1.2.3空間幾何體的直觀圖

教學目標

1.會用斜二側法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的直觀

圖.了解空間圖形的不同表示形式.

2.會直觀圖與實際圖形的互化，能由直觀圖求實際圖形的面積.

教學重點

用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖，增強對空間幾何體的整體認識，從而能根據直觀圖結

構，想象實物的形象.

教學難點

掌握水平放置的平面圖形直觀圖的畫法

教學過程

一、導入新課

問題一：畫在地面上的斑馬線怎么會產生出了立體感覺？

問題二：如何把立體圖形畫在紙上？展示一張圖片，想圖片中他們是什么關系？

我們今天就來學習：1.2.3空間幾何體的直觀圖.

二、新知探究與解題研究（認真閱讀教材，完成下列各題）

（一）問題導學

問題1：什么叫斜二測畫法？

【答案】立體幾何中常用平行投影（斜投影）來畫空間圖形的直觀圖，這種畫法叫做斜二測

畫法.

問題2：把一個矩形水平放置，從適當的角度觀察，給人以平行四邊形的感覺，如圖.比較

兩圖，

其中哪些線段之間的位置關系、數量關系發生了變化？哪些沒有發生變化？

【答案】①平行性不變，但形狀、長度、夾角會改變.

②平行直線段或同一直線上的兩條線段的比不變.

思考3：把一個直角梯形水平放置，得其直觀圖如圖，比較兩圖，其中哪些線段之間的位置

關系、數量關系發生了變化？哪些沒有發生變化？

【答案】①平行性不變，但形狀、長度、夾角會改變.

②平行直線段或同一直線上的兩條線段的比不變.

（二）知識運用與解題研究

題型一畫水平放置的平面圖形的直觀圖

例1畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.

解：畫法：（1）如圖所示，取A8所在直線為x軸，中點。為原點，建立直角坐標系，畫

對應的坐標系voy,使/^0y=45。.

⑵以。，為中點在V軸上取AB=A8,在y軸上取O'E'=^OE,以￡為中點畫C'D'//x'^,

并使C'D'=CD.

（3）連接"C,D'A',所得的四邊形A0CO就是水平放置的等腰梯形ABC。的直觀圖.

點評：在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時.，選取適當的直角坐標系是關鍵，一般要使平面

多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點.原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作

平行于坐標軸的線段來完成.

變式1如圖所示，如圖所示，梯形43c。中4B〃CD,AB=4cm,CD=2cm,ND48=30。,AD=3

cm,試畫出它的直觀圖

解：第一步：在梯形ABC。中，以邊48所在的直線為x軸，點A為原點，建立平面直角坐

標系xOy,畫出對應的X'軸,y'軸，使/乂4六45。.

3h

第二步:過。點作。EJ_x軸，垂足為E,在V軸上取A0=AB=4cm,AE=4E=j~cm=2.598cm；

2

過E作E77〃y軸，使￡7。=；即，再過點。作。軸，且使￡TC=8=2cm.

第三步：連結4。、BC、CD',并擦去V軸與軸及其他一些輔助線，則四邊形AbC。

就是所求作的直觀圖（如圖所示）.

題型二由直觀圖還原平面圖形

例2如圖所示，△4&C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形.

解：由斜二測法知：x軸上的邊長與原圖形相等，而），軸上的邊長是原圖形邊長的一半,

即HC=AC,C'D'=CD,夕。由傾斜45。變為與x軸垂直，并且8￡>=2夕。，

由此得到原三角形的圖形48c.

點評：由直觀圖還原平面圖形關鍵有兩點:

⑴平行V軸的線段長度不變，平行y軸的線段擴大為原來的2倍;

(2)對于相鄰兩邊不與乂、y軸平行的頂點可通過作v軸，)，'軸平行線變換確定其在X。〉中的

位置.

變式2如圖所示,正方形0A5C的邊長為1cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,

求原圖形的周長.

解：如圖為原平面圖形.由斜二測畫法可知，

08=20'8'=2/cm,OC=O'C'=AB=A'B'=\cm,ELAB//OC,NBOC=90°.

所以四邊形048C為平行四邊形，且BC=7OC+0笈=后兩=3(cm),

故平行四邊形O4BC的周長為2(OC+8C)=8(cm).

題型三空間幾何體的直觀圖

例3如圖所示，已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖.

解：(1)作出長方體的直觀圖ABCD-ABCiA，如圖1所示;

(2)再以上底面的對角線交點為原點建立X、軸，y'軸，z'軸，如圖2所示，在z'上取

點V'，使得V'。的長度為棱錐的高，連接丫'4,V'Ci，V'Dx，得到四棱錐的直觀圖,

如圖2；

(3)擦去輔助線和坐標軸，遮住部分用虛線表示，得到幾何體的直觀圖，如圖.

變式3由如圖所示幾何體的三視圖畫出直觀圖.

正視圖側視圖

解：（1）畫軸.如圖（圖1）,畫出軸，軸，軸，三軸相交與點0,使NxOy=45°,Zx<7z=90°.

（2）畫底面.作水平放置的三角形（俯視圖）的直觀圖AABC.

（3）畫側棱.過A,B,C各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取線段A4,BB',

CC,且AA'=28'=CC'.

（4）成圖，順次連接4,B',C,并加以整理（擦去輔助線，將遮擋部分用虛線表示），得到的

圖形就是所求的幾何體的直觀圖（圖2）.

三、當堂檢測

1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是（）

A.原來相交的仍相交B.原