小專題03：線段和差問題考點：線段和差問題題型一：一般全等三角形中的線段和差例1．如圖，，，于點，且，請證明：．【答案】見詳解【詳解】證明：，，，在和中，，，，，【練習1】如圖，已知，，，．求證：．【答案】見詳解【詳解】證明：如圖，，，，，（同角的余角相等），在與中，，，，，，即．題型二：含有角平分線的三角形中的線段和差例2．已知，平分．（1）在圖1中，若，求證：；（2）在圖2中，若，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】見詳解【詳解】解：（1）在中，，中，，，．（2）（1）中的結論成立，理由如下：如圖2，在上截取，連接，，是等邊三角形，，，，，在和中，，為等邊三角形，，，．【練習2】如圖，，和的角平分線相交于，過的直線分別交，于兩點．（1）判斷與的位置關系．并說明理由：（2）求證：【答案】見詳解【詳解】解：（1），理由：，，和的角平分線相交于，，，，，；（2）在上截取，連接，如圖所示：在和中，，，，，，，，在和中，，，，，即．題型三：“半角模型”中的線段和差例3．問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，分別是，上的點，且，探究圖中線段，，之間的數量關系，小王同學探究此問題的方法是，延長到點．使．連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論應是；探索延伸：如圖2，若在四邊形中，，，，分別是，上的點，且，上述結論是否仍然成立，并說明理由；實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以70海里小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東的方向以90海里小時的速度，前進2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達，處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】見詳解【詳解】解：問題背景：由題意：，，，，．故答案為：．探索延伸：仍然成立．理由：如圖2，延長到點，使，連接，，，又，在和中，，，，，又，，，．在和中，，，，又，．實際應用：如圖3，連接，延長，相交于點，在四邊形中，，，又，，符合探索延伸中的條件，結論成立．即，（海里）答：此時兩艦艇之間的距離為320海里．【練習3】閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：從正方形的一個頂點引出夾角為的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點構成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個幾何結論，例如：如圖1，在正方形中，以為頂點的，、與、邊分別交于、兩點．易證得．大致證明思路：如圖2，將繞點順時針旋轉，得到，由可得、、三點共線，，進而可證明，故．任務：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點的，、與、邊分別交于、兩點．請參照閱讀材料中的解題方法，你認為結論是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．【答案】見詳解【詳解】解：成立．證明：將繞點順時針旋轉得到，，，，，，，、、三點共線，，，，，，，．1．如圖，，直線經過點，，，垂足分別為、，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】見詳解【詳解】證明：（1）直線，直線，，在和中，，，，，；（2）由（1）得：，，，，．2．如圖，，和的平分線相交于，過的直線分別交、于、兩點．求證：．【答案】見詳解【詳解】證明：在線段上取，連接，是的角平分線，，，，，，由又可得，，又，，是的平分線，，又，，，，．3．如圖所示，，，平分，且點是的中點，試探求、與的數量關系，并說明你的理由．【答案】見詳解【詳解】解：，理由是：過作于，平分，，在與中，，，，同理可得：，，，．4．如圖1，在中，，是等腰直角三角形，過點在外作直線，于點，于點．（1）求證：．（2）如圖2，若過點在內作直線，于點，于點，則猜想、與之間有什么關系？請直接寫出結論，并寫出圖2中的全等三角形．【答案】見詳解【詳解】證明：（1），，，，，是等腰直角三角形，，在和中，，（2），，，，，，，在和中，，，，，，；圖2中的全等三角形是．5．我們可以通過類比聯想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整原題：如圖1，點、分別在正方形的邊、上，，連接，則，試說明理由．（1）思路梳理，把繞點逆時針旋轉至，可使與重合．，，點、、共線．根據，易證，得．（2）類比引申如圖2，四邊形中，，，點、分別在邊、上，．若、都不是直角，則當與滿足等量關系時，仍有．（3）聯想拓展如圖3，在中，，，點、均在邊上，且．猜想、、應滿足的等量關系，并寫出推理過程．【答案】見詳解【詳解】解：（1）思路梳理，把繞點逆時針旋轉至，可使與重合，如圖1，，，點、、共線，則，，，，即，在和中，，，；故答案為：；；（2）類比引申時，；理由如下：，把繞點逆時針旋轉至，可使與重合，如