試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁二次函數與幾何圖形綜合題（與圓有關問題）歸納練2025年中考數學三輪復習備考1．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線（a、c為常數）經過、兩點．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，M是該拋物線上的一動點，且在直線的上方，連接，，．①求四邊形面積的最大值及此時點M的坐標；②若，求點M的坐標；(3)如圖2，經過A、B、C三點的圓交y軸于點F，求點F的坐標．2．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，．拋物線的對稱軸直線與經過點A的直線交于點D，與x軸交于點E．(1)求拋物線的表達式；(2)若在拋物線上存在點M，使得是以為直角邊的直角三角形，求出所有點M的坐標；(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，P為上一個動點，請求出的最小值．3．如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，連接．(1)請你直接寫出兩點的坐標，并求直線的表達式．(2)如圖②，點為直線上方拋物線上一動點，設點的橫坐標為，以點為圓心的圓與直線相切，當的半徑最大時，求的值．(3)設點是拋物線對稱軸上任意一點，點是拋物線上任意一點．是否存在這樣的點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．4．如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經過點的直線交于點，與軸交于點．(1)求拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．5．如圖，拋物線分別交軸于點（點在點的左側），交軸于點．(1)求點和點的坐標；(2)以為圓心，3為半徑作圓．①如圖1，連接是線段上的動點，過點作的一條切線（點為切點），求線段的最小值；②如圖2，點為拋物線的頂點，點在圓上，連接，求的最大值．6．如圖，拋物線經過直線與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．(1)求此拋物線的解析式；(2)點P為拋物線上的一個動點，求使的點P的坐標；(3)是過A、B、C三點的圓，連接、、，求劣弧的長．7．如圖1，已知拋物線經過點，兩點，且與y軸交于點C．

(1)求b，c的值．(2)在第二象限的拋物線上，是否存在一點P，使得的面積最大？求出點P的坐標及的面積最大值．若不存在，請說明理由．(3)如圖2，點E為線段上一個動點（不與B，C重合），經過B、E、O三點的圓與過點B且垂直于的直線交于點F，當面積取得最小值時，求點E坐標．8．已知：二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，其中點A為（﹣1，0），與y軸負半軸交于點C（0，﹣2），其對稱軸是直線x＝．(1)求二次函數y＝ax2+bx+c的解析式；(2)圓O′經過點△ABC的外接圓，點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交圓O′于點D，連接AD、BD，求△ACD的面積；(3)在（2）的條件下，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象上是否存在點P，使得∠PDB＝∠CAD？如果存在，請求出所有符合條件的P點坐標；如果不存在，請說明理由．9．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線經過，兩點，拋物線的頂點為，為線段上的一個動點（點不與點重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）求周長的最小值；（3）點的坐標為，以點為圓心，的長為半徑作圓，點在上，線段交拋物線于點，當的最大值為時，求點的坐標．10．拋物線與軸交于、（在的左邊），軸交于，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，且在直線下方的，若以為圓心的作，當與直線相切時，求最大半徑及此時坐標；（3）如圖2，是拋物線上一點，連接交軸于，作關于軸對稱的直線交拋物線于，連接，點是的中點，若的縱坐標分別是．求的數量關系．11．如圖，拋物線與軸分別交于點，，與軸交于點，頂點為，對稱軸交軸于點．

（1）求拋物線的解析式．（2）若點是拋物線的對稱軸上的一點，以點為圓心的圓經過，兩點，且與直線相切，求點的坐標．（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得與相似？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．12．如圖，已知二次函數y＝ax2+2ax+c（a＞0）的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C．過點B的直線l與這個二次函數的圖象的另一個交點為D，與該圖象的對稱軸交于點E，與y軸交于點F，且DE：EF：FB＝1：1：2．（1）求證：點F為OC的中點；（2）連接OE，若△OBE的面積為2，求這個二次函數的關系式；（3）設這個二次函數的圖象的頂點為P，問：以DF為直徑的圓是否可能恰好經過點P？若可能，請求出此時二次函數的關系式；若不可能，請說明理由．13．已知，如圖，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點A(﹣1，0)，B(3，0)，點E為二次函數第一象限內拋物線上一動點，EH⊥x軸于點H，交直線BC于點F，以EF為直徑的圓⊙M與BC交于點R.(1)求這個二次函數關系式.(2)當△EFR周長最大時.①求此時點E點坐標及△EFR周長.②點P為⊙M上一動點，連接BP，點Q為BP的中點，連接HQ，求HQ的最大值.

14．如圖，直線交軸于點，交軸于點，點的坐標為，拋物線經過三點，拋物線的頂點為點，對稱軸與軸的交點為點，點關于原點的對稱點為，連接，以點為圓心，的長為半徑作圓，點為直線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）求周長的最小值；（3）若動點與點不重合，點為⊙上的任意一點，當的最大值等于時，過兩點的直線與拋物線交于兩點（點在點的左側），求四邊形的面積．15．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點A，B，交y軸于點C，設過點A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D．（1）如圖1，已知點A，B，C的坐標分別為（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此拋物線的表達式與點D的坐標；②若點M為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值并求此時點M的坐標；（2）如圖2，若a=1，,求證：無論b，c取何值，點D均為定點，求出該定點坐標．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《二次函數與幾何圖形綜合題（與圓有關問題）歸納練2025年中考數學三輪復習備考》參考答案1．(1)(2)①四邊形的面積最大值為，這是M點的坐標為

②點M的坐標為(3)點的坐標為【分析】（1）把C，E的坐標代入求出a，c的值即可解題；（2）①先求出直線的解析式，過點作軸,交于點，設則，表示長，然后根據求出函數解析式，配方為頂點式得到最值即可；②作的垂直平分線交于點H，交x軸于點G，設點G的坐標為，連接，，根據兩點間距離公式得到m的值，然后求出直線的解析式，解函數解析式聯立的方程組得到交點坐標即可；（3）連接，求出拋物線與x軸交點坐標，然后證明，根據對應邊成比例解答即可．【詳解】（1）解：把、代入得：，解得，∴；（2）解：①設直線的解析式為，代入得：，解得，∴直線的解析式為，如圖，過點作軸,交于點，設則，，，∵,∴當時，四邊形的面積最大，最大值為，這是M點的坐標為；②如圖，作的垂直平分線交于點H，交x軸于點G，設點G的坐標為，連接，，則，即，解得，∴點G的坐標為，又∵的垂直平分線交于點H，∴點H的坐標為，同①可得直線的解析式為，解方程組得：或（舍去），∴點M的坐標為；（3）解：如圖,連接，令，解得，，∵,,，，即解得∴點的坐標為．【點睛】本題考查二次函數的綜合，待定系數法求函數解析式，二次函數中線段的最值，等腰三角形，相似三角形的判定和性質，勾股定理，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．2．(1)(2)存在，或或(3)【分析】（1）根據題意，可求出點的坐標，再運用待定系數法即可求解；（2）根據直角三角形的性質，分類討論：①當時；②當時；分別求出直線的解析式，再聯立二次函數為二元一次方程組求解即可；（3）如圖，在上取點，使，連接，可證，得，當點三點共線時，的值最小，運用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸，，∴，．∴將代入，得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：存在點，理由如下：直線的解析式為，將代入得解得：∴直線的解析式為：∵拋物線對稱軸與軸交于點，∴當時，，∴，①當時，設直線交對稱軸于點，∵，，二次函數對稱軸為，∴，，軸，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，且，∵∴，∴，∴點坐標為，設直線的解析式為，將點坐標代入，得，解得，直線的解析式為，解方程組，得或，∴點的坐標為；②∵，，∴∴∴是直角三角形，當時，根據點關于拋物線對稱軸對稱，則直線經過點坐標為，設直線的解析式為，將點坐標代入，得，解得，直線的解析式為，解方程組，解得或，∴點的坐標為或；綜上，點的坐標為或或；（3）解：已知，以點為圓心，畫半徑為的圓，點為上一個動點，如圖，在上取點，使，連接，，∴，，，又，，，即，，當點三點共線時，的值最小，即為線段的長，，，的最小值為．【點睛】本題主要考查待定系數法求解析式，二次函數與特殊三角形，圓的基礎知識，相似三角形的判定和性質，勾股定理，最短路徑等知識的綜合，掌握二次函數圖象的性質，特殊三角形的性質，最短路徑的計算方法是解題的關鍵．3．(1)，，(2)(3)存在，或或【分析】本題考查了二次函數綜合，切線的性質，解直角三角形；（1）分別令為，解方程得出的坐標，進而待定系數求得直線的解析式，即可求解；（2）過點作軸的垂線交直線于點，設，，得出的關系式，進而過點作直線垂線交直線于點，則，得出的關系式，進而根據二次函數的性質，即可求解；（3）設，，又，，分，，為對角線時，根據中點坐標公式，即可求解．【詳解】（1）解：當時，解得：∴，當時，∴設直線的解析式為，將，代入得解得：∴直線的解析式為（2）如圖所示，過點作軸的垂線交直線于點，∴設，∵在直線的上方，∴∵，∴∴是等腰直角三角形，過點作直線垂線交直線于點，則∴∵是的切線，∴即為的半徑，∴當時，取得最大值，此時取得最大值（3）解：∵，拋物線的對稱軸為直線，點是拋物線對稱軸上任意一點，點是拋物線上任意一點．設，，又，①當為對角線時，，解得：，則，則；②當為對角線時，，解得：，則，則；③當為對角線時，，解得：，則，則；綜上所述或或4．(1)(2)存在，或或(3)【分析】（1）根據題意，可求出點的坐標，再運用待定系數法即可求解；（2）根據直角三角形的性質，分類討論：①當時；②當時；分別求出直線的解析式，再聯立二次函數為二元一次方程組求解即可；（3）如圖，在上取點，使，連接，可證，得，當點三點共線時，的值最小，運用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸與經過點的直線交于點，∴把代入直線得，，∴，令，則，∴，∵，∴，∴將代入，得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：存在點，理由如下：直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點，∴當時，，∴，①當時，設直線交對稱軸于點，對稱軸與軸交于點，∵，，二次函數對稱軸為，∴，，軸，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，且，∴，∴，∴點坐標為，設直線的解析式為，將點坐標代入，得，解得，直線的解析式為，解方程組，得或，∴點的坐標為；②當時，根據點關于拋物線對稱軸對稱，則直線經過點坐標為，設直線的解析式為，將點坐標代入，得，解得，直線DM的解析式為，解方程組，解得或，∴點的坐標為或；綜上，點的坐標為或或；（3）解：已知，以點為圓心，畫半徑為的圓，點為上一個動點，如圖，在上取點，使，連接，，∴，，，又，，，即，當點三點共線時，的值最小，即為線段的長，的最小值為．【點睛】本題主要考查待定系數法求解析式，二次函數與特殊三角形，圓的基礎知識，相似三角形的判定和性質，勾股定理，最短路徑等知識的綜合，掌握二次函數圖象的性質，特殊三角形的性質，最短路徑的計算方法是解題的關鍵．5．(1)、(2)①；②【分析】（1）由題意，令，則，解一元二次方程，再根據點在點的左側即可得到點和點的坐標；（2）①根據切線性質，在中，由勾股定理表示出，從而得到當最小時，線段有最小值，再由動點最值問題-點線模型確定當時，線段最小，利用等面積法求出即可得到答案；②分析可知，線段端點為，其中為固定點；為動點，且動點軌跡是，這是動點最值問題-阿氏圓模型，求出，得到，，構造，使，則，由三角形三邊關系可得，當三點共線時有最大值，利用相似三角形判定與性質求出點坐標，利用兩點之間距離公式代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線分別交軸于點（點在點的左側），令，則，即，，解得或，、；（2）解：①連接，如圖所示：過點作的一條切線（點為切點），，在中，，當最小時，則線段有最小值，連接是線段上的動點，，當時，線段最小，，，，，，則，即，，即線段的最小值；②由可知，線段端點為，其中為固定點；為動點，且動點軌跡是，，，，，，，，則在上找一點，使，即，如圖所示：，則，即，，在中，，當三點共線時為最大值，過點作軸，如圖所示：軸，則，，，即，，解得，，，的最大值為．【點睛】本題考查二次函數綜合，涉及二次函數圖象與性質、二次函數圖象與坐標軸交點、切線性質、動點最值問題-點線模型、勾股定理、等面積法求線段長、動點最值問題-阿氏圓模型、相似三角形的判定與性質、三角形三邊關系、兩點之間距離公式等知識，難度較大、綜合性較強，熟練掌握動點最值問題的解法，靈活構造輔助線求解是解決問題的關鍵．6．(1)(2)或(3)【分析】（1）先根據求出點A、點B的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）先求出點C的坐標，然后求出，設點，再分兩種情況討論，根據列方程求解即可；（3）先求出，，然后求出，最后根據弧長公式進行計算即可．【詳解】（1）解：把代入得：，∴，把代入得：，解得：，∴，將點A與點的坐標代入拋物線，得，解得，拋物線的解析式是；（2）解：把代入得：，解得：，，點，，為拋物線上的一個動點，設點，當點P在下方時，過點P作軸，交于點H，如圖所示：點，則，，∴，即，∵，∴此方程無解；當點P在上方時，過點P作軸，交于點H，如圖所示：點，則，，∴，即，解得：，，當時，點P坐標為，此時點P與點C重合，當時，點P坐標為；∴P點的坐標為：或．（3）解：∵，，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴或（舍去），∴．【點睛】本題考查了一次函數、二次函數與坐標軸的交點問題，代定系數法求二次函數解析式，弧長公式，圓周角定理，坐標與圖形的性質等知識．求出二次函數解析式是解答本題的關鍵．7．(1)(2)存在，點P坐標為，的面積最大值是(3)【分析】（1）將A、B兩點坐標代入即可求出；（2）由（1）得到拋物線的解析式為，求出點，設點，，連接，作軸交于M，利用待定系數法求出直線的解析式為，則，得到，得到，從而可求出的面積最大值及點P的坐標；（3）連接，證明，則，是等腰直角三角形，當最小時，面積取得最小值.由點E在線段上，則當時，最小.此時點E是中點，由中點坐標公式即可得到點E坐標．【詳解】（1）將，兩點坐標代入得：，解得：；（2）存在．理由如下：由（1）得到拋物線的解析式為，當時，∴點，設點，，連接，作軸交于M，

設直線的解析式為，由，可得,解得，∴直線的解析式為，則，，∵，當時，∴的面積最大值為；當時，，∴點P坐標為；（3）連接，

∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，是等腰直角三角形，∴當最小時，面積取得最小值.∵點E在線段上，∴當時，最小.∵是等腰直角三角形，∴此時點E是中點，∵，，∴.【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質、圓周角定理、待定系數法求二次函數的解析式和一次函數解析式、二次函數的最值、等腰直角三角形的判定和性質等知識，數形結合和準確計算是解答此題的關鍵．8．(1)y＝﹣x﹣2(2)(3)存在，點P的坐標為（，）或（，）【分析】（1）根據拋物線具有對稱性，可以求出點B的坐標，再用待定系數法求解析式即可．（2）根據△AOC∽△COB以及圓的相關性質，可知△ABD為等腰直角三角形，從而得出O'D與AB的數量關系，列式求解即可．（3）使得∠PDB=∠CAD的點P存在兩種情況，利用相似導出線段之間的比值，再用直線和拋物線解析式聯立求得相關點的坐標．【詳解】（1）解：∵A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝，∴B（4，0），把點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入得∶，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x﹣2．（2）解∶∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，∴，又∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠BAC＝∠BCO，∴∠ACB＝90°，∴AB為圓O′的直徑，O′點坐標為（，0），∴∠ADB＝90°，又∵CD平分∠BCE，∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∴∠BAD＝45°，∴△ADB為等腰直角三角形，連接OD′，則DO′＝AB，DO′⊥AB，∴DO′＝，D的坐標為（，﹣），設AD與y軸交于點F，∵∠DAB＝45°，∴OF＝OA＝1，∴CF＝1，過D作DH垂直于y軸，∵D（，﹣），∴DH＝，OH＝，∴S△ACD＝S△ACF+S△DCF＝×1×1+×1×＝．（3）解∶拋物線上存在點P，使得∠PDB＝∠CAD，分兩種情況討論：①過D作MN∥BC，交y軸于點M，∵MN∥BC，∴∠BDN＝∠CBD，∠OCB＝∠HMD，又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BDN＝∠CAD，∴直線MN與拋物線在D點右側的交點即為點P，∵∠OCB＝∠HMD，∠COB＝∠MHD＝90°，∴△HDM∽△OCB，∴，∵DH＝，∴MH＝，M（0，﹣）．設直線MD的解析式為y＝mx+n，則有，解得，∴直線MD的解析式為，聯立得∶，解得，（舍去），∴P1．②過點D作∠O′DG＝∠O′BC，交x軸于點G點，∵∠O′DB＝∠O′BD＝45°，∴∠GDB＝∠CBD＝∠CAD，即直線DG與拋物線在點D右側的交點即為P點，又∵∠DO′G＝∠COB，∴△O′GD∽△OCB，∴，∴，∴O′G＝，∴G（，0），設直線DG的解析式為y＝kx+b，則有，解得∴直線DG的解析式為y＝2x﹣，聯立得∶，解得（舍去），，∴，綜上所述，點P的坐標為（，）或（，）．【點睛】此題考查了待定系數法求函數解析式，以及幾何圖形和二次函數相結合的應用，利用相似找到線段之間的比例關系，從而求出點坐標是解題關鍵．9．（1）；（2）；（3）點M的坐標為【分析】（1）先求出點,的坐標,代入兩點式的函數解析式,得：．再根據圖形可知拋物線過點,可得,求出a值,即可得到拋物線的解析式．（2）如圖①,過點作直線的對稱點,連接,交直線于點,連接,則此時的周長最小,求出周長即可．（3）如圖②,連接并延長,交于點,此時為最大值．又因為的最大值為,求出直線的表達式,再與拋出線解析式聯立,即可求出交點坐標．【詳解】解：（1）直線,令,則；令,則．故點,的坐標分別為,．拋物線的表達式為．拋物線過點,,解得．拋物線的解析式為．（2）如圖①,過點作直線的對稱點,連接,交直線于點,連接,則此時的周長最?。?得,又由點,關于直線對稱,為等腰直角三角形．．,．周長的最小值．（3）如圖②,連接并延長,交于點,此時為最大值．,,．,設點,則解得,（舍）．點．直線的表達式為．聯立解得,點在線段上,故點的坐標為．【點睛】此題屬于二次函數綜合題,涉及的知識有：拋物線與坐標軸的交點,二次函數的圖象與性質,兩點式確定二次函數解析式,坐標與圖形性質,理解圓的定義，熟練掌握二次函數性質是解本題的關鍵．10．（1）；（2），；（3）【分析】（1）根據A(-1，0)知OA=1，由OB=OC=4OA可求得B(4，0)，C(0，-4)，利用選定系數法即可求解；（2）作PH∥軸交DE于點H，設與DE相切于Q，則，當FH的長取得最大值時，⊙F的半徑最大，利用二次函數的性質即可求解；（3）先求得直線AM的解析式，聯立求得，同理求得，，再利用完全平方公式變形即可求解．【詳解】（1）∵A(-1，0)，∴OA=1，∵OB=OC=4OA=4，∴B(4，0)，C(0，-4)，則，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）作PH∥軸交DE于點H，設與DE相切于Q，則，如圖：∵直線DE的解析式為，∴∠EOB=，∴∠FHQ=，∴△FHQ是等腰直角三角形，當FH的長取得最大值時，⊙F的半徑最大，設F(，)，則H(，)，∴FH=，∵，∴當時，FH取得最大值，此時F(，)，⊙F的最大半徑：；（3）∵若G的縱坐標分別是t，∴G(，)，設直線AM的解析式為，把A(-1，0)代入得：，∴，∴直線AM的解析式為，聯立直線AM與拋物線得得，∴，即，∵直線AM與直線AN關于軸對稱，則直線AN與軸的交點I的坐標為(，)，同理可求得直線AN的解析式為，，又，，，，，即．【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、待定系數法求拋物線解析式、切線的性質、一元二次方程根與系數的關系等，綜合性較強，難度不小．11．（1）；（2）點的坐標為或；（3）存在，點的坐標為或【分析】（1）由題意把點A、點B的坐標代入拋物線解析式，用待定系數法可得到二次函數的表達式；（2）根據題意設直線CD切⊙P于點E．連結PE、PA，作CF⊥DQ于點F．通過DF與CF的長，說明△DCF為等腰直角三角形．設點P（1，m），用含m的代數式表示出半徑EP、PA的長，根據半徑間關系，求出m的值從而確定點P的坐標．（3）根據題意利用等腰直角三角形，先求出DC和BC的長，由于∠CBQ=∠CDM，若△DCM與△BQC相似，分兩種情況，利用比例線段求出滿足條件的點M的坐標即可．【詳解】解：（1）∵，在拋物線上，代入，得，解得∴拋物線的解析式為．（2）如圖1，設直線切于點，連接，，作于點．∴．由，得對稱軸為直線，，．∴，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形．設，則．在中，，∴，∴．整理，得，解得．∴點的坐標為或．（3）存在點，使得．如圖2，連接，，，∵，，，∴為等腰直角三角形，∴，．由（2）可知，，∴．∴與相似有兩種情況，當時，，解得，∴．∴當時，，解得，∴，∴．綜上，點的坐標為或．【點睛】本題是二次函數綜合題，考查待定系數法確定二次函數解析式、切線的性質、勾股定理及相似三角形的判定等知識點．解決本題的關鍵是運用數形結合的思想及分類討論思想．12．（1）見解析；（2）；（3）以DF為直徑的圓能夠恰好經過點P，【分析】（1）首先得出對稱軸，再表示出D，C點坐標，再利用全等三角形的判定方法得出△DCF≌△BOF，進而求出答案；（2）首先得出F點坐標，進而利用待定系數法求出直線BC的解析式，進而得出答案；（3）由（1）可得F（0，），E（﹣1，），再利用EP＝DE，進而得出關于a，c的等式，進而求出答案．【詳解】（1）如圖1，過點D作DM∥FO，∵y＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2+c﹣a，∴它的對稱軸為x＝﹣1，∵DE：EF：FB＝1：1：2，且DM∥NE∥OF，∴B（2，0），且D點的橫坐標為﹣2，由此可得D（﹣2，c），∵點C（0，c），∴D、C關于x＝﹣1對稱，故∠DCF＝90°，在△DCF和△BOF中∴△DCF≌△BOF，∴OF＝CF，即點F為CO的中點．（2）∵△OBE的面積為2，B（2，0），∴E（﹣1，﹣2），∵OF∥NE，∴△BOF∽△BNE，∴∴解得：FO＝，由此可得F（0，﹣），C（0，﹣），把B（2，0），C（0，﹣）代入y＝ax2+2ax+c得解得：∴拋物線解析式為：（3）以DF為直徑的圓能夠恰好經過點P，由（1）可得F（0，），E（﹣1，），D（﹣2，c），∴要使以DF為直徑的圓恰好經過點P，有EP＝∵E（﹣1，），P（﹣1，c﹣a），∴EP＝∴另一方面，由B（2，0）可得8a+c＝0，即c＝﹣8a，把它代入上式可得a＝，∴【點睛】此題主要考查了二次函數綜合以及相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，正確表示出E，P點坐標是解題關鍵．13．(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)①E(，)，周長為+；②HQ的最大值大為：+.【分析】(1)用交點式函數表達式，即可求解；(2)①證明△ERF為等腰直角三角形，當△EFR周長最大時，EF最長，EF＝﹣m2+3m，即可求解；②HQ＝OP，利用OP≤OM+PM＝，即可求解.【詳解】(1)用交點式函數表達式得：y＝﹣(x+1)(x﹣3)＝﹣x2+2x+3；(2)①由（1）知C（0,3），∴OC=OB=3，∴∠OBC=45，∴直線BC的解析式為y=-x+3，∵∠CBO＝∠FER，∴△ERF∽△BOC，∴△ERF為等腰直角三角形.當△EFR周長最大時，EF最長，設E(m，﹣m2+2m+3)，F(m，﹣m+3)，∴EF＝﹣m2+3m，∴當m＝時，EF最長，EF＝，∴E(，)，則Rt△EFR中，ER＝FR＝，∴△EFR周長為+；②如圖，連接OP，點H(，0)為OB的中點，

∵Q是PB的中點，∴HQ∥OP，且HQ＝OP，∵EF＝，FH＝，∴點M(，)，∴OM＝BM＝,∵OP≤OM+PM＝，∴HQ≤，即HQ的最大值大為：+.【點睛】此題是二次函數與圓的綜合題，（1）用交點式求拋物線的解析式；（2）先證得三角形是等腰直角三角形，故周長最大時即斜邊最長，由此轉化為求線段的最大值；（3）中兩個點H、Q均為中點，所以兩點連線即為三角形的中位線，根據中位線的性質，求與其平行的三角形的第三邊的長度的最大值即為中位線的最大值，依此思路解題即可.14．（1）；（2）（3）【分析】（1）直線y=x-3，令x=0，則y=-3，令y=0，則x=3，故點A、C的坐標為（3，0）、（0，-3），即可求解；（2）過點B作直線y=x-3的對稱點B′，連接BD交直線y=x-3于點P，直線B′B交函數對稱軸與點G，則此時△BDP周長=BD+PB+PD=BD+B′B為最小值，即可求解；（3）如圖2所示，連接PF并延長交圓與點Q，此時PQ為最大值，即可求解．【詳解】解：（1）直線，令，則，令，則，故點的坐標為、，則拋物線的表達式為：，則，解得：，故拋物線的表達式為：…①；（2）過點作直線的對稱點，連接交直線于點，直線交函數對稱軸與點，連接，則此時周長為最小值，，則點，即：，即點是的中點，過點，周長最小值；（3）如圖2所示，連接并延長交圓與點，此時為最大值，點的坐標為，則，，則，設點，點，，解得：，故點，將點坐標代入一次函數表達式并解得：直線的表達式為：…②，聯立①②并解得：，故點的坐標分別為：過點分別作軸的垂線交于點，則.【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、點的對稱性、圖