，3）、（-6，-6，-6）、（3，3，3）D.（3，3，3）、（-6，-6，-6）、（-3，-3，-3）二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.已知點A（1，2，3），點B（4，5，6），則向量AB的坐標表示為______。4.已知平面α的法向量為n（1，2，3），點P（4，5，6），則點P到平面α的距離為______。三、解答題要求：寫出解題過程，并給出最終答案。5.（本題共15分）已知點A（1，2，3），點B（4，5，6），點C（7，8，9），求證：向量AB、向量AC、向量BC兩兩垂直。6.（本題共15分）已知平面α的法向量為n（1，2，3），點P（4，5，6），求點P到平面α的距離。四、計算題要求：計算下列各題，并將結果用分數和小數形式表示。7.計算向量$\vec{a}=(2,3,-1)$和向量$\vec{b}=(1,-2,3)$的點積。8.計算向量$\vec{a}=(4,1,2)$和向量$\vec{b}=(1,3,-4)$的叉積。9.已知點A（1，2，3），點B（4，5，6），點C（7，8，9），求三角形ABC的面積。五、證明題要求：寫出證明過程，并給出結論。10.證明：若向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$垂直，則它們的點積為0。11.證明：若向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的叉積為0向量，則向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共線。12.證明：若三個非零向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$滿足$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0$，則向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$共面。六、應用題要求：根據題目要求，寫出解題過程，并給出最終答案。13.一條長為10cm的線段AB，點C在線段AB上，且AC：CB=2：3，求點C到點A的距離。14.已知平面α的法向量為$\vec{n}=(1,1,1)$，點P（2，3，4），求點P到平面α的距離。15.在空間直角坐標系中，已知點A（1，2，3），點B（4，5，6），點C（7，8，9），求三角形ABC的外接圓的圓心和半徑。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：點G和點H在空間直角坐標系中分別位于x軸和y軸上，因此它們位于不同的平面上，即異面直線。2.B解析：向量AB的坐標表示為B點坐標減去A點坐標，即（4-1，5-2，6-3）=（3，3，3）。同理，向量AC和向量BC的坐標分別為（6，6，6）和（-3，-3，-3）。二、填空題3.向量AB的坐標表示為（3，3，3）。解析：向量AB的坐標是B點坐標減去A點坐標，即（4-1，5-2，6-3）=（3，3，3）。4.點P到平面α的距離為$\frac{|1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{38}{\sqrt{14}}$。解析：點P到平面α的距離公式為$|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}$，其中（A，B，C）是平面的法向量，D是平面方程中的常數項。將點P和法向量n代入公式計算得到距離。三、解答題5.解答：證明：向量AB、向量AC、向量BC兩兩垂直，即$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0$，$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=0$，$\vec{AC}\cdot\vec{BC}=0$。計算向量AB、向量AC、向量BC的坐標：向量AB=（4-1，5-2，6-3）=（3，3，3）向量AC=（7-1，8-2，9-3）=（6，6，6）向量BC=（7-4，8-5，9-6）=（3，3，3）計算點積：$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\cdot6+3\cdot6+3\cdot3=36$$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=3\cdot3+3\cdot3+3\cdot3=27$$\vec{AC}\cdot\vec{BC}=6\cdot3+6\cdot3+6\cdot3=54$由于三個點積都不為0，因此向量AB、向量AC、向量BC兩兩垂直。6.解答：求點P到平面α的距離：已知平面α的法向量為n（1，2，3），點P（4，5，6），求點P到平面α的距離。距離公式為$|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}$，其中（A，B，C）是平面的法向量，D是平面方程中的常數項。首先，需要找到平面α的方程。由于法向量為n（1，2，3），可以設平面α的方程為$x+2y+3z+D=0$。由于點P（4，5，6）在平面上，代入得$4+2\cdot5+3\cdot6+D=0$，解得D=-38。因此，平面α的方程為$x+2y+3z-38=0$。將點P代入距離公式得：距離=$|1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6-38|/\sqrt{1^2+2^2+3^2}=38/\sqrt{14}$。四、計算題7.解答：向量$\vec{a}=(2,3,-1)$和向量$\vec{b}=(1,-2,3)$的點積為$2\cdot1+3\cdot(-2)+(-1)\cdot3=2-6-3=-7$。8.解答：向量$\vec{a}=(4,1,2)$和向量$\vec{b}=(1,3,-4)$的叉積為：$$\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\4&1&2\\1&3&-4\\\end{vmatrix}=\vec{i}((1)(-4)-(2)(3))-\vec{j}((4)(-4)-(2)(1))+\vec{k}((4)(3)-(1)(1))=-6\vec{i}+14\vec{j}+11\vec{k}$$9.解答：三角形ABC的面積可以通過計算向量AB和向量AC的叉積的模長的一半得到：$$S=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac{1}{2}|\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&3&3\\6&6&6\\\end{vmatrix}|=\frac{1}{2}|(3\cdot6-3\cdot6)\vec{i}-(3\cdot6-3\cdot6)\vec{j}+(3\cdot6-3\cdot6)\vec{k}|=\frac{1}{2}|0\vec{i}-0\vec{j}+0\vec{k}|=0$$五、證明題10.解答：證明：若向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$垂直，則它們的點積為0。已知向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$垂直，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。由于點積的定義為$\vec{a}\cdot\vec{b}=|a||b|\cos\theta$，其中$\theta$是向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$之間的夾角。因為向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$垂直，所以$\theta=90^\circ$，$\cos\theta=0$。因此，$\vec{a}\cdot\vec{b}=|a||b|\cos\theta=0$。11.解答：證明：若向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的叉積為0向量，則向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共線。已知向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的叉積為0向量，即$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$。由于叉積的定義為$\vec{a}\times\vec{b}=|a||b|\sin\theta\vec{n}$，其中$\theta$是向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$之間的夾角，$\vec{n}$是垂直于向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的單位向量。因為叉積為0向量，所以$|a||b|\sin\theta\vec{n}=\vec{0}$。由于$\vec{n}$是單位向量，所以$|a||b|\sin\theta=0$。因為$\vec{a}$和$\vec{b}$不為零向量，所以$\sin\theta=0$，即$\theta=0^\circ$或$\theta=180^\circ$。因此，向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共線。12.解答：證明：若三個非零向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$滿足$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0$，則向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$共面。已知$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0$。由于向量$\vec{b}\times\vec{c}$是垂直于向量$\vec{b}$和向量$\vec{c}$的向量，所以$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$是向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}\times\vec{c}$方向上的投影。如果$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0$，則向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}\times\vec{c}$方向上的投影為0，即向量$\vec{a}$與向量$\vec{b}\times\vec{c}$垂直。因為向量$\vec{b}\times\vec{c}$是垂直于向量$\vec{b}$和向量$\vec{c}$的向量，所以向量$\vec{a}$與向量$\vec{b}$和向量$\vec{c}$都垂直。因此，向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$共面。六、應用題13.解答：點C到點A的距離為線段AB長度的$\frac{2}{5}$，即$10cm\cdot\frac{2}{5}=4cm$。14.解答：點P到平面α的距離為$|1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4-38|/\sqrt{1^2+2^2+3^2}=38/\sqrt{14}$。15.解答：三角形ABC的外接圓的圓心是三角形ABC各邊中點的垂直平分線的交點。首先，求出三角形ABC三邊的中點D、E、F：D（$\frac{1+4}{2}$，$\frac{2+5}{2}$，$\frac{3+6}{2}$）=（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{2}$）E（$\frac{4+7}{2}$，$\frac{5+8}{2}$，$\frac{6+9}{2}$）=（$\frac{11}{2}$，$\frac{13}{2}$，$\frac{15}{2}$）F（$\frac{7+8}{2}$，$\frac{8+9}{2}$，$\frac{9+9}{2}$）=（$\frac{15}{2}$，$\frac{17}{2}$，$\frac{18}{2}$）然后，求出三角形ABC三邊的中垂線方程：中垂線DE的方程為$\frac{x-5}{11-5}=\frac{y-7}{13-7}=\frac{z-9}{15-9}$中垂線EF的方程為$\frac{x-11}{15-11}=\frac{y-13}{17-13}=\frac{z-15}{18-15}$中垂線DF的方程為$\frac{x-5}{15-5}=\frac{y-7}{17-7}=\frac{z-9}{18-9}$解這三個方程組，得到外接圓圓心O的坐標：O（$\frac{5+11+15}{3}$，$\frac{7+13+17}{3}$，$\frac{9+15+18}{3}$）=（$\frac{31}{3}$，$\frac{37}{3}$，$\frac{42}{3}$）=（10.33，12.33，14）r