專題3.1三角函數與弧度制14種題型歸類一、知識梳理與二級結論二、熱考題型歸納【題型一】角基礎1：象限角【題型二】角基礎2：角的范圍【題型三】角基礎3：不等式與角域【題型四】角基礎4：終邊相同角關系【題型五】角度之間對稱關系【題型六】最小角【題型七】弧長與扇形面積最值【題型八】單位圓【題型九】三角函數線應用比大小【題型十】三角函數線解三角不等式【題型十一】三角函數符號判斷【題型十二】三角函數式與角的位置判定【題型十三】解三角函數方程【題型十四】定義域型解三角函數三、高考真題對點練四、最新模考題組練知識梳理與二級結論1．正角、負角、零角我們規定，一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做正角，如果一條射線沒有做任何旋轉，就稱它形成了一個負角.2．象限角、軸線角的概念（1）象限角：若角的頂點在原點，角的始邊與x軸非負半軸重合，則角的終邊在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角.（2）軸線角：若角的終邊在坐標軸上，則這個角不屬于任何象限.3．弧長公式和扇形面積公式（1）；（2）；（為扇形圓心角的弧度數）4．角度與弧度制的換算5．三角函數線設角的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M，則點M是點P在x軸上的正射影．由三角函數的定義知，點P的坐標為，其中OM，MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點T，則AT．我們把有向線段OM、MP、AT叫做的余弦線、正弦線、正切線．三角函數線6．比值叫做的正弦，記作：；比值叫做的余弦，記作：；比值叫做的正切，記作：.7．任意角的三角函數的定義條件如圖，設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點定義正弦函數把點P的縱坐標y叫做的正弦函數，記作，即余弦函數把點P的橫坐標叫做的余弦函數，記作，即正切函數把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切函數，記作，即三角函數正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，將它們統稱為三角函數8.象限角：象限角集合區間第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角9.軸線角角終邊所在位置角度制弧度制角終邊在軸非負半軸角終邊在軸非正半軸角終邊在軸非負半軸角終邊在軸非正半軸角終邊在軸上角終邊在軸上角終邊在坐標軸上10.常見角度與弧度對應三角函數值熱點考題歸納【題型一】角基礎1：象限角【典例分析】1．（2023秋·江西·高三寧岡中學校考開學考試）若是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．2．（2022春·高三單元測試）若為第二象限角，則的終邊所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【提分秘籍】象限角、軸線角的概念（1）象限角：若角的頂點在原點，角的始邊與x軸非負半軸重合，則角的終邊在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角.（2）軸線角：若角的終邊在坐標軸上，則這個角不屬于任何象限.【變式演練】1．（2023春·廣西欽州·高三模擬試卷）若是第二象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．（2023·全國·高三假期作業）若角是第二象限角，則角的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2021秋·高三課時練習）若是第四象限角，則一定是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【題型二】角基礎2：角的范圍【典例分析】1．（2021·高三課時練習）．若α是第四象限角，則下列角中是第一象限角的是（

）A．α＋180° B．α－180° C．α＋270° D．α－270°2．（2023·全國·高三專題練習）若α是第四象限角，則180°－α是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【提分秘籍】象限角集合區間第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角【變式演練】1．（2022·全國·高三專題練習）若是第三象限角，則的終邊所在的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·高三課時練習）已知是第四象限角，則是第象限角.A．一 B．二 C．三 D．四3．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【題型三】角基礎3：不等式與角域【典例分析】1．（2023·全國·高三專題練習）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023春·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校聯考期末）集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【提分秘籍】對于k形式，要注意討論k的奇偶性。1.k偶數時候，k終邊落在x軸正半軸2.k奇數時候，k終邊落在x軸負半軸【變式演練】1．（2023·全國·高三假期作業）集合中角表示的范圍用陰影表示是圖中的（

）A．B．C． D．2．（2023春·廣西欽州·高三浦北中學校考期中）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．B．C． D．3．（2022·高三課時練習）集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的終邊在單位圓中的位置(陰影部分)是（

）A． B． C． D．【題型四】角基礎4：終邊相同角關系【典例分析】1．（2023·全國·高三專題練習）如果角與角x＋45°具有相同的終邊，角與角x－45°具有相同的終邊，那么與之間的關系是（

）A． B．C． D．2．（2021·高三課時練習）若角與角的終邊相同,角與角的終邊相同,則與之間的關系2A． B．C． D．【變式演練】1．（2022秋·四川攀枝花·高三攀枝花市第三高級中學校校考階段練習）已知集合，，，則A，B，C之間的關系正確的是（

）A． B． C． D．2．（2021秋·高三課時練習）已知集合，則M，P之間的關系為（）A．M=P B．C． D．3．（2023秋·四川眉山·高三仁壽一中校考期末）已知集合，.則集合M，P之間的關系為（

）A．M=P B． C． D．【題型五】角度之間對稱關系【典例分析】1．（2023春·四川南充·高三校考階段練習）是一個任意角，則的終邊與的終邊（

）A．關于坐標原點對稱 B．關于軸對稱C．關于軸對稱 D．關于直線對稱2．（2022春·陜西銅川·高三銅川市第一中學校考階段練習）平面直角坐標系內，角，的頂點均在坐標原點，始邊均與x軸非負半軸重合，其終邊在同一直線上，則角與的關系為（

）A． B．C． D．【變式演練】1．（2021春·陜西寶雞·高三統考期中）若角與角的終邊關于軸對稱，則（

）.A．() B．()C．() D．()2．（2022·高三課時練習）在直角坐標系中，若角與角的終邊關于軸對稱，則與的關系是（

）.A． B．C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）若,,其中,則角與的終邊（

）.A．關于原點對稱 B．關于軸對稱C．關于軸對稱 D．關于對稱【題型六】最小角【典例分析】1．（2021·高三課時練習）把表示成的形式，使最小的值是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）表示成（）的形式，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式演練】1．（2021·高三單元測試）把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是（

）A．－π B．－2πC．π D．－π2．（2021秋·高三課時練習）把表示成的形式，使最小的的值是（

）A． B． C． D．3．（2022春·江西南昌·高三南昌十五中校考階段練習）與角終邊相同的最小正角是（

）A． B． C． D．【題型七】弧長與扇形面積最值【典例分析】1．（2023春·浙江杭州·高三浙江大學附屬中學期中）已知一個扇形的周長為20，則當該扇形的面積最大時，其圓心角的弧度為（

）A．1 B．2 C．4 D．52．（2023秋·江蘇南通·高三統考開學考試）已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【提分秘籍】弧長公式和扇形面積公式（1）；（2）；（為扇形圓心角的弧度數）求弧長或者面積最值是，多用均值不等式來計算常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式鏈：eq\r(,eq\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)；【變式演練】1．（2020·全國·高三專題練習）在面積為定值的扇形中，當扇形的周長取得最小值時，扇形的半徑是（

）.A． B． C． D．2．（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考期末）已知扇形的周長為20cm，當扇形面積的最大值時，扇形圓心角為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．33．（2021·江蘇·高三專題練習）已知扇形的周長為，當扇形的面積取得最大值時，扇形的弦長等于（

）A． B． C． D．【題型八】單位圓【典例分析】1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三模擬試卷）已知角的終邊與單位圓的交點，則（

）A． B． C． D．2（2022秋·廣東東莞·高三模擬試卷）如圖，質點在單位圓周上逆時針運動，其初始位置為，角速度為2，則點到軸距離關于時間的函數圖象大致為（

）A． B．C． D．【變式演練】1．（2023·全國·高三專題練習）設，角的終邊與圓的交點為，那么A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與以原點為圓心，半徑為的圓相交于點則，則（）A． B． C． D．3．（2021春·浙江·高三期末）在單位圓中，已知角的終邊上與單位圓的交點為，則位于第幾象限（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【題型九】三角函數線應用比大小【典例分析】1．（2023春·高三課時練習）利用正弦線比較的大小關系是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）以下命題正確的是（

）A．都是第一象限角，若，則B．都是第二象限角，若，則C．都是第三象限角，若，則D．都是第四象限角，若，則【提分秘籍】設角的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M，則點M是點P在x軸上的正射影．由三角函數的定義知，點P的坐標為，其中OM，MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點T，則AT．我們把有向線段OM、MP、AT叫做的余弦線、正弦線、正切線．三角函數線【變式演練】1．（2023·全國·高三專題練習）若，則下列關系中正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023春·高三單元測試）在上，利用單位圓，得到成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·高三專題練習）設，和分別是角的正弦線、余弦線和正切線，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【題型十】三角函數線解三角不等式【典例分析】1．（2023·全國·高三專題練習）已知，且，則的取值范圍是（

）.A． B． C． D．2．（2023春·湖北·高三校考階段練習）若0<α<2π，且sinα<，cosα>，則角α的取值范圍是（

）A． B．C． D．∪【提分秘籍】應用三角函數線解三角不等式時，要注意幾點：1.周期性。2.角度取舍時，要遵循逆時針旋轉。從小到大。【變式演練】1．（2023秋·遼寧撫順·高三撫順一中校考期末）已知是的一個內角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2019秋·全國·高三貴陽一中校聯考階段練習）的解集為A． B．,C． D．3．（2019·高三課時練習）在內，使成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型十一】三角函數符號判斷【典例分析】1．（2023春·貴州遵義·高三校聯考期中）若，，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．（2021·高三課時練習）的符號為（

）A．正 B．0 C．負 D．無法確定【提分秘籍】三角函數在各象限內的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.【變式演練】1．（2022秋·上海楊浦·高三復旦附中校考期末）已知角滿足，，則的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·全國·高三專題練習）下列結論不正確的是（

）A． B．C． D．3.（2023·全國·高三對口高考）設，如果且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型十二】三角函數式與角的位置判定【典例分析】1．（2023春·江西撫州·高三校聯考期中）已知是第四象限的點，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023春·高三課時練習）已知點在第二象限，則角的一個可能的區間是（

）A． B． C． D．【變式演練】1．（2023春·江蘇常州·高三校考階段練習）已知，則“”是“點在第一象限內”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·高三課時練習）若，且，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．（2023春·江西·高三江西師大附中校考階段練習）已知，，，則下列不等關系中必定不成立的是（

）A．， B．，C．， D．，【題型十三】解三角函數方程【典例分析】1．（2023春·高三課時練習）使得等式成立的x的集合是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三假期作業）若，則角x等于（

）A．或 B．或 C．或 D．或【提分秘籍】解三角方程公式公式記憶較復雜，可以通過三角函數來記憶。sin=m，則角度關于x軸對稱Cos=m，則角度關于y軸對稱【變式演練】1．（2023秋·浙江·高三期末）已知，且，則（

）A． B．或 C．或 D．或2．（2023秋·天津河西·高三天津市新華中學校考期末）滿足方程的的取值為（

）A．或 B．或C．或 D．或3．（2023春·遼寧葫蘆島·高三校考階段練習）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型十四】定義域型解三角函數【典例分析】1．（2023春·廣西欽州·高三校考期中）已知，則的定義域為（

）A． B．C．，其中 D．2．（2022秋·甘肅慶陽·高三校考期末）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【提分秘籍】涉及到三角函數型定義域不等式求解，交集計算要放在數周上來求解計算【變式演練】1．（2023·全國·高三對口高考）函數的定義域是（

）A． B．C． D．2．（2023春·江西南昌·高三校考階段練習）函數的定義域為（

）．A． B．C． D．3．（2023春·遼寧·高三遼寧實驗中學校考階段練習）函數的定義域為（

）A．， B．，C．， D．，高考真題對點練1．（上海·高考真題）三角方程的解集為（

）A． B．C． D．2．（2020·全國·統考高考真題）若α為第四象限角，則（

）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<03．（2018·北京·高考真題）在平面直角坐標系中，是圓上的四段弧（如圖），點P在其中一段上，角以為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是A． B．C． D．4．（2018·全國·高考真題）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，，且，則A． B． C． D．多選題5．（全國·高考真題）已知，那么下列命題中成立的是（

）A．若、是第一象限角，則B．若、是第二象限角，則C．若、是第二象限角，則D．若、是第四象限角，則6．（北京·高考真題）、、，從小到大的順序是．7．（2020·浙江·統考高考真題）已知圓錐的側面積（單位：）為2π，且它的側面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是．8．（2023·北京·統考高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為，．最新模考真題一、單選題1．（2023·遼寧·校聯考一模）已知角的終邊上一點的坐標為，則的最小正值為（

）A． B． C． D．2．（2022·河南商丘·校聯考模擬預測）已知條件，條件，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．（2020·福建·校聯考一模）設角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．（2020·四川眉山·統考模擬預測）下列結論中錯誤的是（

）A．若角的終邊過點，則B．若是第二象限角，則為第一或第三象限角C．若扇形的周長為6，半徑為2，則其中心角的大小為1弧度D．若，則5．（2021·福建龍巖·福建省龍巖第一中學校考模擬預測）《擲鐵餅者》取材于希臘的現實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現力的瞬間（如圖）．現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為，肩寬約為，“弓”所在圓的半徑約為，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（參考數據：，）（

）A．1.012m B．1.768m C．2