§7復(fù)數(shù)的常用化簡式

秒殺知識點

公式1：(l+i>=2i,(l-i)2=-2i,2=(l+i)(l-i).

公式2：!=-i,且i=i,l=-i.

i1-i1+i

這里只證明公式2中后兩式.

2

l-j=（1-i）=-2i=1.

7+T-（l+i）（l-i）~~~~l；

記憶方法：蟲注中分子中間為正，即等于+i.

1-1

上1中分子中間為正，即等于-i

1+1

秒殺思路分析

復(fù)數(shù)簡單代數(shù)運算是高考重要考點之一，也是高考試卷中最基礎(chǔ)題型.如能熟練掌握化簡公式，即可

避免出錯，又能大大提高答卷速度，達到“秒殺”效果.

【示例1】（2016年天津卷文9）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=2,則z的實部為.

【示例2]（2017年新課標(biāo)全國卷I文3）下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是（）

A.i(l+i)2B.1-iC.-1+iD.-1-i

【示例3]（2014年新課標(biāo)全國卷）旦當(dāng)=（

)

（1-i）2

A.1+iB.i2(l-i)C.(1+i)2D.i(l+i)

方法對比

【例1】（2017年新課標(biāo)全國卷n理1）亞=（)

14-1

A.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i

【例2】（2017年山東卷文2）已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足力=l+i,則z2=()

A.-2iB.2iC.-2D.2

【例3】（2015年湖南卷）已知&包=l+i（i為虛數(shù)單位），

則復(fù)數(shù)Z=（)

Z

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【例4】（2011年湖南卷）若a,i是虛數(shù)單位，且（4+i）i=Z?+i,則（）

\a=1[a=-1\a=1\a=-1

A.\B.\C.《D.\

[b=1[b=1[/?=—1匠-1

秒殺訓(xùn)練

【試題1】設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i?-2=（）

1

A.-iB.-3iC.iD.3i

【試題2】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(l—i)z=2i,則2=()

A.-1+iB.-1-iC.l+iD.1-i

【試題3］若復(fù)數(shù)z=l+i（i為虛數(shù)單位），彳是z的共飄復(fù)數(shù)，則z?+于的虛部為（

A.0B.-1C.iD.-2

【試題4】復(fù)數(shù)（上江的值是（）

i+i

A.-1B.1C.-32D.32

【試題5】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)"系3為虛數(shù)單位）的共例復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【試題6】已知〃力￡H，i是虛數(shù)單位，若（a+i）（l+i）=〃，則a+bi=.

【試題7】已知i是虛數(shù)單位，則計算L2的結(jié)果是（）

2-1

A.1+-iB.-+iC.iD.-i

55

真題回放

【試題1】（2016年四川卷文1,2015年廣東卷文1）設(shè)i為虛單位，則復(fù)數(shù)（l+i）2=（）

A.0B.2C.2iD.2+2i

【試題2】（2016年山東卷文2）若復(fù)z=，一,其中i為虛數(shù)單位，則7=（）

1-i

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【試題3】（2015年安徽省）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)工匚在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【試題4】（2017年新課標(biāo)全國H卷文2）（l+i）（2+i）=（）

A.1-iB.l+3iC.3+iD.3+3i

【試題5】（2014年北京卷文1）復(fù)數(shù)（旨?「=.

【試題6]（2018年新課標(biāo)全國卷I理1,文2）設(shè)z=j^1+2i,則|z|=（）

A.0B.-C.1D.72

2

【試題7】（2018年浙江卷4）復(fù)數(shù)，一（i為虛數(shù)單位）的共軌復(fù)數(shù)是（）

1—i

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

§8復(fù)數(shù)模的性質(zhì)與單位根的妙用

秒殺知識點

知識點1:（模的性質(zhì)）

性質(zhì)1：|z|=|z|

性質(zhì)2：|z2|=|z|2=z-z

性質(zhì)3：憶為玉卜㈤

性質(zhì)4：五=耳

z?\z2\

證明：令z=a+Z?i,則z=a+hi,z=a-b\.

對性質(zhì)1：\z\=>Ja2+b2,\z\=y/a2+（-b）2={a1+b?,即\z\=|z|

對性質(zhì)2：z-z=（tz+b\）（a-/?i）=a2-b2\2=a2+b2

|z2|=|（tz+Z?Z）2|=|t/2-b2+2例=J（〃2--）2+4〃26=J（〃2+）2）2=/+/

即性質(zhì)2成立

令Z]=4+々i,z2=a2+b2i

?，?|"2|=|（q+公）（生+3）|=|（乎2-咐2）+3也2+24舛

=一乙么）+（。也+a2bly=Ja；6+b；b；+

+<）（〃；+后）=Jab；+〃浙

|2,||Z2|=武+瓦+

故性質(zhì)3成立.性質(zhì)4同理可證.

知識點2：（單位根）

（T士?）3=1,

（1±V3I）3=_1

22

2

【證明】先看解方程V—1=0）即（x—l）（x?+x+l）=0,1=0,BPx,=1,x+x+l=0,BPx2y=7>

故（T±8i）3=i,同理可證另一式子.

2

記憶方法：二中魚，分子實部為-1,結(jié)果即為+1.

2

H魚，分子實部為+1,結(jié)果即為-1.

秒殺思路分析

復(fù)數(shù)模的運算是復(fù)數(shù)問題的一種基本運算，也是高考復(fù)數(shù)內(nèi)容的最基本題型.能熟練掌握模的性質(zhì)可

大大簡化運算程序，提高運算的準(zhǔn)確性，達到快速“秒殺”目標(biāo).

單位根盡管考的時候不多，但應(yīng)為復(fù)數(shù)的一個知識點，教科書中也有相應(yīng)的問題.對于很復(fù)雜運算可

妙用單位根進行化簡，達到速解目的.

【示例1】（2017年新課標(biāo)全國卷III理2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（l+i）.z=2i,則同=（）

A.—B.C.>/2D.2

22

【示例2】（2010年新課標(biāo)全國卷）已知復(fù)數(shù)2=則卜|=（）

（1-W11

A.—B.-C.1D.2

42

此題若先把z化筒會很復(fù)雜，直接利用模的性質(zhì)，即可“秒殺”.

【示例3】（2002年天津卷）復(fù)數(shù)（5+當(dāng)廠的值是（）

A.-iB.iC.-1D.1

方法對比

【例1】（2017年浙江卷12）己知（“+6i）2=3+4i（i是虛數(shù)單位），貝i]/+〃=.ab=.

【例2】（2004年湖北卷）復(fù)數(shù)（T+噂i）'的值是（）

1+V3i

A.-16B.16C.」D.-

44-爭

【例3】（2004年遼寧卷）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足工=i，則|l+z|=()

A.0B.1C.x/2D.2

秒殺訓(xùn)練

【試題1]若i（x+yi）=3+4i,x,y€R,則復(fù)數(shù)x+yi的模是（）

A.2B.3C.4D.5

【試題2】設(shè)復(fù)數(shù)a+Z?i（a/￡R）的模為，則（。+例）（。一例）=.

【試題3】（人教B版選修2-2P95）（T+叫+（-1~71i）3=

22

【試題4】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足上=i,則因=()

1-z

A.1B.V2C.5/3D.4

【試題5】令0=7+"i,則1+。+療=()

2

A.0B.-1C.1D,。

【試題6】已知復(fù)數(shù)2=遮W，彳是Z的共輸復(fù)數(shù)，則zH=

d-W

真題回放

【試題1】(2017年山東卷理2)已知aeR,i是虛數(shù)單位，若z=a+V5i,z-z=4,則0=()

A.1或—1B.77或一aC.-73D.73

【試題2】(2016年全國丙卷)若z=l+2i,則T—=()

Z-2-1

A.1B.-1C.iD.-i

【試題3](2013年陜西卷理6)設(shè)4*2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()

A.若|z,-Z2|=0,則Z[=Z2B.若4=用，，則司=z2

C.若㈤=%|,則Z[?5=Z2?吊D.若㈤=憶|,則z；=z；

【試題4】(2016年四川預(yù)賽)若復(fù)數(shù)2貝(Iz*()

22

A.-1B.-iC.iD.1

【試題5】(2017年安徽預(yù)賽)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2017z-25=3+*,則忖=

【試題6】(2016年全國高中聯(lián)賽)設(shè)復(fù)數(shù)