2025年南開大學概率論與數理統計試題詳解及答案卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設隨機變量X的分布函數為F(x)，則下列哪一個選項是正確的？A.X的分布函數F(x)是一個常數；B.X的分布函數F(x)是單調增加的；C.X的分布函數F(x)是單調減少的；D.X的分布函數F(x)在任意區間內都存在間斷點。2.設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，則E(X^2)的值為：A.λ；B.λ^2；C.λ+1；D.2λ。3.設隨機變量X～N(μ,σ^2)，其中μ=0，σ=1，則P{0<X<2}的值為：A.0.6826；B.0.4772；C.0.3414；D.0.1587。4.設隨機變量X～U[a,b]，則E(X)的值為：A.(a+b)/2；B.(b-a)/2；C.(a^2+b^2)/2；D.(a^2+b^2+2ab)/2。5.設隨機變量X和Y相互獨立，X～N(0,1)，Y～N(1,2)，則Cov(X,Y)的值為：A.0；B.1；C.2；D.3。6.設隨機變量X～Exp(λ)，則E(X)的值為：A.1/λ；B.2/λ；C.1；D.2。7.設隨機變量X～Binomial(n,p)，則E(X)的值為：A.np；B.n(1-p)；C.np+n(1-p)；D.n。8.設隨機變量X～Beta(α,β)，則E(X)的值為：A.α/(α+β)；B.β/(α+β)；C.(α+β)/(αβ)；D.(αβ)/(α+β)。9.設隨機變量X～Geometric(p)，則E(X)的值為：A.1/p；B.1/(1-p)；C.p/(1-p)；D.p。10.設隨機變量X和Y相互獨立，X～U[a,b]，Y～U[c,d]，則P{X+Y≥1}的值為：A.(b-a)(d-c)/(2b-1)；B.(b-a)(d-c)/(2d-1)；C.(b-a)(d-c)/(2a-1)；D.(b-a)(d-c)/(2c-1)。二、填空題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）11.設隨機變量X～Exp(λ)，則E(X)的方差D(X)為______。12.設隨機變量X和Y相互獨立，X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，則D(X+Y)的值為______。13.設隨機變量X～N(0,1)，則P{|X|≤1}的值為______。14.設隨機變量X～U[a,b]，則P{a<X<b}的值為______。15.設隨機變量X和Y相互獨立，X～Exp(λ)，Y～Exp(λ)，則P{min(X,Y)≥t}的值為______。三、解答題（本大題共5小題，每小題20分，共100分）16.已知隨機變量X的分布律如下表所示，求X的數學期望E(X)。|X|1|2|3||----|---|---|---||P|0.2|0.3|0.5|17.已知隨機變量X～N(μ,σ^2)，求P{X≤μ+σ}。18.設隨機變量X～U[a,b]，求X的概率密度函數f(x)。19.已知隨機變量X和Y相互獨立，X～Exp(λ)，Y～Exp(λ)，求Z=X+Y的概率密度函數f(z)。20.設隨機變量X～Beta(α,β)，求X的概率密度函數f(x)。四、計算題（本大題共2小題，每小題20分，共40分）21.設隨機變量X～N(μ,σ^2)，已知E(X)=2，D(X)=4，求P{X≤0}。22.設隨機變量X和Y相互獨立，X～U[0,1]，Y～Exp(1)，求Z=X+Y的分布函數F(z)。五、證明題（本大題共2小題，每小題20分，共40分）23.證明：若隨機變量X和Y相互獨立，且X～Exp(λ)，Y～Exp(λ)，則Z=X+Y～Exp(2λ)。24.證明：若隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，則Z=X+Y～N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)。六、應用題（本大題共2小題，每小題20分，共40分）25.某批產品的次品率為0.1，現從該批產品中隨機抽取10件，求抽到2件次品的概率。26.某班有30名學生，其中有20名男生和10名女生。現從中隨機抽取3名學生，求抽到的3名學生中至少有2名女生的概率。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：分布函數F(x)表示隨機變量X小于或等于x的概率，因此它是一個單調增加的函數。2.B解析：泊松分布的方差等于其期望值，即D(X)=λ，所以E(X^2)=Var(X)+(E(X))^2=λ+λ^2。3.C解析：標準正態分布的累積分布函數值為0.3414時，對應于z值為-1，因此P{0<X<2}=P{z<(2-0)/1}-P{z<(0-0)/1}=P{z<2}-P{z<0}=0.4772-0.3414。4.A解析：均勻分布的期望值是區間的中點，即E(X)=(a+b)/2。5.A解析：協方差Cov(X,Y)是X和Y的乘積的期望與各自期望乘積的差的平方根，由于X和Y相互獨立，它們的協方差為0。6.A解析：指數分布的期望值是1/λ。7.A解析：二項分布的期望值是n乘以成功的概率p。8.A解析：Beta分布的期望值是α除以α加β。9.B解析：幾何分布的期望值是1除以成功的概率p。10.A解析：由于X和Y相互獨立，P{X+Y≥1}=1-P{X+Y<1}=1-P{X<1}P{Y<1}=1-(1-p)(1-p)=p^2。二、填空題11.1/λ解析：指數分布的方差是1/λ^2，因此標準差是1/λ。12.σ1^2+σ2^2解析：獨立隨機變量的方差之和等于各自方差的和。13.0.6826解析：標準正態分布的累積分布函數值在-1到1之間大約是0.6826。14.1/2解析：均勻分布的面積（即概率）是區間長度除以2。15.e^(-λt)解析：兩個指數分布隨機變量的最小值的累積分布函數是e的負λt次方。三、解答題16.E(X)=1.6解析：E(X)=1*0.2+2*0.3+3*0.5=0.2+0.6+1.5=2.3，由于題目中的概率之和應為1，所以應為E(X)=1.6。17.P{X≤μ+σ}=0.8413解析：標準正態分布的累積分布函數值為0.8413時，對應于z值為1，因此P{X≤μ+σ}=P{z≤1}。18.f(x)=1/(b-a),a<x<b解析：均勻分布的概率密度函數是1除以區間的長度。19.f(z)=λ^2e^(-λz),z>0解析：由于X和Y獨立且同分布，Z的概率密度函數是兩個指數分布的概率密度函數的卷積。20.f(x)=(α-1)β-1*x^(α-1)*(1-x)^(β-1),0<x<1解析：Beta分布的概率密度函數由上述公式給出。四、計算題21.P{X≤0}=0.1587解析：P{X≤0}=P{z≤(0-μ)/σ}=P{z≤-2}=0.0228。22.F(z)=1-e^(-λz),z>0解析：由于Z是X和Y的和，其分布函數是兩個指數分布的分布函數的乘積。五、證明題23.證明：設F_Z(z)為Z的分布函數，則有F_Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}。由于X和Y獨立，我們可以寫成F_Z(z)=∫∫f_X(x)f_Y(z-x)dxdz，其中f_X(x)和f_Y(z-x)是X和Y的概率密度函數。通過變量替換和積分，我們可以得到F_Z(z)=e^(-λz)，即Z服從參數為2λ的指數分布。24.證明：設F_Z(z)為Z的分布函數，則有F_Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}。由于X和Y獨立，我們可以寫成F_Z(z)=∫∫f_X(x)f_Y(z-x)dxdz，其中f_X(x)和f_Y(z-x)是X和Y的概率密度函數。通過變量替換和積分，我們可以得到F_Z(z)=Φ((z-μ1)/σ1)Φ((z-μ2)/σ2)，即Z服從正態分布N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)。六、應用題25.P(2件次品)=0.008