2025學年度大學高等數學（下）期中測試：概率論與數理統計基礎題一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，其概率質量函數為P{X=k}=e^(-λ)*λ^k/k!，則E(X)等于：A.λB.λ^2C.1/λD.1/λ^22.設隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，則E(XY)等于：A.μ1μ2B.μ1^2+μ2^2C.σ1^2+σ2^2D.(μ1+μ2)^23.設隨機變量X服從標準正態分布，則P{X≥0}等于：A.0.5B.0.3C.0.2D.0.14.設隨機變量X和Y相互獨立，且X～U(0,1)，Y～U(0,2)，則P{X+Y≤2}等于：A.1/2B.2/3C.1/3D.1/45.設隨機變量X～B(2,0.5)，則P{X=0}等于：A.1/4B.1/2C.1/3D.1/8二、填空題要求：將答案填寫在橫線上。6.設隨機變量X服從參數為λ的指數分布，其概率密度函數為f(x)={λe^(-λx)，x≥0；0，x<0}，則E(X)等于__________。7.設隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，則P{X-Y≤0}等于__________。8.設隨機變量X～U(0,π)，則P{X∈[π/2,π]}等于__________。三、解答題要求：寫出解題過程，計算結果。9.設隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，證明：E(XY)=E(X)E(Y)。10.設隨機變量X～U(0,1)，Y～U(0,1)，求隨機變量Z=XY的概率密度函數。四、證明題要求：證明以下等式成立。11.證明：如果隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，那么X+Y也服從正態分布，其期望和方差分別為μ1+μ2和σ1^2+σ2^2。五、計算題要求：計算以下隨機變量的分布。12.設隨機變量X～N(μ,σ^2)，其中μ=3，σ=2，求P{2≤X≤5}。六、應用題要求：根據所給條件，解決實際問題。13.某城市每天的交通流量X服從參數為λ的泊松分布，已知平均每小時交通流量為15輛。求：（1）該城市每小時交通流量恰好為20輛的概率；（2）該城市某天交通流量超過100輛的概率。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：泊松分布的期望值E(X)等于其參數λ，即E(X)=λ。2.A解析：由于X和Y相互獨立，根據期望的乘法法則，E(XY)=E(X)E(Y)=μ1μ2。3.A解析：標準正態分布的對稱性意味著P{X≥0}=P{X≤0}=0.5。4.B解析：由于X和Y相互獨立，并且都是均勻分布，P{X+Y≤2}可以通過計算X和Y在[0,2]范圍內同時取值的概率得到。X的取值范圍為[0,1]，Y的取值范圍為[0,2]，所以重疊部分的概率是1/2。5.A解析：二項分布B(n,p)的P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)。對于B(2,0.5)，P{X=0}=C(2,0)*0.5^0*0.5^2=1/4。二、填空題6.E(X)=1/λ解析：指數分布的期望值E(X)等于1/λ。7.P{X-Y≤0}=1/2解析：由于X和Y都是標準正態分布，P{X-Y≤0}=P{X≤Y}。由于正態分布的對稱性，P{X≤Y}=1/2。8.P{X∈[π/2,π]}=1/2解析：由于X是均勻分布U(0,π)，區間[π/2,π]的長度是π/2，因此概率是(π/2)/π=1/2。三、解答題9.證明：E(XY)=E(X)E(Y)解析：由于X和Y相互獨立，根據期望的乘法法則，E(XY)=E(X)E(Y)。10.解析：由于X和Y都是U(0,1)分布，Z=XY的取值范圍是[0,1]，且在[0,1]上均勻分布。因此，Z的概率密度函數為f(z)=1，對于0≤z≤1；f(z)=0，對于其他z。四、證明題11.證明：如果隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，那么X+Y也服從正態分布，其期望和方差分別為μ1+μ2和σ1^2+σ2^2。解析：設Z=X+Y，由于X和Y獨立，E(Z)=E(X)+E(Y)=μ1+μ2。對于方差，Var(Z)=Var(X)+Var(Y)=σ1^2+σ2^2。因此，Z～N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)。五、計算題12.解析：P{2≤X≤5}=P{X≤5}-P{X≤2}。由于X～N(3,4)，可以標準化X得到標準正態變量Z。計算P{Z≤(5-3)/2}-P{Z≤(2-3)/2}。六、應用題13.解析：（1）該城市每小時交通流量恰好為20輛的概率：P{X