備戰2025年高考數學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測專題06指數與指數函數5題型分類(原卷版+解析)一、選擇題1.已知指數函數\(y=a^x\)（\(a>0\)，\(a\neq1\)），若函數的圖象經過點\((2,4)\)，則\(a\)的值為：A.2B.4C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{4}\)2.設\(f(x)=2^x\)，\(g(x)=3^x\)，則\(f(x)+g(x)\)的最小值為：A.5B.6C.7D.8二、填空題3.若\(2^{x-1}=8\)，則\(x\)的值為______。4.設\(a^x=b^y=c^z=k\)（\(k>0\)，\(k\neq1\)），則\(x+y+z\)的值為______。5.已知\(y=a^x\)（\(a>0\)，\(a\neq1\)）是定義在實數集\(R\)上的指數函數，若\(y\)的圖象經過點\((1,2)\)，則\(a\)的值為______。三、解答題6.（1）已知\(f(x)=2^x\)，\(g(x)=3^x\)，求\(f(x)g(x)\)的最大值和最小值。（2）設\(y=a^x\)（\(a>0\)，\(a\neq1\)）是定義在實數集\(R\)上的指數函數，若\(y\)的圖象經過點\((2,16)\)，求\(a\)的值。四、解答題7.（1）已知\(y=a^x\)（\(a>0\)，\(a\neq1\)）是定義在實數集\(R\)上的指數函數，若\(y\)的圖象經過點\((0,1)\)，求\(a\)的值。（2）已知\(f(x)=2^x\)和\(g(x)=3^x\)，求\(f(x)g(x)\)在\(x=1\)時的導數。五、證明題8.證明：對于任意的正實數\(a\)和\(b\)，不等式\(a^b+b^a\geq2ab\)恒成立。六、應用題9.某商品原價為\(m\)元，經過兩次打折，每次折扣率均為\(x\)，求該商品最終售價的表達式，并討論當\(x\)的取值范圍時，商品最終售價的變化情況。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：由\(2^{x-1}=2^3\)得\(x-1=3\)，解得\(x=4\)。2.A解析：\(f(x)+g(x)=2^x+3^x\)，當\(x=0\)時，\(f(x)+g(x)=2^0+3^0=2+1=3\)，故最小值為3。二、填空題3.3解析：由\(2^{x-1}=8\)得\(2^{x-1}=2^3\)，解得\(x-1=3\)，解得\(x=4\)。4.3解析：由\(a^x=b^y=c^z=k\)，得\(x=\log_ak\)，\(y=\log_bk\)，\(z=\log_ck\)，因此\(x+y+z=\log_ak+\log_bk+\log_ck=\log_k(abc)=3\)。5.2解析：由\(y=a^x\)得\(a^1=2\)，解得\(a=2\)。三、解答題6.（1）\(f(x)g(x)=(2^x)(3^x)=6^x\)，\(f(x)g(x)\)的最大值和最小值分別為\(6^0=1\)和\(6^{-\infty}=0\)。（2）\(a^x\)的導數為\(a^x\lna\)，故\(y=a^x\)在\(x=2\)時的導數為\(a^2\lna\)。四、解答題7.（1）由\(y=a^x\)得\(a^0=1\)，解得\(a=1\)。（2）\(f(x)g(x)=(2^x)(3^x)=6^x\)，\(f(x)g(x)\)在\(x=1\)時的導數為\(6^1\ln6=6\ln6\)。五、證明題8.證明：對于任意的正實數\(a\)和\(b\)，不等式\(a^b+b^a\geq2ab\)恒成立。證明：由算術平均數-幾何平均數不等式（AM-GM不等式）得\(\frac{a^b+b^a}{2}\geq\sqrt{a^b\cdotb^a}=\sqrt{a^{b+a}}=\sqrt{a^2}=a\)，所以\(a^b+b^a\geq2a\)。六、應用題9