PAGEPAGE1專題38離散型隨機變量及其分布列、均值與方差一、考綱要求：1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現象的重要性.2.理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡潔的應用．3.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念.4.會求簡潔離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡潔實際問題．二、概念駕馭及解題上的留意點：1.求離散型隨機變量X的分布列的步驟：1）找出隨機變量X的全部可能取值xii＝1，2，3，…，n；2）求出各個取值的概率PX＝xi＝pi；3）列成表格并用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事務的概率是否正確.2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，超幾何分布的特征：1）考察對象分兩類；2）已知各類對象中個體的個數；3）從中抽取若干個個體，考察抽取到的某類個體個數X的概率分布.3.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型.4.求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟1）理解X的意義，寫出X可能取的全部值.2）求X取每個值時的概率.3）寫出X的分布列.4）由均值的定義求EX.5）由方差的定義求DX.5.利用均值、方差進行決策的兩個方略1）當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出推斷.2）若兩隨機變量均值相同或相差不大.則可通過分析兩變量的方差來探討隨機變量的離散程度或者穩定程度，進而進行決策.三、高考考題題例分析：例1.（2024全國卷I）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再依據檢驗結果確定是否對余下的全部產品作檢驗．設每件產品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產品是否為不合格品相互獨立．（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0．（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的全部產品作檢驗？【答案】見解析（2）（i）由（1）知p=0.1，令Y表示余下的180件產品中的不合格品數，依題意知Y～B（180，0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．（ii）假如對余下的產品作檢驗，由這一箱產品所須要的檢驗費為400元，∵E（X）=490＞400，∴應當對余下的產品進行檢驗．例2.（2024北京卷）電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．假設全部電影是否獲得好評相互獨立．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜愛的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜愛．“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜愛（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關系．【答案】見解析（Ⅱ）設事務B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，恰有1部獲得好評”，第四類獲得好評的有：200×0.25=50部，第五類獲得好評的有：800×0.2=160部，則從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率：P（B）==0.35．（Ⅲ）由題意知，定義隨機變量如下：ξk=，則ξk聽從兩點分布，則六類電影的分布列及方差計算如下：第一類電影：ξ110P0.40.6E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4，D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24．其次類電影：ξ210P0.20.8E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2，D（ξ2）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．第三類電影：ξ310P0.150.85E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15，D（ξ3）=（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275．第五類電影：ξ510P0.20.8E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2，D（ξ5）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．第六類電影：ξ610P0.10.9E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1，D（ξ5）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09．∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關系為：Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．例6.(2024山東卷節選)在心理學探討中，常采納對比試驗的方法評價不同心理示意對人的影響，詳細方法如下：將參與試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理示意，另一組接受乙種心理示意，通過對比這兩組志愿者接受心理示意后的結果來評價兩種心理示意的作用．現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理示意，另5人接受乙種心理示意．(1)求接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數，求X的分布列．【答案】(1)eq\f(5,18)；(2)見解析因此X的分布列為X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)例7.(2024天津卷)從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4).(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望；(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．【答案】(1)eq\f(13,12)；(2)eq\f(11,48)【解析】(1)隨機變量X的全部可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,24).所以，隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,4)eq\f(11,24)eq\f(1,4)eq\f(1,24)隨機變量X的數學期望E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(11,24)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,24)＝eq\f(13,12).例8.(2024四川卷)同時拋擲兩枚質地勻稱的硬幣，當至少有一枚硬幣正面對上時，就說這次試驗勝利，則在2次試驗中勝利次數X的均值是________．【答案】eq\f(3,2)【解析】法一：先求出勝利次數X的分布列，再求均值．由題意可知每次試驗不勝利的概率為eq\f(1,4)，勝利的概率為eq\f(3,4)，在2次試驗中勝利次數X的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,16).所以在2次試驗中勝利次數X的分布列為X012Peq\f(1,16)eq\f(3,8)eq\f(9,16)則在2次試驗中勝利次數X的均值為E(X)＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2).法二：此試驗滿意二項分布，其中p＝eq\f(3,4)，所以在2次試驗中勝利次數X的均值為E(X)＝np＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).離散型隨機變量及其分布列、均值與方差練習題一、選擇題1．設某項試驗的勝利率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的勝利次數，則P(X＝0)等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)【答案】C2．若離散型隨機變量X的分布列為X01P9c2－c3－8c則常數c的值為()A．eq\f(2,3)或eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．1【答案】C【解析】依據離散型隨機變量分布列的性質知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9c2－c≥0，,3－8c≥0，,9c2－c＋3－8c＝1，))得c＝eq\f(1,3).3．在15個村莊中有7個村莊交通不便利，現從中隨意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不便利的村莊數，下列概率中等于eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)【答案】C【解析】X聽從超幾何分布，故P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(10－k,8),C\o\al(10,15))，k＝4.4．若離散型隨機變量X的分布列為()X01Peq\f(a,2)eq\f(a2,2)則X的數學期望E(X)＝()A．2 B．2或eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．1【答案】C5．已知某一隨機變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則a的值為()X4a9P0.50.1bA．5 B．6C．7 D．8【答案】C【解析】由分布列性質知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4，∴E(X)＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.6．已知隨機變量η滿意E(1－η)＝5，D(1－η)＝5，則下列說法正確的是()A．E(η)＝－5，D(η)＝5B．E(η)＝－4，D(η)＝－4C．E(η)＝－5，D(η)＝－5D．E(η)＝－4，D(η)＝5【答案】D【解析】因為E(1－η)＝1－E(η)＝5，所以E(η)＝－4.D(1－η)＝(－1)2D(η)＝5，所以D(η)＝5，故選D.7．已知隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1,2,3,4)，則P(2＜X≤4)等于()A．eq\f(9,10) B．eq\f(7,10)C．eq\f(3,5) D．eq\f(1,2)【答案】B8．若隨機變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當P(X<a)＝0.8時，實數a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)【答案】C【解析】由隨機變量X的分布列知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，則當P(X<a)＝0.8時，實數a的取值范圍是(1,2]．9．罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續摸取4次，設X為取得紅球的次數，則X的方差D(X)的值為()A．eq\f(12,5) B．eq\f(24,25)C．eq\f(8,5) D．eq\f(2\r(6),5)【答案】B【解析】因為是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(勝利)的概率均為eq\f(3,5)，連續摸4次(做4次試驗)，X為取得紅球(勝利)的次數，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,5)))，所以D(X)＝4×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(24,25).10．已知5件產品中有2件次品，現逐一檢測，直至能確定全部次品為止，記檢測的次數為ξ，則E(ξ)＝()A．3 B．eq\f(7,2)C．eq\f(18,5) D．4【答案】B【解析】ξ的可能取值為2,3,4，P(ξ＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋A\o\al(3,3)C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，則E(ξ)＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(3,5)＝eq\f(7,2)，故選B．11．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1<x2，則P(x1≤X≤x2)等于()A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)【答案】B【解析】明顯P(X>x2)＝β，P(X<x1)＝α.由概率分布列的性質可知P(x1≤X≤x2)＝1－P(X>x2)－P(X<x1)＝1－α－β.12．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取5次，設摸得白球數為X，已知E(X)＝3，則D(X)＝()A．eq\f(8,5) B．eq\f(6,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(2,5)二、填空題13．已知隨機變量X的概率分別為p1，p2，p3，且依次成等差數列，則公差d的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))14．口袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5，從中隨意取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的分布列為________．【答案】X345P0.10.30.6【解析】X的可能取值為3,4,5.又P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).∴隨機變量X的分布列為X345P0.10.30.615．在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一球，登記它的顏色，然后放回，再取一球，又登記它的顏色，寫出這兩次取出白球數η的分布列為________．【答案】η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)【解析】η的全部可能值為0,1,2.P(η＝0)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)×2,C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(η＝2)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴η的分布列為η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)16．某商場在兒童節實行回饋顧客活動，凡在商場消費滿100元者即可參與射擊贏玩具活動，詳細規則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎且不再接著射擊，否則始終射擊到3次為止．設甲每次擊中的概率為p(p≠0)，射擊次數為Y，若Y的數學期望E(Y)>eq\f(7,4)，則P的取值范圍是_______【答案】.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【解析】由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，P(Y＝3)＝(1－p)2，則E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>eq\f(7,4)，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，又p∈(0,1)，所以p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).三、解答題17．有編號為1,2,3，…，n的n個學生，入坐編號為1,2,3，…，n的n個座位，每個學生規定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為X，已知X＝2時，共有6種坐法．(1)求n的值．(2)求隨機變量X的概率分布列.【答案】(1)4；(2)見解析所以X的概率分布列為：X0234Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(3,8)18.端午節吃粽子是我國的傳統習俗．設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中隨意選取3個．(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設X表示取到的豆沙粽個數，求X的分布列.【答案】(1)eq\f(1,4)；(2)見解析綜上知，X的分布列為X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)19．PM2.5是指懸浮在空氣中的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．依據現行國家標準GB3095—2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標．從某自然愛護區2015年全年每天的PM2.5監測數據中隨機地抽取10天的數據作為樣本，監測值頻數如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]頻數311113(1)從這10天的PM2.5日均值監測數據中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質量達到一級的概率；(2)從這10天的數據中任取3天數據，記ξ表示抽到PM2.5監測數據超標的天數，求ξ的分布列．【答案】(1)eq\f(21,40)；(2)見解析。【解析】(1)記“從10天的PM2.5日均值監測數據中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質量達到一級”為事務A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40).(2)依據條件，ξ聽從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3.P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120).因此ξ的分布列為ξ0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)20．在一袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)，現從袋中任取一球，X表示所取球的標號．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值．【答案】(1)見解析；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4.))21．為吸引顧客，某公司在商場舉辦電子嬉戲活動．對于A，B兩種嬉戲，每種嬉戲玩一次均會出現兩種結果，而且每次嬉戲的結果相互獨立，詳細規則如下：玩一次嬉戲A，若綠燈閃亮，獲得50分，若綠燈不閃亮，則扣除10分(即獲得－10分)，綠燈閃亮的概率為eq\f(1,2)；玩一次嬉戲B，若出現音樂，獲得60分，若沒有出現音樂，則扣除20分(即獲得－20分)，出現音樂的概率為eq\f(2,5).玩多次嬉戲后累計積分達到130分可以兌換獎品．(1)記X為玩嬉戲A和B各一次所得的總分，求隨機變量X的分布列和數學期望；(2)設某人玩5次嬉戲B，求該人能兌換獎品的概率．【答案】(1)見解析；(2)eq\f(992,3125)所以X的分布列為X1105030－30Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(3,10)故E(X)＝110×eq\f(1,5)＋50×eq\f(1,5)＋30×eq\f(3,10)－30×eq\f(3,10)＝32.(2)設某人玩5次嬉戲B的過程中，出現音樂n次(0≤n≤5，n∈N*)，則沒出現音樂5－n次，依題意得60n－20(5－n)≥130，解得n≥eq\f(23,8)，所以n＝3或4或5.設“某人玩5次嬉戲B能兌換獎品”為事務M，則P(M)＝Ceq\o\al(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\u