廣西南寧二中10-11學年高一上學期期末考試試題（數學）掃描版一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.已知函數$f(x)=2^x-1$，則$f(2)$的值為：A.3B.2C.1D.02.下列命題中正確的是：A.$a^2=b^2$，則$a=b$或$a=-b$B.若$a^2=b^2$，則$a+b=0$C.若$a^2=b^2$，則$|a|=|b|$D.若$a^2=b^2$，則$a=b$或$a=0$3.函數$f(x)=\frac{1}{x}$的定義域為：A.$x\neq0$B.$x>0$C.$x<0$D.$x\neq1$4.已知函數$f(x)=3x-2$，若$f(x)>0$，則$x$的取值范圍為：A.$x>\frac{2}{3}$B.$x<\frac{2}{3}$C.$x\geq\frac{2}{3}$D.$x\leq\frac{2}{3}$5.已知函數$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(-1)$的值為：A.0B.1C.2D.36.下列函數中，奇函數是：A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=x^3$C.$f(x)=\frac{1}{x}$D.$f(x)=x^4$7.若函數$f(x)=2^x-1$在$x=1$處取得最小值，則$f(x)$的最小值為：A.0B.1C.2D.38.已知函數$f(x)=x^2-2x+1$，則$f(x)$的圖像開口方向為：A.向上B.向下C.向左D.向右9.函數$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定義域為：A.$x\geq1$B.$x\leq1$C.$x\geq-1$D.$x\leq-1$10.若函數$f(x)=x^3-3x$在$x=1$處取得極值，則該極值為：A.2B.-2C.0D.不存在二、填空題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。把答案填在題中橫線上。）1.函數$f(x)=\frac{1}{x}$的反函數為__________。2.已知函數$f(x)=2^x-1$，若$f(x)=3$，則$x=__________。3.函數$f(x)=x^2+2x+1$的頂點坐標為__________。4.函數$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定義域為__________。5.若函數$f(x)=x^3-3x$在$x=1$處取得極值，則該極值為__________。6.已知函數$f(x)=2^x-1$，則$f(-1)$的值為__________。7.函數$f(x)=\frac{1}{x}$的圖像與y軸的交點坐標為__________。8.函數$f(x)=x^2-2x+1$的圖像開口方向為__________。9.函數$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的圖像對稱軸方程為__________。10.若函數$f(x)=2^x-1$在$x=1$處取得最小值，則$f(x)$的最小值為__________。三、解答題（本大題共2小題，共50分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.（20分）已知函數$f(x)=x^2-2x+1$，求：（1）$f(x)$的頂點坐標；（2）$f(x)$在$x=1$處的切線方程。2.（30分）已知函數$f(x)=2^x-1$，求：（1）$f(x)$的定義域；（2）$f(x)$在$x=1$處的導數；（3）$f(x)$在$x=1$處的切線方程。四、計算題（本大題共5小題，每小題10分，共50分。）11.計算下列表達式的值：(1)$\sqrt{16}-\sqrt{9}$(2)$\frac{5}{8}+\frac{3}{4}$(3)$(-3)^2\times(-2)$(4)$-7+4-2$(5)$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\div\frac{3}{4}$五、證明題（本大題共2小題，每小題15分，共30分。）12.已知$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，證明：$ab\leq\frac{1}{4}$。13.證明：對于任意實數$x$，都有$(x-1)^2\geq0$。六、應用題（本大題共3小題，每小題15分，共45分。）14.一輛汽車從靜止開始，以每秒2米的加速度勻加速行駛，求汽車行駛10秒后的速度。15.某商品原價100元，打八折后的價格是多少？16.一個等差數列的前三項分別為3，5，7，求該數列的通項公式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：$f(2)=2^2-1=4-1=3$。2.C解析：若$a^2=b^2$，則$a$和$b$可以是相等或互為相反數，因此$|a|=|b|$。3.A解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$時無定義，因此定義域為$x\neq0$。4.A解析：$f(x)>0$等價于$3x-2>0$，解得$x>\frac{2}{3}$。5.A解析：$f(-1)=(-1)^2-2(-1)+1=1+2+1=4$。6.B解析：奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$，只有$x^3$滿足這一條件。7.A解析：$f(x)=2^x-1$在$x=1$時取得最小值，此時$f(x)=2^1-1=1$。8.A解析：函數$f(x)=x^2-2x+1$可以寫成$(x-1)^2$，因此開口向上。9.D解析：$f(x)=\sqrt{x^2-1}$要求$x^2-1\geq0$，解得$x\leq-1$或$x\geq1$。10.B解析：$f(x)=x^3-3x$在$x=1$處取得極值，$f'(x)=3x^2-3$，在$x=1$時$f'(1)=0$，因此極值為$f(1)=1^3-3\cdot1=-2$。二、填空題1.$y=\frac{1}{x}$解析：反函數是原函數的自變量和因變量互換。2.2解析：$2^x-1=3$，解得$x=2$。3.(1,0)解析：頂點坐標為函數的對稱軸上的點，對稱軸為$x=-\frac{2a}=1$，代入得到$y=0$。4.$x\geq1$或$x\leq-1$解析：函數的定義域為使得根號內的表達式非負的$x$的取值范圍。5.-2解析：與選擇題第10題解析相同。6.0解析：$f(-1)=2^{-1}-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$。7.(0,1)解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$時無定義，但y軸交點為(0,1)。8.向上解析：與選擇題第8題解析相同。9.$x=0$解析：函數$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的對稱軸為y軸。10.1解析：與選擇題第7題解析相同。三、解答題1.（20分）（1）$f(x)$的頂點坐標為(1,0)。（2）$f(x)$在$x=1$處的切線方程為$y=2(x-1)+0$，即$y=2x-2$。2.（30分）（1）$f(x)$的定義域為$(-\infty,+\infty)$。（2）$f(x)$在$x=1$處的導數為$f'(x)=2^x\ln2$，在$x=1$時$f'(1)=2\ln2$。（3）$f(x)$在$x=1$處的切線方程為$y=2\ln2(x-1)+1$。四、計算題11.（1）$\sqrt{16}-\sqrt{9}=4-3=1$（2）$\frac{5}{8}+\frac{3}{4}=\frac{5}{8}+\frac{6}{8}=\frac{11}{8}$（3）$(-3)^2\times(-2)=9\times(-2)=-18$（4）$-7+4-2=-5-2=-7$（5）$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\div\frac{3}{4}=\frac{8}{15}\times\frac{4}{3}=\frac{32}{45}$五、證明題12.證明：由均值不等式，$(a+b)^2\geq4ab$，代入$a+b=1$得$1\geq4ab$，因此$ab\leq\frac{1}{4}$。13.證明：對于任意實數$x$，$(x-1)^2=x^2-2x+1$，因為$x^2$和$1$都是