高中數學〃構造法〃解題法分類解析

一.構造函數解題

例1.(1)在實數范圍內解(x2-x+l)5-x5+4x2-8x+4=0。

(2)解不等式X。+廬方)+(X+1)(1+J(x+1)2+2)>0

方程與不等式都是高次的，展開求解是不現實的。根據

其自身特點，分別作適當的變形，然后構造函數，再利

用函數的有關性質求解。

525

(1)原方程變形為(x?-X+1)+4(X-X+1)=X+4XO

設函數處)=/+小，上述方程即為f(x2-x+l)=f(x)。

由于f(t)在t€R上是單調增函數，故若處)=照2),則必有

h=t2成立。因此x2-x+l=x,即X=l,故原方程有唯一解

X=1O

(2)設f(x)=x(l+Jx?+2),X€R,易證f(x)在區間［。，+8］上為

增函數。

,.,f(-x)=-x(l++2)=-f(x),

為奇函數，從而f(x)在區間3+8)上為增函數，

二原不等式可化為f(x)+f(x+l)>0,即f(x+D>-f(x)=f(-x),即

X+1>-x,X>-1

2o

說明：函數的單調性和奇偶性是函數的兩個十分重要的

性質，要熟練掌握函數的圖象的幾何特征和代數含義，

它們在研究方程、不等式中經常用到。

二.構造一元二次方程解題

例2.已知AABC三內角A、B、C的大小成等差數列，且

tanAtanC=2+73,求A、B、C的大小。

+

由題知tanAtanC=2+當，聯想到犯）=1-tanAtanC,由A、

口冗A廠2開

B、C成等差數列,得B=I，A+C=T,故13nA+tanC=3+瓦

..tanAstanC是方程-（3+布）x+2+0的兩根,得

XL1,X『2+而。當A<C時，tanA=l,A=-,B=-,C=

當A>C時，tanC=l,得°=彳，B=J,A=V。

說明：由根與系數的關系來構造一元二次方程是最常見

的思路，不可忽視。

三.構造數列解題

2

例3.已知母機.《心X居網…門…），求滿足

￡（。）+2|9的正整數n的取值范圍。

22

解析：fn(x"l+:(x)￡@\+『e)

f"（O）TT-式。）

1+:(0)1+勒（0）

22[1(0)+2]

"0)+2=+2=

1+1(0)1+UiO)

Ifn(0)-1IiJn-xW-l,

Fl,

\(0)+22^,1(0)+2

AW-i?JiW-i?Ji

因此可知數列"。）+21是以%（0）+2尸4為首項，以5為公比

的等比數列。

」g&'二1卜L（_L產i=（L）z

￡（。）+2尸4rro

i

三<5,得n之3。所求n的取值范圍是讓3。

說明：有一些與數列有關的問題或看似無關的問題（變

量為正整數的函數），通過巧妙地構造出一個數列，其

問題的本質能更好地凸顯出來，并能用數列的有關知識

較簡捷地解答。

四.構造幾何圖形解題

例4.試證：對任何a>0,b>0,c>0,都有

___________________________1_11

222222

7a-ab+b+Vb-bc+c>Va+ac+c,當有僅當丁丁展時等號

成立。

觀察題目特點，從Ja2-ab+1?=Va2+b2-2abcos600聯想到余弦

定理，可以構造三角形，同理，另兩個根式也可構造三

角形，利用幾何圖形進行證明。

AC

根據題意構造圖形（如上圖），其中AB=a,BC=c,

BD=b,ZABD=ZDBC=60°,由余弦定理得：

AD=Va2+b2-ab,DC=Vb2+c2-be,AC=&+d+ac

在AADC中，AD+DC>AC,則

222222

7a+b-ab+Vb+c-be>Va+c+aco但當A、D、C三點共

線時等號成立，此時，SAABC=SAABD+SACBD,即

—acsin120°=-absin600+—bcsn60°

222

LLL

ac=ab+be,即bac

說明：本題若不構造一個三角形，而是運用三角知識解

題，直接將兩邊平方，則無論是用綜合法還是分析法，

不僅計算過程十分復雜，而且很不容易說明。

例5.設關于6的方程行cos+sind+a=0在區間（0,2萬）內有

相異的兩個實根公產。求實數a的取值范圍。

設x=cos8,y=sine,則由題設知，直線1：屈+y+a=0與圓

+y?=i有兩個不同的交點A（cosa,sina）和B

（cos⑸sin產）o

T+°+a||a|

即原點O到直線1的距離小于L即《的+「二丁1。