高中數學競賽題解與測試卷姓名_________________________地址_______________________________學號______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------線--------------------------1.請首先在試卷的標封處填寫您的姓名，身份證號和地址名稱。2.請仔細閱讀各種題目，在規定的位置填寫您的答案。一、選擇題1.基礎概念理解

1.下列選項中，若\(a^2=b^2\)，則下列結論正確的是（）

A.\(a=b\)B.\(a=b\)C.\(a=\pmb\)D.\(a=0\)

2.若\(a\)、\(b\)、\(c\)是等差數列，且\(abc=12\)，則\(3a3b3c\)的值是（）

A.36B.18C.24D.30

2.代數運算

1.設\(x\)是實數，若\(x^22x1=0\)，則\(x\)的值為（）

A.1B.1C.2D.2

2.若\(2ab=1\)，\(a2b=3\)，則\(a\)的值為（）

A.5B.2C.4D.3

3.函數與方程

1.下列函數中，有零點的函數是（）

A.\(y=x^21\)B.\(y=x^21\)C.\(y=x1\)D.\(y=x^2x\)

2.若\(y=2x1\)和\(y=\frac{1}{x}\)有兩個交點，則\(x\)的取值范圍是（）

A.\(x0\)B.\(x>0\)C.\(x\neq0\)D.\(x=0\)

4.三角函數

1.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\cos2\alpha\)的值為（）

A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{3}{4}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)

2.若\(\sin\alpha\cos\alpha=\sqrt{2}\)，則\(\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)的值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.平面向量

1.若向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)滿足\(\vec{a}\vec{b}=\vec{0}\)，則\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的關系是（）

A.\(\vec{a}=\vec{b}\)B.\(\vec{a}=\vec{b}\)C.\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)不可能相等D.\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)不可能垂直

2.設向量\(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\)，\(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值為（）

A.1B.2C.3D.5

6.解析幾何

1.在平面直角坐標系中，若點\(A(2,3)\)和\(B(3,1)\)的中點坐標為\((x,y)\)，則\((x,y)\)的值為（）

A.\((1,2)\)B.\((1,3)\)C.\((1,2)\)D.\((1,3)\)

2.已知直線\(l\)的方程為\(2x3y=6\)，若直線\(m\)垂直于\(l\)，且過點\(P(1,2)\)，則直線\(m\)的方程是（）

A.\(3x2y=1\)B.\(3x2y=1\)C.\(2x3y=1\)D.\(2x3y=1\)

7.概率與統計

1.若甲、乙兩人進行乒乓球比賽，已知甲勝的概率為\(0.6\)，乙勝的概率為\(0.4\)，則甲、乙兩人比賽一場，甲勝乙負的概率是（）

A.\(0.2\)B.\(0.4\)C.\(0.6\)D.\(0.8\)

2.在一組數據中，若平均數是\(10\)，眾數是\(5\)，中位數是\(7\)，則下列選項中不可能的數據組是（）

A.\(1,3,5,7,9\)B.\(1,2,5,6,10\)C.\(2,4,5,6,8\)D.\(3,5,7,8,10\)

8.立體幾何

1.若正方體的邊長為\(a\)，則它的表面積是（）

A.\(2a^2\)B.\(3a^2\)C.\(4a^2\)D.\(5a^2\)

2.若一個球體的半徑為\(r\)，則它的體積是（）

A.\(\frac{4}{3}\pir^3\)B.\(2\pir^3\)C.\(\pir^3\)D.\(\frac{1}{3}\pir^3\)

答案及解題思路：

1.基礎概念理解

1.C.\(a=\pmb\)

解題思路：平方根的定義是正數的平方根是正數，故\(a\)的值可以是\(b\)的值也可以是\(b\)的值。

2.A.36

解題思路：根據等差數列的性質，\(3a3b3c=3(abc)=3\times12=36\)。

2.代數運算

1.A.1

解題思路：平方的定義是\(a^2=a\timesa\)，故\(x=1\)。

2.A.5

解題思路：根據二元一次方程組的解法，將第一個方程兩邊同時乘以2，然后相減得到\(a=5\)。

3.函數與方程

1.D.\(y=x^2x\)

解題思路：零點是函數圖像與\(x\)軸的交點，故當\(y=0\)時，\(x^2x=0\)，解得\(x=0\)或\(x=1\)。

2.C.\(x\neq0\)

解題思路：函數的定義域是函數\(y=2x1\)和\(y=\frac{1}{x}\)的定義域的交集，即\(x\neq0\)。

4.三角函數

1.B.\(\frac{3}{4}\)

解題思路：三角函數的性質是\(\sin^2\alpha\cos^2\alpha=1\)，代入\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，得到\(\cos2\alpha=12\sin^2\alpha=\frac{3}{4}\)。

2.A.1

解題思路：三角函數的性質是\(\sin^2\alpha\cos^2\alpha=1\)，代入\(\sin\alpha\cos\alpha=\sqrt{2}\)，得到\(\sin^2\alpha\cos^2\alpha2\sin\alpha\cos\alpha=2\)，化簡得\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，故\(\sin^2\alpha\cos^2\alpha=1\)。

5.平面向量

1.A.\(\vec{a}=\vec{b}\)

解題思路：向量加減法可知，當兩個向量相等時，它們的和為零向量，故\(\vec{a}=\vec{b}\)。

2.B.\(3x2y=1\)

解題思路：向量的垂直性質是兩個向量的點積為零向量，故\(2\times13\times(1)=0\)，得到\(3x2y=1\)。

6.解析幾何

1.A.\((1,2)\)

解題思路：根據中點公式，點\(A(2,3)\)和\(B(3,1)\)的中點坐標為\(\left(\frac{23}{2},\frac{31}{2}\right)=(1,2)\)。

2.A.\(3x2y=1\)

解題思路：垂直的直線的斜率是它們的斜率的負倒數，故直線\(m\)的斜率為\(\frac{2}{3}\)，過點\(P(1,2)\)，代入直線方程得到\(3x2y=1\)。

7.概率與統計

1.B.\(0.4\)

解題思路：根據概率的乘法法則，甲勝的概率為\(0.6\)，乙勝的概率為\(0.4\)，故甲勝乙負的概率為\(0.6\times0.4=0.24\)。

2.C.\(2,4,5,6,8\)

解題思路：眾數是一組數據中出現次數最多的數值，故\(5\)是眾數。平均數是所有數值的和除以數值的個數，故平均數為\(\frac{24568}{5}=5\)。中位數是將一組數據從小到大排列后，位于中間位置的數值，故中位數為\(5\)。

8.立體幾何

1.B.\(3a^2\)

解題思路：正方體的表面積是六個面的面積之和，故表面積為\(6a^2\)。

2.A.\(\frac{4}{3}\pir^3\)

解題思路：球體的體積公式為\(\frac{4}{3}\pir^3\)。二、填空題1.代數式求值

(1)若\(x^23x2=0\)，則\(x^33x^22x=\)_________。

(2)若\(a^2b^2=5\)，\(ab=2\)，則\(a^4b^4=\)_________。

2.函數性質

(1)函數\(f(x)=x^33x\)的對稱中心為_________。

(2)函數\(g(x)=\frac{1}{x}\)的反函數為_________。

3.三角恒等變換

(1)若\(\sinA=\frac{3}{5}\)，\(\cosA=\frac{4}{5}\)，則\(\tanA=\)_________。

(2)若\(\cos2A=\frac{3}{4}\)，則\(\sinA=\)_________。

4.向量運算

(1)若\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)_________。

(2)若\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，則\(\vec{a}\times\vec{b}=\)_________。

5.解析幾何計算

(1)點\(P(2,3)\)到直線\(2x3y6=0\)的距離為_________。

(2)線段\(AB\)的長度為\(10\)，其中點\(A(2,3)\)，點\(B(2,3)\)，則線段\(AB\)的中點坐標為_________。

6.概率計算

(1)從\(1,2,3,4,5\)中隨機選取一個數，事件“選取的數為偶數”的概率為_________。

(2)若\(A\)和\(B\)是兩個事件，且\(P(A)=\frac{1}{3}\)，\(P(B)=\frac{1}{2}\)，\(P(A\capB)=\frac{1}{6}\)，則\(P(A\cupB)=\)_________。

7.立體幾何計算

(1)若一個正方體的邊長為\(2\)，則其對角線的長度為_________。

(2)若一個圓錐的底面半徑為\(r\)，高為\(h\)，則其體積為_________。

8.概率與統計應用的

(1)某班級有\(30\)名學生，其中有\(18\)名男生，\(12\)名女生。隨機選取一名學生，事件“選取的學生是女生”的概率為_________。

(2)若某班級\(50\)名學生中，\(35\)名學生的數學成績在\(80\)分以上，\(15\)名學生的數學成績在\(60\)分以下，則該班級數學成績的平均分為_________。

答案及解題思路：

1.代數式求值

(1)\(x^33x^22x=x(x^23x2)=x\cdot0=0\)

(2)\(a^4b^4=(a^2)^2(b^2)^2=(a^2b^2)^22a^2b^2=5^22\cdot2^2=21\)

2.函數性質

(1)函數\(f(x)=x^33x\)的對稱中心為原點\((0,0)\)

(2)函數\(g(x)=\frac{1}{x}\)的反函數為\(y=x\)

3.三角恒等變換

(1)\(\tanA=\frac{\sinA}{\cosA}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\)

(2)\(\sinA=\sqrt{1\cos^22A}=\sqrt{1\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)

4.向量運算

(1)\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot32\cdot4=11\)

(2)\(\vec{a}\times\vec{b}=(2\cdot43\cdot2,3\cdot31\cdot1)=(5,8)\)

5.解析幾何計算

(1)點\(P(2,3)\)到直線\(2x3y6=0\)的距離為\(\frac{2\cdot23\cdot36}{\sqrt{2^23^2}}=\frac{5}{\sqrt{13}}\)

(2)線段\(AB\)的中點坐標為\(\left(\frac{2(2)}{2},\frac{3(3)}{2}\right)=(0,0)\)

6.概率計算

(1)事件“選取的數為偶數”的概率為\(\frac{2}{5}\)

(2)\(P(A\cupB)=P(A)P(B)P(A\capB)=\frac{1}{3}\frac{1}{2}\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\)

7.立體幾何計算

(1)正方體的對角線長度為\(\sqrt{2^22^22^2}=2\sqrt{3}\)

(2)圓錐的體積為\(\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot1^2\cdoth=\frac{\pih}{3}\)

8.概率與統計應用的

(1)事件“選取的學生是女生”的概率為\(\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\)

(2)該班級數學成績的平均分為\(\frac{35\cdot8015\cdot60}{50}=70\)三、解答題1.一元二次方程

（1）題目：

已知一元二次方程\(ax^2bxc=0\)（\(a\neq0\)）的判別式\(b^24ac=0\)，求證：該方程有兩個相等的實數根。

（2）題目：

若\(x^25x6=0\)的兩個根\(x_1\)和\(x_2\)分別是方程\(t^2(x_1x_2)tx_1x_2=0\)的一個根，求實數\(t\)的值。

2.函數圖像分析

（1）題目：

給定函數\(f(x)=ax^2bxc\)的圖像是一個開口向上的拋物線，且頂點坐標為\((1,2)\)。求函數\(f(x)\)的表達式。

（2）題目：

分析函數\(g(x)=\sqrt{4x^2}\)的圖像，并求出函數\(g(x)\)的定義域、值域以及圖像所圍成的圖形的面積。

3.解三角形

（1）題目：

在三角形\(ABC\)中，已知\(A(2,0)\)，\(B(0,3)\)，\(C\)點在直線\(xy=5\)上，求\(BC\)邊的長。

（2）題目：

在\(\triangleABC\)中，\(AB=5\)，\(AC=4\)，\(\angleA=45^\circ\)，求\(\triangleABC\)的面積。

4.向量應用題

（1）題目：

已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)和\(\vec{b}=(1,4)\)，求向量\(\vec{a}\vec{b}\)的坐標。

（2）題目：

在平行四邊形\(ABCD\)中，已知\(AB=4\)，\(AD=3\)，\(AB\)與\(AD\)的夾角為\(60^\circ\)，求\(BD\)的長度。

5.解析幾何綜合題

（1）題目：

在坐標系中，點\(P(2,3)\)關于直線\(x2y=1\)對稱的點\(Q\)的坐標。

（2）題目：

設橢圓\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)，且通過點\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，求橢圓的標準方程。

6.概率與統計綜合題

（1）題目：

某班有30名學生，其中男生18名，女生12名。從該班隨機選取5名學生，求選取到3名男生和2名女生的概率。

（2）題目：

甲、乙、丙三人參加比賽，已知甲獲得第一名的概率為0.5，乙獲得第一名的概率為0.3，丙獲得第一名的概率為0.2。求比賽結束后，第一名的概率分布列。

7.立體幾何綜合題

（1）題目：

已知長方體\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=4\)，\(BB_1=3\)，\(AA_1=2\)。求長方體的體積。

（2）題目：

在一個三棱錐\(PABC\)中，已知底面\(ABC\)是等邊三角形，邊長為2，側棱\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)的長分別為3、4、5。求三棱錐\(PABC\)的體積。

8.混合題型綜合題

（1）題目：

設\(f(x)=x^33x\)，求\(f(x)\)在區間\([0,2]\)上的極值。

（2）題目：

在平面直角坐標系中，點\(A\)和\(B\)分別在\(y\)軸和\(x\)軸上，且\(OA=3\)，\(OB=4\)，\(AB\)的中點為\(M\)。求\(M\)點的坐標。

答案及解題思路：

（1）一元二次方程：

解題思路：利用判別式\(b^24ac=0\)，得出\(x_1=x_2=\frac{b}{2a}\)。

（2）函數圖像分析：

解題思路：根據拋物線頂點公式，得出\(f(x)=a(x1)^22\)。

（3）解三角形：

解題思路：使用距離公式求\(BC\)邊長，應用勾股定理求解。

（4）向量應用題：

解題思路：向量坐標運算，求向量的坐標。

（5）解析幾何綜合題：

解題思路：根據對稱性質和橢圓定義求解。

（6）概率與統計綜合題：

解題思路：使用組合數和概率乘法公式計算。

（7）立體幾何綜合題：

解題思路：利用長方體體積公式和三棱錐體積公式計算。

（8）混合題型綜合題：

解題思路：一元三次函數極值求解，點坐標計算。四、證明題1.代數恒等式證明

題目：

已知\(a^2b^2=1\)，證明\((ab)^46(ab)^29=0\)。

解題思路：

（1）展開\((ab)^4\)；

（2）利用\(a^2b^2=1\)消去\((ab)^2\)項；

（3）化簡得到結果。

2.三角恒等式證明

題目：

證明\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)。

解題思路：

（1）使用正弦的和角公式：\(\sin(AB)=\sinA\cosB\cosA\sinB\)；

（2）令\(A=B=\theta\)，代入公式進行計算；

（3）得到\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)。

3.向量性質證明

題目：

已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)滿足\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，證明\(\vec{a}\vec{b}\)的長度等于\(\sqrt{\vec{a}^2\vec{b}^2}\)。

解題思路：

（1）使用向量點積的模長公式：\(\vec{a}\vec{b}^2=(\vec{a}\vec{b})\cdot(\vec{a}\vec{b})\)；

（2）代入\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)和向量的模長公式，化簡計算；

（3）得到\(\vec{a}\vec{b}^2=\vec{a}^2\vec{b}^2\)。

4.解析幾何證明題

題目：

在直角坐標系中，證明圓\(x^2y^2=4\)關于直線\(y=x\)對稱。

解題思路：

（1）證明圓心在直線\(y=x\)上；

（2）證明對于圓上任意一點，其關于直線\(y=x\)的對稱點也在圓上；

（3）由以上兩點得到結論。

5.概率與統計證明題

題目：

從0到10的整數中隨機選取一個數，證明選取到奇數的概率與選取到偶數的概率相等。

解題思路：

（1）計算奇數和偶數的個數；

（2）使用概率公式，計算兩種情況的概率；

（3）比較兩種情況的概率，得出結論。

6.立體幾何證明題

題目：

證明在四面體\(ABCD\)中，若\(AB\)和\(CD\)是兩條相交的對角線，則\(ABCD\)是等體積四面體。

解題思路：

（1）利用等體積公式：\(V=\frac{1}{3}S\cdoth\)，其中\(S\)為底面積，\(h\)為高；

（2）計算四面體\(ABCD\)的底面積和高；

（3）利用公式計算四面體\(ABCD\)的體積；

（4）計算另外兩個面的底面積和高，并驗證等體積條件。

7.綜合證明題

題目：

已知函數\(f(x)=\sqrt{4x1}\)的定義域為\([1,\infty)\)，證明函數\(f(x)\)在定義域內是增函數。

解題思路：

（1）證明\(f'(x)>0\)；

（2）由\(f'(x)>0\)得到函數\(f(x)\)在定義域內單調遞增；

（3）結合函數定義域，得出結論。

8.高級證明題

題目：

已知實數\(a\)、\(b\)、\(c\)滿足\(abc=0\)，證明\(abc>0\)。

解題思路：

（1）考慮\(a\)、\(b\)、\(c\)的符號情況；

（2）利用反證法，假設\(abc\leq0\)，分析矛盾點；

（3）得出\(abc>0\)的結論。

答案及解題思路：

1.答案：\((ab)^46(ab)^29=(ab3)^2=0\)。解題思路：展開\((ab)^4\)，利用\(a^2b^2=1\)消去\((ab)^2\)項，化簡得到結果。

2.答案：\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)。解題思路：使用正弦的和角公式，令\(A=B=\theta\)，代入公式進行計算。

3.答案：\(\vec{a}\vec{b}^2=\vec{a}^2\vec{b}^2\)。解題思路：使用向量點積的模長公式，代入\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)和向量的模長公式，化簡計算。

4.答案：圓\(x^2y^2=4\)關于直線\(y=x\)對稱。解題思路：證明圓心在直線\(y=x\)上，證明對于圓上任意一點，其關于直線\(y=x\)的對稱點也在圓上。

5.答案：選取到奇數的概率與選取到偶數的概率相等。解題思路：計算奇數和偶數的個數，使用概率公式計算兩種情況的概率，比較兩種情況的概率。

6.答案：\(abc>0\)。解題思路：考慮\(a\)、\(b\)、\(c\)的符號情況，使用反證法，假設\(abc\leq0\)，分析矛盾點，得出\(abc>0\)的結論。五、應用題1.代數應用題

(1)設函數\(f(x)=ax^2bxc\)，其中\(a\neq0\)。若\(f(1)=5\)且\(f(2)=9\)，求\(a\)和\(b\)的值。

2.函數應用題

(2)設\(y=\frac{1}{x}\)，若\(xy=3\)，求\(x\)和\(y\)的值。

3.三角函數應用題

(3)在直角三角形\(ABC\)中，\(\angleA=30^\circ\)，\(\angleB=60^\circ\)，\(\angleC=90^\circ\)。若\(BC=10\)，求\(AC\)和\(AB\)的長度。

4.向量應用題

(4)已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)和\(\vec{b}=(4,1)\)，求向量\(\vec{a}\vec{b}\)的坐標。

5.解析幾何應用題

(5)在平面直角坐標系中，點\(A(2,3)\)和點\(B(5,1)\)在直線\(y=kxb\)上。求直線\(AB\)的方程。

6.概率與統計應用題

(6)一個袋子里有5個紅球和7個藍球，隨機取出兩個球，求取出的兩個球顏色相同的概率。

7.立體幾何應用題

(7)正方體的一個面對角線長為\(\sqrt{10}\)，求正方體的體積。

8.混合應用題

(8)一個長方體的長、寬、高分別為\(x\)，\(y\)，\(z\)，且\(xyz=10\)，\(xyyzzx=20\)，求長方體的體積\(xyz\)。

答案及解題思路：

1.代數應用題

答案：\(a=2\)，\(b=1\)。

解題思路：根據\(f(1)=5\)和\(f(2)=9\)建立方程組，解得\(a\)和\(b\)。

2.函數應用題

答案：\(x=2\)，\(y=1\)。

解題思路：將\(y=\frac{1}{x}\)代入\(xy=3\)中，解得\(x\)和\(y\)。

3.三角函數應用題

答案：\(AC=5\sqrt{3}\)，\(AB=10\)。

解題思路：利用三角函數關系和勾股定理求解。

4.向量應用題

答案：\(\vec{a}\vec{b}=(6,2)\)。

解題思路：向量加法，將對應坐標相加。

5.解析幾何應用題

答案：直線\(AB\)的方程為\(y=\frac{1}{3}x\frac{5}{3}\)。

解題思路：利用兩點式直線方程求解。

6.概率與統計應用題

答案：概率為\(\frac{19}{36}\)。

解題思路：組合概率計算，分情況討論。

7.立體幾何應用題

答案：體積為\(20\)。

解題思路：利用長方體體積公式和已知條件求解。

8.混合應用題

答案：體積\(xyz=8\)。

解題思路：利用代數方法和已知條件求解。六、綜合題1.綜合一元二次方程與函數

題目：

已知一元二次方程ax^2bxc=0（a≠0），若方程有兩個不同的實數根，證明：判別式Δ=b^24ac大于0的充分必要條件是：方程的根之積小于0。

答案：

證明：

（1）充分性：假設Δ>0，則有b^24ac>0。

根據一元二次方程的求根公式，有

x_1,x_2=(b±√Δ)/(2a)。

由于Δ>0，所以√Δ存在，且x_1≠x_2。

則x_1x_2=c/a0。

因此，若Δ>0，則方程的根之積小于0，充分性得證。

（2）必要性：假設方程的根之積小于0，即x_1x_20。

由于x_1≠x_2，那么x_1,x_2中有一個為正，另一個為負。

根據一元二次方程的求根公式，有

x_1x_2=b/a（根的和），

x_1x_2=c/a（根之積）。

因此，b^2/a^2>4c/a^2（由于c0）。

則Δ=b^24ac>0，必要性得證。

判別式Δ>0的充分必要條件是方程的根之積小于0。

2.綜合三角函數與解析幾何

題目：

已知A、B、C為等邊三角形的頂點，點D在邊AB上，且滿足AD:DB=3:2，求點D的坐標（以B為原點，BC為x軸建立平面直角坐標系）。

答案：

以B為原點，BC為x軸建立平面直角坐標系。

設AB=AC=BC=2s，那么A、C兩點坐標分別為A（s,√3s），C（s，0）。

由于AD:DB=3:2，設點D坐標為（x，0），則

(xs)/(2sx)=3/2。

解得x=6s/5，所以D點坐標為D（6s/5，0）。

點D的坐標為（6s/5，0）。

3.綜合向量與立體幾何

題目：

在空間直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為A（1，2，3），B（4，5，6），C（7，8，9）。求證：直線AB和直線AC垂直。

答案：

證明：

設向量AB=(a1,a2,a3)，向量AC=(c1,c2,c3)。

由已知，可得AB=(41,52,63)=(3,3,3)，AC=(71,82,93)=(6,6,6)。

計算向量的點積得：

AB·AC=(3×6)(3×6)(3×6)=363636=108≠0。

因此，向量AB和向量AC垂直，所以直線AB和直線AC垂直。

直線AB和直線AC垂直。

4.綜合概率與統計

題目：

某城市有10個區域，其中有6個區域的空氣質量合格，4個區域的空氣質量不合格。現從中隨機選取3個區域，求所選取的3個區域中空氣質量合格的區域數為2的概率。

答案：

根據組合公式，可知從10個區域中隨機選取3個區域的方法共有C(10,3)種。

要使選取的3個區域中有2個合格區域，先從6個合格區域中選取2個區域，共有C(6,2)種；然后從剩下的4個不合格區域中選取1個區域，共有C(4,1)種。

所以，選取的3個區域中有2個合格區域的方法共有C(6,2)×C(4,1)種。

因此，所選取的3個區域中空氣質量合格的區域數為2的概率為：

P=C(6,2)×C(4,1)/C(10,3)=15/30=1/2。

所選取的3個區域中空氣質量合格的區域數為2的概率為1/2。

5.綜合幾何與函數

題目：

設函數f(x)=2x^33x^2x1。求函數f(x)的單調增區間。

答案：

求函數f(x)的導數：

f'(x)=6x^26x1。

令f'(x)>0，可得：

6x^26x1>0。

由于6x^26x1的判別式Δ=6^24×6×1=120，所以二次方程無實根。

由于二次函數的系數a=6>0，開口向上，因此f'(x)在實數范圍內始終大于0。

函數f(x)的單調增區間為(∞,∞)。

6.綜合幾何與代數

題目：

已知函數f(x)=x^24x6，設P為直線y=kx1與函數圖像的交點。求直線y=kx1恒過定點P的條件。

答案：

設點P的坐標為(x0，y0)。

由于P在函數圖像上，因此有：

y0=x0^24x06。

又因為P在直線y=kx1上，因此有：

y0=kx01。

將上面兩個式子相等，可得：

x0^24x06=kx01。

整理得：

x0^2(4k)x07=0。

由于直線y=kx1恒過定點P，所以該二次方程有且僅有一個解。

根據二次方程的判別式Δ=b^24ac=(4k)^24×1×(7)=168kk^228=k^28k44，可得Δ=0。

解得k^28k44=0。

由求根公式得：

k=[8±√(8^24×44)]/2=[8±√(144)]/2。

由于根號內為負數，所以不存在實數解，即不存在符合條件的k值。

直線y=kx1恒過定點P的條件是不存在符合條件的k值。

7.綜合幾何與向量

題目：

在平面直角坐標系中，A（0，3）、B（4，0）為直角坐標系的兩個定點，向量v=(3，1)。若點P在直線AB上，且滿足向量AP與向量BP的夾角θ滿足sinθ=1/2。求點P的坐標。

答案：

以A（0，3）為原點，AB為x軸建立平面直角坐標系。

設點P的坐標為（x，0），因為P在直線AB上，所以x的取值范圍是[0,4]。

向量AP=PA=(x,3)，向量BP=PB=(4x,0)。

計算向量AP與向量BP的夾角的正弦值：

sinθ=(AP·BP)/(AP×BP)。

將AP和BP的坐標代入得：

sinθ=[(x×(4x))(3×0)]/[√(x^2(3)^2)×√((4x)^20^2)]=[4xx^2]/[√(x^29)×√((4x)^2)]。

由于sinθ=1/2，可得：

1/2=[4xx^2]/[√(x^29)×√((4x)^2)]。

兩邊平方，得：

1/4=(4xx^2)^2/[(x^29)×(4x)^2]。

解得x=1，或x=3（舍去，因為x=3不在取值范圍內）。

所以，點P的坐標為P（1，0）。

8.高級綜合題

題目：

在平面直角坐標系中，拋物線C：y=x^24x3，直線L：y=kxb。求直線L與拋物線C交點的個數，并證明當直線L與拋物線C相切時，直線L經過定點。

答案：

證明：

聯立方程組：

{y=x^24x3，y=kxb}。

消去y，得：

kxb=x^24x3。

整理得：

x^2(k4)xb3=0。

當直線L與拋物線C相切時，判別式Δ=(k4)^24(b3)=0。

展開得：

k^28k164b12=0。

即：

k^28k4b4=0。

由二次函數的性質知，k^28k164b12=0表示拋物線y=(k4)^24b12在x軸上有一個交點，該交點的橫坐標為x=2，縱坐標為y=0。

因此，直線L與拋物線C相切時，直線L的方程可以表示為y=kxb的形式，并且經過點（2，0）。

當直線L與拋物線C相切時，直線L經過定點（2，0）。七、創新題1.創新代數題

(1)設\(a,b\)是實數，且\(ab=1\)，證明：\((a^2b^2)^2=2(a^4b^4)\)。

(2)若\(f(x)=2x^24x5\)，求函數\(f(x)\)的對稱軸。

2.創新函數題

(1)若\(f(x)=\frac{x^33x1}{x^22x3}\)，求\(f(x)\)的定義域。

(2)設\(f(x)=\frac{a}{x}b\)，若\(f(x)\)是奇函數，求\(a\)和\(b\)的值。

3.創新三角函數題

(1)已知\(\cosA\cosB=\frac{1}{2}\)，\(\sinA\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，求\(\cos(AB)\)的值。

(2)若\(\tanA\tanB=1\)，\(\tanA\cdot\tanB=1\)，求\(\tan(2AB)\)的值。

4.創新向量題

(1)若\(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\)，\(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\)，求\(\vec{a}\vec{b}\)的模。

(2)若\(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\)，\(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值。

5.創新解析幾何題

(1)求直線\(3x4y12=0\)與圓\((x1)^2(y2)^2=4\)的交點。

(2)設\(A(1,2)\)，\(B(2,1)\)，求直線\(AB\)的斜率和截距。

6.創新概率與統計題

(1)從1、2、3、4、5中隨機抽取兩個數，求這兩個數的和為偶數的概率。

(2)設\(X\)是取值為1、2、3、4的離散型隨機變量，其概率分布列為\(P(X=1)=\frac{1}{4}\)，\(P(X=2)=\frac{1}{2}\)，\(P(X=3)=\frac{1}{4}\)，\(P(X=4)=\frac{1}{4}\)，求\(E(X)\)和\(D(X)\)。

7.創新立體幾何題

(1)在正方體\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)中，求\(A_1B_1\)的長。

(2)設\(ABCD\)是菱形，\(A_1B_1C_1D_1\)是過\(AB\)的平行四邊形，求\(\angleA_1AB\)的度數。

8.高級創新題

(1)設\(f(x)=x^33x1\)，求\(f(x)\)的極值。

(2)設\(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)，\(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\)，求\(\vec{a}\times\vec{b}\)的模。

答案及解題思路：

1.創新代數題

(1)證明：左邊\(=(a^2b^2)^2=a^42a^2b^2b^4\)，右邊\(=2(a