第11講對數函數（9大考點）考點考點考向一．對數函數的定義【知識點歸納】一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次冪等于N，那么數b叫做以a為底N的對數，記作logaN＝b，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．即ab＝N，logaN＝b．底數則要大于0且不為1．二．對數函數的定義域【知識點歸納】一般地，我們把函數y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是（0，+∞），值域是R．三．對數函數的值域與最值【知識點歸納】一般地，我們把函數y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是（0，+∞），值域是R．定點：函數圖象恒過定點（1，0）四．對數值大小的比較【知識點歸納】1、若兩對數的底數相同，真數不同，則利用對數函數的單調性來比較．2、若兩對數的底數和真數均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進行比較3、若兩對數的底數不同，真數也不同，則利用函數圖象或利用換底公式化為同底的再進行比較．（畫圖的方法：在第一象限內，函數圖象的底數由左到右逐漸增大）五．對數函數的圖象與性質【知識點歸納】六．對數函數的單調性與特殊點【知識點歸納】對數函數的單調性和特殊點：1、對數函數的單調性當a＞1時，y＝logax在（0，+∞）上為增函數當0＜a＜1時，y＝logax在（0，+∞）上為減函數2、特殊點對數函數恒過點（1，0）七．指數函數與對數函數的關系【知識點歸納】指數函數和對數函數的關系：（1）對數函數與指數函數互為反函數，它們的定義域、值域互換，圖象關于直線y＝x對稱．（2）它們都是單調函數，都不具有奇偶性．當a＞l時，它們是增函數；當O＜a＜l時，它們是減函數．（3）指數函數與對數函數的聯系與區別：八．反函數【知識點歸納】【定義】一般地，設函數y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根據這個函數中x，y的關系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若對于y在中的任何一個值，通過x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x＝g（y）就表示y是自變量，x是因變量是y的函數，這樣的函數y＝g（x）（y∈C）叫做函數y＝f（x）（x∈A）的反函數，記作y＝f（﹣1）（x）反函數y＝f（﹣1）（x）的定義域、值域分別是函數y＝f（x）的值域、定義域．【性質】反函數其實就是y＝f（x）中，x和y互換了角色（1）函數f（x）與他的反函數f﹣1（x）圖象關于直線y＝x對稱；函數及其反函數的圖形關于直線y＝x對稱（2）函數存在反函數的重要條件是，函數的定義域與值域是一一映射；（3）一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一致；（4）大部分偶函數不存在反函數（當函數y＝f（x），定義域是{0}且f（x）＝C（其中C是常數），則函數f（x）是偶函數且有反函數，其反函數的定義域是{C}，值域為{0}）．奇函數不一定存在反函數，被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數．若一個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數．（5）一切隱函數具有反函數；（6）一段連續的函數的單調性在對應區間內具有一致性；（7）嚴格增（減）的函數一定有嚴格增（減）的反函數【反函數存在定理】；（8）反函數是相互的且具有唯一性；（9）定義域、值域相反對應法則互逆（三反）；（10）原函數一旦確定，反函數即確定（三定）（在有反函數的情況下，即滿足（2））．九．對數函數圖象與性質的綜合應用【知識點歸納】1、對數函數的圖象與性質：a＞10＜a＜1圖象定義域（0，+∞）值域R定點過點（1，0）單調性在（0，+∞）上是增函數在（0，+∞）上是減函數函數值正負當x＞1時，y＞0；當0＜x＜1，y＜0當x＞1時，y＜0；當0＜x＜1時，y＞02、由對數函數的圖象確定參數的方法已知對數型函數的圖象研究其解析式及解析式中所含參數的取值范圍問題，通常是觀察圖象，獲得函數的單調性、對稱性、奇偶性、經過的特殊點等，由此確定函數解析式以及其中所含參數的取值范圍．【解題方法點撥】1、4種方法﹣﹣解決對數運算問題的方法（1）將真數化為底數（或已知對數的數）的冪的積，再展開；（2）將同底對數的和、差、倍合并；（3）利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用；（4）利用常用對數中的lg2+lg5＝1．2、3個基本點﹣﹣對數函數圖象的三個基本點（1）當a＞1時，對數函數的圖象“上升”；當0＜a＜1時，對數函數的圖象“下降”．（2）對數函數y＝logax（a＞0，且a≠1）的圖象過定點（1，0），且過點（a，1），（，﹣1）函數圖象只在第一、四象限．（3）底數的大小與對數函數的圖象位置之間的關系．3、2個應用﹣﹣對數函數單調性的應用（1）比較對數式的大小：①若底數為同一常數，則可由對數函數的單調性直接進行判斷；若底數為同一字母，需對底數進行分類討論．②若底數不同，真數相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較．③若底數與真數都不同，則常借助1，0等中間量進行比較．（2）解對數不等式：形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．形如logax＞b的不等式，需先將b化為以a為底的對數式的形式．考點精講考點精講一．對數函數的定義（共1小題）1．（2019秋?閔行區校級月考）對數表達式log（x﹣1）（5﹣x）中的x的取值范圍是．二．對數函數的定義域（共4小題）2．（2021秋?長寧區期末）下列四組函數中，定義域相同的一組是（）A．和y＝lgx B．和 C．和y＝lgx D．和3．（2021秋?奉賢區校級期中）函數的定義域是．4．（2021秋?閔行區期末）函數y＝ln（x﹣1）的定義域為．5．（2021秋?金山區期末）函數y＝log2（x﹣3）的定義域為．三．對數函數的值域與最值（共4小題）6．（2022?浦東新區校級開學）函數f（x）＝lg（2x+2﹣x+a﹣1）的值域是R，則實數a的取值范圍是．7．（2020秋?金山區期末）已知函數f（x）＝logax（0＜a＜1）在[2，4]上的最大值比最小值大2，則a的值為．8．（2021秋?普陀區校級期中）若函數y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，則a的取值范圍是．9．（2021春?浦東新區校級月考）已知集合A＝{x|log2（2x）?log2x≤0}．（1）求集合A；（2）求函數y＝42x+1+4x，x∈A的值域．四．對數值大小的比較（共4小題）10．（2020秋?黃浦區校級期末）若log3m＜log3n且logm3＜logn3，則實數m、n滿足的關系式為（）A．0＜m＜n＜1 B．0＜n＜m＜1 C．0＜m＜1＜n D．1＜m＜n11．（2021秋?寶山區校級期中）已知a，b∈R，則下列命題中正確的個數為（）（1）若0＜a＜b＜1，則aa＜bb；（2）若0＜a＜b＜1，則logab＜logba；（3）若a＞b＞1，則ab＜ba．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個12．（2021秋?閔行區校級期中）若正實數a，b，c滿足，則（）A．ca＞ba B．logca＜logba C．logab＞logbc D．ca﹣1＜bc﹣113．（2021秋?浦東新區校級月考）已知函數，，，且f（a）＝g（a），f（b）＝h（b），g（c）＝h（c），則a、b、c的大小關系是（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c五．對數函數的圖象與性質（共8小題）14．（2021秋?靜安區期末）函數y＝x2+|lg（x+）|+1的圖像關于（）對稱A．原點 B．x軸 C．y軸 D．直線y＝x15．（2021秋?長寧區期末）在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝x+a與對數函數y＝logax（a＞0且a≠1）的圖像關系可能是（）A． B． C． D．16．（2021秋?長寧區校級期末）函數f（x）＝log2的圖象（）A．關于原點對稱 B．關于直線y＝﹣x對稱 C．關于y軸對稱 D．關于直線y＝x對稱17．（2022秋?寶山區校級月考）若函數y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域為R，則實數a的取值范圍是．18．（2021秋?浦東新區校級期末）方程lgx+lg（x+3）＝1的解x＝．19．（2021秋?長寧區校級期末）設常數a＞0且a≠1，若函數y＝loga（x+1）在區間[0，1]的最大值為1，最小值為0，求實數a的值．20．（2021春?寶山區期末）設函數f（x）＝logmx（m＞0且m≠1）的圖象經過點（3，1）．（1）解關于x的方程f2（x）+（m﹣1）f（x）+1﹣m2＝0；（2）不等式[1+f（x）]?[a﹣f（x）]＞0的解集是，試求實數a的值．21．（2021秋?金山區校級月考）已知函數f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）．（1）討論函數f（x）的定義域；（2）當a＞1時，解關于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）當a＝2時，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m對任意實數x∈[1，3]恒成立，求實數m的取值范圍．六．對數函數的單調性與特殊點（共5小題）22．（2022春?寶山區校級期末）函數y＝loga（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的圖像恒過定點P，則點P的坐標是．23．（2021秋?浦東新區校級月考）函數y＝2loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的圖像恒過定點P，則點P的坐標為．24．（2021秋?浦東新區校級月考）函數f（x）＝loga（10﹣3x）+9的圖象恒過定點A，且點A在冪函數g（x）的圖象上，則g（8）＝．25．（2021?寶山區校級開學）已知是R上的減函數，則a的取值范圍是．26．（2019秋?浦東新區校級期末）已知函數（m＞0，m≠1）的圖象恒經過與m無關的定點A．（1）求點A的坐標；（2）若偶函數g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]的圖象過點A，求a、b、c的值．七．指數函數與對數函數的關系（共1小題）27．（2021秋?廬陽區校級月考）設2a＝5b＝m，且+＝2，m＝．八．反函數（共7小題）28．（2022?上海自主招生）f（x）＝|x|+2x+1+3x的反函數為g（x），（g（x2））2＝1的根有（）個A．1 B．2 C．3 D．429．（2022?虹口區校級開學）若函數f（x）＝2x﹣7，則f﹣1（1）＝．30．（2022春?寶山區校級期末）已知函數y＝f（x）的解析式為f（x）＝a?2x+b?3x.其中常數a，b滿足a﹣b≠0；（1）若a?b＞0，判斷函數f（x）是否一定存在反函數，并說明理由；（2）若a?b＜0，解不等式f（x+2）＞f（x）．31．（2021秋?浦東新區校級期末）設a∈R，f（x）是定義在R上的奇函數，且．（1）試求f（x）的反函數f﹣1（x）的解析式及f﹣1（x）的定義域；（2）設，若時，f﹣1（x）≤g（x）恒成立，求實數k的取值范圍．32．（2021秋?普陀區校級期末）已知函數y＝f（x）是函數的反函數．（1）求函數y＝f（x）的表達式，寫出定義域D；（2）判斷函數y＝f（x）的單調性，并加以證明．33．（2021秋?寶山區校級期中）已知函數y＝f（x）的反函數為y＝f﹣1（x），且f（x）＝2x．（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）＝1，求實數x的值；（2）若關于x的方程f（x）+f（1﹣x）＝m在區間[0，1]內有解，求實數m的取值范圍．34．（2021春?寶山區校級期末）對于給定的函數y＝f（x），記A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f（f（x））＝x}．（1）若f（x）＝，用列舉法表示集合A、B；（2）若f（x）在其定義域上是增函數，求證：A＝B；（3）若f（x）＝，記函數y＝f（x）的反函數為y＝f﹣1（x），若關于x的方程f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有實數解，求實數a的取值范圍．九．對數函數圖象與性質的綜合應用（共4小題）35．（2021秋?奉賢區校級期中）設f（x）＝|ln（x+1）|，已知f（a）＝f（b）（a＜b），則（）A．a+b＞0 B．a+b＞1 C．2a+b＞0 D．2a+b＞136．（2021秋?金山區校級期中）已知函數f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x（1）如果x∈[1，2]，求函數h（x）＝[f（x）+1]g（x）的值域；（2）求函數M（x）＝的最大值．（3）如果對任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k?g（x）恒成立，求實數k的取值范圍．37．（2021秋?靜安區校級月考）已知x滿足，求的最大值與最小值及相應的x的值．38．（2021秋?黃浦區校級月考）已知函數f（x）＝log4（ax2+2x+3）．（1）若f（1）＝1，求f（x）的單調區間；（2）是否存在實數a，使f（x）的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上海·曹楊二中高一期末）函數與在同一坐標系中的圖像可能是（

）A． B．C． D．2．（2022·上海·同濟大學第二附屬中學高一期末）下列函數中，在區間上為增函數的是（

）A． B． C． D．3．（2022·上海·高一單元測試）給出下列函數：①；②；③；④.其中是對數函數的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2021·上海·高一單元測試）若，則函數的圖象不經過A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2021·上海市金山中學高一階段練習）若，則下列命題中不正確的是（

）A． B． C． D．6．（2022·上海市延安中學高一期末）函數的最小值為（

）A． B． C．0 D．7．（2022·上海虹口·高一期末）已知函數，若函數在上是嚴格減函數，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2022·上海·高一單元測試）已知a、，有以下3個命題：①若，則；②若，則；③若，則．其中真命題的個數是（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個二、填空題9．（2022·上海·高一單元測試）對于任意不等于1的正數，函數的圖像都經過一個定點，這個定點的坐標是_______.10．（2022·上海·同濟大學第二附屬中學高一期末）對數函數（且）的圖象經過點，則此函數的解析式________．11．（2022·上海·高一單元測試）若代數式有意義，則其中實數的取值范圍是________12．（2022·上海市吳淞中學高一期末）函數（且）的圖像恒過定點，則點的坐標是________.13．（2022·上海·高一單元測試）函數的定義域為___________.14．（2021·上海市楊浦高級中學高一期末）函數，的最小值是______________.15．（2021·上海·格致中學高一階段練習）已知函數在區間上的最大值比最小值大，則的值為________.16．（2022·上海閔行·高一期末）如圖，函數的圖象為折線，則不等式的解為___________.17．（2022·上海·曹楊二中高一期末）已知實數x、y滿足，則的最小值為______．18．（2022·上海·高一單元測試）已知函數的定義域是R，則實數a的取值范圍是___．19．（2021·上海·上外浦東附中高一期末）如圖，函數f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．20．（2021·上海·高一單元測試）已知為偶函數，且在上遞減，則________（選填“”或“”）.三、解答題21．（2021·上海·高一專題練習）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．(1)求函數f(x)的定義域、值域；(2)若函數f(x)的最小值為－2，求a的值．22．（2021·上海·華師大二附中高一期末）已知函數．（1）若函數的值域為，求實數的取值范圍；（2）若函數在區間上嚴格增，求實數的取值范圍．23．（2021·上海·高一專題練習）比較下列各組中兩個值的大小：①log31.9，log32；②log23，log0.32；③logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)；④log50.4，log60.4.24．（2022·上海市七寶中學高一開學考試）已知函數，.（1）設集合，求集合A；（2）當時，求的最大值和最小值.25．（2021·上海·高一）設其中，如果時，恒有意義，求的取值范圍.26．（2021·上海·高一）函數對任意的實數、有，且當時有.（1）求證：在上為增函數；（2）若，解不等式27．（2021·上海·曹楊二中高一期末）已知實數