廣西桂林市、崇左市、防城港市2013屆高三第一次聯(lián)合模擬考試（數(shù)學文）一、選擇題1.已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，則$f(x)$的周期為：A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{3\pi}{2}$2.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(4,-1)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為：A.$5$B.$-5$C.$7$D.$-7$3.若等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，則$a_{10}$的值為：A.$23$B.$21$C.$19$D.$17$4.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f'(1)$的值為：A.$2$B.$3$C.$-2$D.$-3$5.已知復數(shù)$z=2+3i$，則$|z|$的值為：A.$5$B.$1$C.$2$D.$3$二、填空題1.若等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，公比$q=2$，則$a_5$的值為______。2.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，則$f'(1)$的值為______。3.已知向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec=(2,-1)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為______。4.若等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，公差$d=-2$，則$a_8$的值為______。5.已知函數(shù)$f(x)=\sinx$，則$f(2\pi)$的值為______。三、解答題1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$f(x)$的定義域。2.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，求$f(x)$的導數(shù)$f'(x)$。四、解答題6.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足遞推關系式$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$，求：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式；（2）數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$。五、解答題7.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的極值點；（2）函數(shù)$f(x)$的拐點。六、解答題8.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(4,-1)$，求：（1）向量$\vec{a}$與$\vec$的夾角；（2）向量$\vec{a}$與$\vec$的投影長度。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.$2\pi$解析：函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$可以寫成$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，其周期為$2\pi$。2.A.$5$解析：向量點乘公式為$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2$，代入得$2\times4+3\times(-1)=5$。3.B.$21$解析：等差數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入得$a_{10}=3+(10-1)\times2=21$。4.B.$3$解析：函數(shù)的導數(shù)$f'(x)$可以通過求導法則得到，代入得$f'(x)=3x^2-6x+9$，則$f'(1)=3$。5.A.$5$解析：復數(shù)的模長公式為$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，代入得$|2+3i|=\sqrt{2^2+3^2}=5$。二、填空題1.$32$解析：等比數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，代入得$a_5=1\times2^{5-1}=32$。2.$1$解析：對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式為$f'(x)=\frac{1}{x}$，代入得$f'(1)=\frac{1}{1}=1$。3.$7$解析：向量點乘公式為$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2$，代入得$3\times2+4\times(-1)=7$。4.$-9$解析：等差數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入得$a_8=5+(8-1)\times(-2)=-9$。5.$0$解析：正弦函數(shù)的周期為$2\pi$，所以$f(2\pi)=\sin(2\pi)=0$。三、解答題1.解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定義域為所有使得分母不為零的$x$值，即$x\neq2$。2.解析：對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式為$f'(x)=\frac{1}{x}$，所以$f'(x)=\frac{1}{x}$。四、解答題6.解析：（1）數(shù)列$\{a_n\}$滿足遞推關系式$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$?？梢酝ㄟ^遞推關系式逐項計算得到通項公式，或者通過解一階線性遞推關系式得到通項公式。這里我們選擇逐項計算：$a_2=2a_1+1=2\times1+1=3$，$a_3=2a_2+1=2\times3+1=7$，$a_4=2a_3+1=2\times7+1=15$，觀察得到$a_n=2^n-1$。（2）數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$可以通過通項公式直接計算得到：$S_n=(2^1-1)+(2^2-1)+\ldots+(2^n-1)=2^1+2^2+\ldots+2^n-n$。五、解答題7.解析：（1）函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的導數(shù)為$f'(x)=3x^2-12x+9$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$和$x=3$。由于$f''(x)=6x-12$，在$x=1$時$f''(1)=-6<0$，在$x=3$時$f''(3)=6>0$，所以$x=1$是極大值點，$x=3$是極小值點。（2）函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的拐點可以通過求二階導數(shù)的零點得到。由于$f''(x)=6x-12$，令$f''(x)=0$，解得$x=2$。在$x=2$時，$f''(x)$從負變正，所以$x=2$是拐點。六、解答題8.解析：（1）向量$\vec{a}$與$\vec$的夾角$\theta$可以通過點乘公式$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta$求得。首先計算$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$|\vec|=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{17}$，$\vec{a}\cdot\vec