2024—2025學年河南省許昌市鄢陵縣高三上學期期中數學試卷

一、單選題(★★)1.已知，則（）

A．B．C．D．(★★★)2.，恒成立，則實數的最大值為（）

A．B．3C．D．6(★★)3.已知向量，滿足，，，則（）

A．B．C．1D．(★★)4.若隨機變量，且，則的最小值為（）

A．8B．10C．D．(★★★)5.已知，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線與交于A，B兩點，且，若，則的離心率為（）

A．B．C．D．(★★★)6.已知函數，若至少有三個不同的零點，則實數的取值范圍是（）

A．B．C．D．(★★★)7.在直三棱柱中，，，，E為棱的中點，在棱上，若過三棱錐四個頂點的球的體積為，則的長為（）

A．1B．C．2D．1或2(★★★)8.已知，，則的值為（）

A．B．C．D．二、多選題(★★★)9.已知函數，則（）

A．的最小正周期為B．圖象的對稱軸為直線，C．圖象的對稱中心為，D．在上單調遞減(★★★)10.已知函數，則下列說法正確的是（）

A．若的增區間為，則B．若在上單調遞減，則C．若的極大值為0，則D．若，則曲線的對稱中心為(★★★)11.已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交于，兩點，過點作的切線交軸于點，則（）

A．B．C．點到直線的距離為定值D．為等腰三角形三、填空題(★★)12.記等差數列的前項和為，，，則_____.(★★★)13.當時，，則______.(★★★★)14.川劇變臉是運用在川劇藝術中塑造人物的一種特技，是揭示劇中人物內心思想感情的一種浪漫主義手法，王老師獲得了川劇演出的7張連號的票，王老師自己留下了2張連號的票，其余的票贈送給4位朋友，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票連號，那么共有______種不同的分法.（用數字作答）四、解答題(★★★)15.記的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知向量，，且.(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長.(★★★)16.已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區間上有唯一的極值點，求實數的取值范圍.(★★★)17.如圖，在四棱錐中，平面平面，平面為直角梯形，，，，，.(1)求證：.(2)若，平面與平面的夾角為，求四棱錐的高.(★★★★)18.某校舉辦了一次安全知識競賽，競賽分為預賽與決賽，預賽通過后才能參加決賽.預賽從8道題中任選4道作答，答對3道及以上則進入決賽，否則被淘汰.(1)若這8道題中甲同學能答對其中4道，記甲在預賽中答對的題目個數為，求的分布列并計算甲進入決賽的概率.(2)決賽需要回答3道同等難度的題目，若全部答對則獲得一等獎，獎勵200元；若答對2道題目則獲得二等獎，獎勵100元；若答對1道題目則獲得三等獎，獎勵50元；若全部答錯則沒有獎勵.假定進入決賽的同學答對每道題目的概率均為，且每次答題相互獨立.（i）記進入決賽的某同學恰好獲得二等獎的概率為，求的最大值；（ii）某班共有4名學生進入了決賽，若這4名同學獲得總獎金的期望值不小于325元，求此時的取值范圍.(★★★★★)19.已知雙曲線過點，.(1)求的方程.(2)若直線與的右支交于點，，以線段為邊向右側作，其中，均與一條漸近線平行，得到點，再過點作與平行的直線交于