廣東省湛江二中2012-2013學年高二下學期統一測試（一）（數學文）一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數f(x)=2x^2-3x+4，其圖像的對稱軸方程為A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=1/22.設復數z滿足|z+1|=2，|z-1|=3，則復數z的取值范圍是A.|z|<2B.|z|<3C.|z|>2D.|z|>33.若等差數列{an}的前n項和為S_n，且S_3=6，S_6=18，則a_4的值為A.2B.3C.4D.54.若不等式log_2(x+1)<log_2(3x-1)成立，則x的取值范圍是A.(1/3,2)B.(2,1/3)C.(-1/3,1/3)D.(-1,0)5.在三角形ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，且外接圓的半徑為R，則BC的長為A.2RB.R√3C.2R√3D.R√26.已知等比數列{an}的首項a_1=3，公比q=2，則前5項之和S_5為A.31B.32C.33D.347.若函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增，且f(a)=0，f(b)=1，則下列結論錯誤的是A.f(x)>0，當x∈(a,b)B.f(x)>0，當x∈(a,b)C.f(x)>0，當x∈(a,b)D.f(x)>0，當x∈(a,b)8.已知數列{an}的前n項和為S_n，且S_3=3，S_5=7，則a_4的值為A.1B.2C.3D.49.若等差數列{an}的首項a_1=2，公差d=3，則第10項a_10的值為A.30B.32C.34D.3610.若函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減，且f(a)=3，f(b)=1，則下列結論錯誤的是A.f(x)<3，當x∈(a,b)B.f(x)<3，當x∈(a,b)C.f(x)<3，當x∈(a,b)D.f(x)<3，當x∈(a,b)二、填空題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。把答案填在題目的橫線上。11.若函數f(x)=x^3-3x^2+4x-2的圖像在x軸上恰有一個切點，則該切點的橫坐標為______。12.設復數z滿足|z+1|=√3，|z-1|=2，則復數z的取值范圍是______。13.若等差數列{an}的首項a_1=1，公差d=2，則第10項a_10的值為______。14.若不等式log_2(x+1)<log_2(3x-1)成立，則x的取值范圍是______。15.在三角形ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，且外接圓的半徑為R，則BC的長為______。16.已知等比數列{an}的首項a_1=3，公比q=2，則前5項之和S_5為______。17.若函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增，且f(a)=0，f(b)=1，則下列結論錯誤的是______。18.已知數列{an}的前n項和為S_n，且S_3=3，S_5=7，則a_4的值為______。19.若等差數列{an}的首項a_1=2，公差d=3，則第10項a_10的值為______。20.若函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減，且f(a)=3，f(b)=1，則下列結論錯誤的是______。三、解答題要求：本大題共5小題，共100分。21.（本題滿分20分）已知函數f(x)=x^3-3x^2+4x-2，求f(x)的極值點及對應的極值。22.（本題滿分20分）設復數z滿足|z+1|=√3，|z-1|=2，求復數z的取值范圍。23.（本題滿分20分）若等差數列{an}的首項a_1=1，公差d=2，求第10項a_10及前10項和S_10。24.（本題滿分20分）若不等式log_2(x+1)<log_2(3x-1)成立，求x的取值范圍。25.（本題滿分20分）在三角形ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，且外接圓的半徑為R，求BC的長。四、證明題要求：本大題共2小題，每小題10分，共20分。證明下列各題中的等式成立。26.證明：若函數f(x)=x^3-3x+4在區間[-1,2]上單調遞增，則f(0)>f(-1)。27.證明：若等差數列{an}的首項a_1=1，公比q=2，則該數列的前n項和S_n滿足S_n=2^n-1。五、應用題要求：本大題共2小題，每小題20分，共40分。解答下列各題。28.（本題滿分20分）已知某工廠生產某種產品，其成本函數為C(x)=5x+200，其中x為生產的數量。若每件產品的售價為10元，求：（1）該工廠的利潤函數L(x)；（2）當生產數量為多少時，工廠的利潤最大？29.（本題滿分20分）某公司計劃投資于兩個項目，項目A的預期收益率為20%，項目B的預期收益率為15%。若公司計劃投資總額為100萬元，且希望至少有80%的資金投資于項目A，求：（1）公司投資于項目A的金額；（2）計算公司投資于項目A和項目B的總預期收益率。六、綜合題要求：本大題共2小題，每小題20分，共40分。解答下列各題。30.（本題滿分20分）已知函數f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求：（1）函數f(x)的圖像的對稱軸方程；（2）函數f(x)在區間[0,3]上的最大值和最小值。31.（本題滿分20分）某市居民用水量與水費之間的關系如下表所示：用水量（噸）|水費（元）------------|--------0-15|616-30|1031-50|1551-100|20（1）求該市居民用水量為25噸時的水費；（2）若某居民用水量為45噸，求其水費；（3）若某居民用水量為60噸，求其水費。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數f(x)=2x^2-3x+4的對稱軸方程為x=-b/2a，其中a=2，b=-3，所以對稱軸方程為x=-(-3)/(2*2)=1/2。2.C解析：復數z滿足|z+1|=2，|z-1|=3，表示z在復平面上對應的點位于以(-1,0)為圓心，半徑為2的圓和以(1,0)為圓心，半徑為3的圓之間。3.C解析：等差數列{an}的前n項和為S_n，S_3=6，S_6=18，根據等差數列的性質，S_6-S_3=3d，所以3d=18-6=12，d=4，a_4=a_1+3d=1+3*4=13。4.A解析：不等式log_2(x+1)<log_2(3x-1)等價于x+1<3x-1，解得x>1/2，所以x的取值范圍是(1/3,2)。5.B解析：在等邊三角形中，外接圓的半徑R與邊長a的關系為a=2Rsin(60°)，所以BC的長為R√3。6.B解析：等比數列{an}的前n項和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=3，q=2，n=5，得S_5=3(1-2^5)/(1-2)=3*31=93。7.C解析：函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增，且f(a)=0，f(b)=1，則f(x)>0，當x∈(a,b)。8.B解析：數列{an}的前n項和為S_n，S_3=3，S_5=7，根據等差數列的性質，S_5-S_3=2d，所以2d=7-3=4，d=2，a_4=a_1+3d=1+3*2=7。9.C解析：等差數列{an}的首項a_1=2，公差d=3，第10項a_10=a_1+9d=2+9*3=29。10.C解析：函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減，且f(a)=3，f(b)=1，則f(x)<3，當x∈(a,b)。二、填空題11.1解析：函數f(x)=x^3-3x^2+4x-2的導數為f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1，代入f(x)得f(1)=2，所以切點為(1,2)。12.|z|<2解析：復數z滿足|z+1|=√3，|z-1|=2，表示z在復平面上對應的點位于以(-1,0)為圓心，半徑為√3的圓和以(1,0)為圓心，半徑為2的圓之間。13.13解析：等差數列{an}的首項a_1=1，公差d=2，第10項a_10=a_1+9d=1+9*2=19。14.(1/3,2)解析：不等式log_2(x+1)<log_2(3x-1)等價于x+1<3x-1，解得x>1/2，所以x的取值范圍是(1/3,2)。15.R√3解析：在等邊三角形中，外接圓的半徑R與邊長a的關系為a=2Rsin(60°)，所以BC的長為R√3。16.93解析：等比數列{an}的首項a_1=3，公比q=2，前5項之和S_5=a_1(1-q^n)/(1-q)=3(1-2^5)/(1-2)=3*31=93。17.f(x)>0，當x∈(a,b)解析：函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增，且f(a)=0，f(b)=1，則f(x)>0，當x∈(a,b)。18.7解析：數列{an}的前n項和為S_n，S_3=3，S_5=7，根據等差數列的性質，S_5-S_3=2d，所以2d=7-3=4，d=2，a_4=a_1+3d=1+3*2=7。19.29解析：等差數列{an}的首項a_1=2，公差d=3，第10項a_10=a_1+9d=2+9*3=29。20.f(x)<3，當x∈(a,b)解析：函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減，且f(a)=3，f(b)=1，則f(x)<3，當x∈(a,b)。三、解答題21.解析：f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1，代入f(x)得f(1)=2，所以極值點為(1,2)，極小值為2。22.解析：設z=x+yi，根據|z+1|=√3，|z-1|=2，得方程組：(x+1)^2+y^2=3(x-1)^2+y^2=4解得x=1/2，y=±√(3/4)，所以z的取值范圍為{1/2+√(3/4)i,1/2-√(3/4)i}。23.解析：a_10=a_1+9d=1+9*2=19，S_10=n/2(a_1+a_n)=10/2(1+19)=100。24.解析：不等式log_2(x+1)<log_2(3x-1)等價于x+1<3x-1，解得x>1/2，所以x的取值范圍是(1/3,2)。25.解析：在等邊三角形中，外接圓的半徑R與邊長a的關系為a=2Rsin(60°)，所以BC的長為R√3。四、證明題26.解析：函數f(x)=x^3-3x^2+4x-2的導數為f'(x)=3x^2-6x+4，在區間[-1,2]上，f'(x)>0，所以f(x)單調遞增，又f(0)=-2，f(-1)=-6，所以f(0)>f(-1)。27.解析：等差數列{an}的首項a_1=1，公差d=2，第n項a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)，前n項和S_n=n/2(a_1+a_n)=n/2(1+1+2(n-1))=n/2(2n)=n^2，所以S_n=2^n-1。五、應用題28.解析：（1）利潤函數L(x)=銷售收入-成本=10x-(5x+200)=5x-200。（2）利潤最大時，L'(x)=5=0，解得x=40，所以當生產數量為40時，工廠的利潤最大。29.解析：（1）設公司投資于項目A的金額為x萬元，則投資于項目B的金額為(100-x)萬元，根據題意得x≥80，解得x≥80，所以公司投資于項目A的金額為80萬元。（2）總預期收益率=(20%*80)+(15%*20)=16+3=19%。六、綜合題30.