2025年南京市中考數學試卷（代數與幾何難題解析）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知二次函數f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，若f(1)=2，f(2)=8，且f(x)的圖像開口向上，則下列說法正確的是：A.a>0，b>0，c>0B.a>0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<02.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=4，則△ABC的面積S是：A.4√3B.8√3C.4√2D.8√2二、填空題要求：直接寫出答案。3.若等差數列{an}的公差為d，且a1+a4=8，a2+a5=12，則d的值為______。4.在平面直角坐標系中，點P的坐標為(2,3)，點Q在直線y=-x+4上，若PQ的距離為√5，則點Q的坐標為______。三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）已知函數f(x)=x^2-2x+1，求f(x)的最小值。（2）若函數g(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，且g(1)=3，g(2)=5，求a、b、c的值。6.（1）在△ABC中，已知AB=5，BC=6，AC=7，求△ABC的面積。（2）在平面直角坐標系中，點P的坐標為(2,3)，點Q在直線y=-x+4上，若PQ的距離為√5，求點Q的坐標。四、證明題要求：證明下列各題。7.證明：若等腰三角形底邊上的高與底邊的垂直平分線重合，則底邊上的中線也是底邊上的高。五、應用題要求：解答下列各題。8.（1）某工廠生產一批產品，前3天生產了120件，平均每天生產40件。為了按時完成生產任務，后4天平均每天要比前3天多生產10件。求后4天平均每天生產多少件。（2）一個長方形的長是寬的3倍，若長方形的長增加10cm，寬增加5cm，則長方形的面積增加150cm^2。求原長方形的長和寬。六、綜合題要求：解答下列各題。9.（1）已知函數f(x)=(x-1)^2-3，求f(x)在[-1,3]區間上的最大值和最小值。（2）在平面直角坐標系中，點A(1,2)，點B在直線y=-2x+5上，若AB的斜率為-1，求點B的坐標。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.a>0，b<0，c>0解析：由于f(x)的圖像開口向上，a>0。由f(1)=2和f(2)=8，可得：a*1^2+b*1+c=2a*2^2+b*2+c=8解得a=2，b=-4，c=2。2.B.8√3解析：由正弦定理，sinA=AB/BC=4/6=2/3，sinB=BC/AC=6/7。由sinA=sin(180°-B)=sinB，得∠A=∠B。因此，△ABC是等腰三角形，S=(1/2)*AB*BC*sinA=(1/2)*4*6*(2/3)=8√3。二、填空題3.2解析：由等差數列的性質，a1+a4=a1+(a1+3d)=2a1+3d，a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5d。聯立方程組：2a1+3d=82a1+5d=12解得d=2。4.(2,2)解析：由點P到直線y=-x+4的距離公式，得：|2-3+4|/√(1^2+(-1)^2)=√5|3|/√2=√53/√2=√53^2=2*59=10這是不可能的，因此點Q的坐標為(2,2)。三、解答題5.（1）f(x)的最小值為0。解析：f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2，當x=1時，f(x)取得最小值0。（2）a=1，b=-2，c=1。解析：由g(1)=3和g(2)=5，可得：a*1^2+b*1+c=3a*2^2+b*2+c=5解得a=1，b=-2，c=1。6.（1）△ABC的面積為14√3。解析：由海倫公式，S=√[s(s-AB)(s-BC)(s-AC)]，其中s=(AB+BC+AC)/2=(5+6+7)/2=9。S=√[9(9-5)(9-6)(9-7)]=√[9*4*3*2]=14√3。（2）點Q的坐標為(1,3)。解析：由斜率公式，斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=-1，得：-1=(3-y)/(2-x)解得y=3+x。由直線y=-x+4，得：3+x=-x+42x=1x=1/2因此，點Q的坐標為(1,3)。四、證明題7.證明：若等腰三角形底邊上的高與底邊的垂直平分線重合，則底邊上的中線也是底邊上的高。解析：設等腰三角形ABC中，AB=AC，AD為底邊BC上的高，同時也是BC的垂直平分線。由于AD是BC的垂直平分線，所以BD=DC。又因為AD是高，所以∠ADB=∠ADC=90°。在△ADB和△ADC中，有：AD=AD（公共邊）BD=DC（垂直平分線性質）∠ADB=∠ADC（直角）因此，△ADB≌△ADC（SAS準則）所以，AB=AC，即底邊上的中線也是底邊上的高。五、應用題8.（1）后4天平均每天生產50件。解析：設后4天平均每天生產x件，則前3天生產了120件，后4天生產了4x件?？偣采a了120+4x件，平均每天生產(120+4x)/7件。根據題意，平均每天生產(120+4x)/7=40+10=50件。解得x=50。（2）原長方形的長為15cm，寬為5cm。解析：設原長方形的長為3x，寬為x，則新長方形的長為3x+10，寬為x+5。根據題意，(3x+10)(x+5)-3x*x=150。解得x=5。因此，原長方形的長為3x=15cm，寬為x=5cm。六、綜合題9.（1）f(x)在[-1,3]區間上的最大值為4，最小值為-4。解析：f(x)=(x-1)^2-3是一個開口向上的拋物線，頂點為(1,-3)。在[-1,3]區間上，f(x)的最大值為f(3)=4，最小值為f(1)=-4。（2）點B的坐