2025年考研數學（三）微積分綜合訓練卷：多元函數微分學綜合解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設函數f(x,y)=x^2y+3xy^2，則f(0,0)的偏導數是：A.0B.1C.2D.32.已知函數f(x,y)=x^2y+y^2x，則f(1,1)的偏導數是：A.2B.3C.4D.53.設函數f(x,y)=e^(x+y)，則f(0,0)的偏導數是：A.1B.eC.e^2D.e^34.設函數f(x,y)=sin(x^2+y^2)，則f(0,0)的偏導數是：A.0B.1C.2D.35.設函數f(x,y)=ln(x^2+y^2)，則f(1,1)的偏導數是：A.1B.2C.3D.46.設函數f(x,y)=x^3y^2，則f(0,0)的偏導數是：A.0B.1C.2D.37.設函數f(x,y)=x^2+y^2，則f(1,1)的偏導數是：A.2B.3C.4D.58.設函數f(x,y)=e^x*e^y，則f(0,0)的偏導數是：A.1B.eC.e^2D.e^39.設函數f(x,y)=sin(x)*cos(y)，則f(0,0)的偏導數是：A.0B.1C.2D.310.設函數f(x,y)=x^2*y^2，則f(0,0)的偏導數是：A.0B.1C.2D.3二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）1.設函數f(x,y)=e^(x+y)，則f(0,0)的一階偏導數是__________，二階偏導數是__________。2.設函數f(x,y)=x^2+y^2，則f(1,1)的一階偏導數是__________，二階偏導數是__________。3.設函數f(x,y)=e^x*e^y，則f(0,0)的一階偏導數是__________，二階偏導數是__________。4.設函數f(x,y)=sin(x)*cos(y)，則f(0,0)的一階偏導數是__________，二階偏導數是__________。5.設函數f(x,y)=x^2*y^2，則f(0,0)的一階偏導數是__________，二階偏導數是__________。三、解答題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）1.設函數f(x,y)=e^(x+y)，求f(0,0)的一階偏導數和二階偏導數。2.設函數f(x,y)=x^2+y^2，求f(1,1)的一階偏導數和二階偏導數。3.設函數f(x,y)=e^x*e^y，求f(0,0)的一階偏導數和二階偏導數。4.設函數f(x,y)=sin(x)*cos(y)，求f(0,0)的一階偏導數和二階偏導數。5.設函數f(x,y)=x^2*y^2，求f(0,0)的一階偏導數和二階偏導數。四、計算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）4.設函數f(x,y)=x^3-3xy^2，求在點(1,1)處的全微分df(1,1)。五、證明題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）5.證明：若函數f(x,y)在點(a,b)處可微，則f(x,y)在該點的全微分存在，并且等于f(x,y)在該點的偏導數與增量Δx和Δy的乘積之和。六、應用題（本大題共1小題，共10分）6.已知函數f(x,y)=x^2y+y^2x，求函數在點(2,3)處的切平面方程。本次試卷答案如下：一、選擇題答案：1.A2.A3.B4.A5.A6.B7.A8.B9.A10.A解析：1.函數f(x,y)在點(0,0)的偏導數是0，因為f(x,y)=x^2y+3xy^2，在(0,0)處，x和y都為0，所以偏導數為0。2.函數f(x,y)在點(1,1)的偏導數是2，因為f(x,y)=x^2y+y^2x，在(1,1)處，偏導數f_x(1,1)=2*1*1+1*2*1=2+2=4，f_y(1,1)=1*1+2*1*1=1+2=3，所以偏導數為2。3.函數f(x,y)在點(0,0)的偏導數是1，因為f(x,y)=e^(x+y)，在(0,0)處，偏導數f_x(0,0)=e^(0+0)=e^0=1，f_y(0,0)=e^(0+0)=e^0=1，所以偏導數為1。4.函數f(x,y)在點(0,0)的偏導數是0，因為f(x,y)=sin(x^2+y^2)，在(0,0)處，x和y都為0，所以偏導數為0。5.函數f(x,y)在點(1,1)的偏導數是1，因為f(x,y)=ln(x^2+y^2)，在(1,1)處，偏導數f_x(1,1)=1/(1^2+1^2)*2*1=1/2，f_y(1,1)=1/(1^2+1^2)*2*1=1/2，所以偏導數為1。6.函數f(x,y)在點(0,0)的偏導數是0，因為f(x,y)=x^3y^2，在(0,0)處，x和y都為0，所以偏導數為0。7.函數f(x,y)在點(1,1)的偏導數是2，因為f(x,y)=x^2+y^2，在(1,1)處，偏導數f_x(1,1)=2*1=2，f_y(1,1)=2*1=2，所以偏導數為2。8.函數f(x,y)在點(0,0)的偏導數是1，因為f(x,y)=e^x*e^y，在(0,0)處，偏導數f_x(0,0)=e^0*e^0=1，f_y(0,0)=e^0*e^0=1，所以偏導數為1。9.函數f(x,y)在點(0,0)的偏導數是0，因為f(x,y)=sin(x)*cos(y)，在(0,0)處，x和y都為0，所以偏導數為0。10.函數f(x,y)在點(0,0)的偏導數是0，因為f(x,y)=x^2*y^2，在(0,0)處，x和y都為0，所以偏導數為0。二、填空題答案：1.f_x(0,0)=1，f_y(0,0)=1，f_xx(0,0)=0，f_yy(0,0)=02.f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=2，f_xx(1,1)=0，f_yy(1,1)=03.f_x(0,0)=e，f_y(0,0)=e，f_xx(0,0)=e，f_yy(0,0)=e4.f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0，f_xx(0,0)=0，f_yy(0,0)=05.f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0，f_xx(0,0)=0，f_yy(0,0)=0三、解答題答案：1.f_x(0,0)=1，f_y(0,0)=1，f_xx(0,0)=0，f_yy(0,0)=02.f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=2，f_xx(1,1)=0，f_yy(1,1)=03.f_x(0,0)=e，f_y(0,0)=e，f_xx(0,0)=e，f_yy(0,0)=e4.f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0，f_xx(0,0)=0，f_yy(0,0)=05.f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0，f_xx(0,0)=0，f_yy(0,0)=0四、計算題答案：4.df(1,1)=2xdx+2ydy=2*1dx+2*1dy=2dx+2dy五、證明題答案：5.已知f(x,y)在點(a,b)處可微，即存在偏導數f_x(a,b)和f_y(a,b)。根據可微的定義，有：Δf=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=(x+Δx)^2y+y^2(x+Δx)-(x^2y+y^2x)=(x^2y+2xyΔx+y^2Δx+y^2x+2xyΔx+x^2Δy)-(x^2y+y^2x)=2xyΔx+y^2Δx+2xyΔx+x^2Δy=4xyΔx+y^2Δx+x^2Δy=(f