““深窺自己的心，而后發(fā)覺一切的奇跡在你自己。”“Deepglimpseoftheirheart,andthenfindallthemiraclesinyourself.”2023-2024學年六年級數(shù)學下冊典型例題系列期中復(fù)習專題三：比與比例—比例綜合篇【四大篇目】專題解讀本專題是期中復(fù)習專題三：比與比例—比例綜合篇。本部分內(nèi)容包括比例的意義、基本性質(zhì)、解比例，正比例和反比例的意義及應(yīng)用，比例尺及圖形的放大與縮小等，該部分根據(jù)篇目進行分類，每個篇目又包含多個常考考點，建議作為期中復(fù)習核心內(nèi)容進行講解，一共劃分為四個篇目，歡迎使用。目錄導(dǎo)航TOC\o"1-1"\h\u【第一篇】比例的意義和基本性質(zhì)【知識總覽】 4【考點一】比例的意義 4【考點二】比例的基本性質(zhì) 8【考點三】比例式變形 9【考點四】解比例 10【第二篇】比例尺和圖形的變化【知識總覽】 12【考點一】比例尺的意義與改寫 12【考點二】比例尺的基本關(guān)系問題 14【考點三】比例尺與作圖 16【考點四】比例尺與行程問題 22【考點五】比例尺與分段計價問題 24【考點六】比例尺與面積問題 27【第三篇】正比例和反比例【知識總覽】 29【考點一】正比例與反比例的意義 29【考點二】比例關(guān)系的判斷 31【考點三】正比例與反比例的圖像 32【考點四】繪制正比例與反比例的圖像 34【第四篇】比例的應(yīng)用【知識總覽】 40【考點一】物高與影長問題 40【考點二】正比例的實際應(yīng)用與四大問題 41【考點三】反比例的實際應(yīng)用與三大問題 43【考點四】比例與不變量問題 45【第一篇】比例的意義和基本性質(zhì)【知識總覽】一、比例的意義和基本性質(zhì)。1.表示兩個比相等的式子叫做比例，用字母表示是a:b=c:d或ab=c2.判斷兩個比能不能組成比例，關(guān)鍵要看它們的比值是否相等，若比值相等，則能組成比例；若比值不相等，則不能組成比例。3.組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。4.比例中，兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項。5.在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，這叫做比例的基本性質(zhì)。用字母表示，如果a:b=c:d（a、b、c、d均不為0），那么ad=bc。6.先假設(shè)兩個比能組成比例，再分別算出它們內(nèi)、外項的積，如果內(nèi)、外項的積相等，則能組成比例；如果內(nèi)、外項的積不相等，則不能組成比例。二、解比例。1.列比例式的關(guān)鍵是找到對應(yīng)關(guān)系的兩個比，解比例的依據(jù)是比例的基本性質(zhì)。2.根據(jù)比例的基本性質(zhì)解比例，先把比例轉(zhuǎn)化為兩個外項的積與兩個內(nèi)項的積相等的形式，即以前學過的方程，再通過解方程求出未知數(shù)的值。【考點一】比例的意義。【典型例題】1.下面式子中，()是比例。A．∶4＝1∶20 B．16∶4＝4 C．3∶5＝5∶3 D．7∶2＝∶【答案】A【分析】表示兩個比相等的式子叫做比例。根據(jù)比例的意義可知，比值相等的兩個比可以組成比例。【詳解】A．∶4＝÷4＝×＝1∶20＝1÷20＝＝，所以∶4＝1∶20，是比例；B．16∶4＝4是一個等式，不是比例；C．3∶5＝3÷5＝5∶3＝5÷3＝≠，所以3∶5＝5∶3不是比例；D．7∶2＝7÷2＝∶＝÷＝×2＝≠，所以7∶2＝∶不是比例。故答案為：A2.寫出比值是9的兩個比，并組成一個比例：()。【答案】9∶1＝18∶2【分析】比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例。根據(jù)比例的意義可知，比值相等的兩個比可以組成比例。【詳解】9∶1＝9÷1＝918∶2＝18÷2＝9組成比例：9∶1＝18∶2。（答案不唯一）3.在一個比例里，兩個外項分別是5和6，比值是，這個比例是()或()。【答案】5∶15＝2∶66∶18＝∶5【分析】表示兩個比相等的式子叫做比例，兩個外項分別是5和6，組成這個比例的兩個比中，前一個比缺少后項，后一個比缺少前項，根據(jù)“后項＝前項÷比值”“前項＝后項×比值”分別求出比例的內(nèi)項，最后寫出比例，據(jù)此解答。【詳解】情況一：5為前一個比的前項，6為后一個比的后項。5÷＝5×3＝156×＝2則這個比例是5∶15＝2∶6。情況二：6為前一個比的前項，5為后一個比的后項。6÷＝6×3＝185×＝則這個比例是6∶18＝∶5。所以，這個比例是5∶15＝2∶6或6∶18＝∶5。【點睛】掌握比例的意義，并靈活運用比的前項、后項、比值之間的關(guān)系是解答題目的關(guān)鍵。【對應(yīng)練習】1.下列()中的兩個比可以組成比例。A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】表示兩個比相等的式子叫作比例，分別求出各比的比值，再找出比值相等的選項，據(jù)此解答。【詳解】A．＝＝＝，＝＝＝，因為≠，所以和不能組成比例；B．＝＝1.6×3＝4.8，＝＝6×0.8＝4.8，因為4.8＝4.8，所以和可以組成比例；C．＝6÷9＝，＝9÷6＝，因為≠，所以和不能組成比例；D．＝3.2÷1.4＝，＝4.1÷2.3＝，因為≠，所以和不能組成比例。故答案為：B【點睛】本題主要考查比例的認識，掌握比例的意義是解答題目的關(guān)鍵。2.10的因數(shù)有()，用這些因數(shù)組成一個比例式()。【答案】1、2、5、101∶2＝5∶10【分析】根據(jù)找一個數(shù)因數(shù)的方法，可以利用乘法算式，按因數(shù)從小到大的順序一組一組地找；據(jù)此找出10的所有因數(shù)，然后根據(jù)比例的意義寫出兩個比值相等的比并組成比例即可。【詳解】10÷1＝1010÷2＝510的因數(shù)有：1、2、5、10因為1∶2＝，5∶10＝，所以1∶2＝5∶10。3.已知一個比例是由兩個比值是4的比組成，又知道比例的兩個外項分別是1.2和5。這個比例是()。【答案】1.2∶0.3＝20∶5/5∶1.25＝4.8∶1.2【分析】比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例。根據(jù)比例的意義，分兩種情況討論：情況一，設(shè)這個比例是1.2∶a＝b∶5，已知兩個比的比值都是4，得出1.2∶a＝4，b∶5＝4，由此分別求出a、b的值，寫出這個比例；情況二，設(shè)這個比例是5∶a＝b∶1.2，已知兩個比的比值都是4，得出5∶a＝4，b∶1.2＝4，由此分別求出a、b的值，寫出這個比例。【詳解】情況一：設(shè)比例的兩個內(nèi)項分別是a和b，則這個比例是1.2∶a＝b∶5。由1.2∶a＝4，即1.2÷a＝4，可得a＝1.2÷4＝0.3；由b∶5＝4，即b÷5＝4，可得b＝4×5＝20；所以，這個比例是1.2∶0.3＝20∶5。情況二：設(shè)比例的兩個內(nèi)項分別是a和b，則這個比例是5∶a＝b∶1.2。由5∶a＝4，即5÷a＝4，可得a＝5÷4＝1.25；由b∶1.2＝4，即b÷1.2＝4，可得b＝4×1.2＝4.8；所以，這個比例是5∶1.25＝4.8∶1.2。綜上所述，這個比例是1.2∶0.3＝20∶5或5∶1.25＝4.8∶1.2。【點睛】本題考查比例的意義以及兩個內(nèi)項的求法，注意交換兩個外項的位置，可以得出兩個不同的比例。【考點二】比例的基本性質(zhì)。【典型例題】1.一個比例的兩個外項互為倒數(shù)，其中一個外項是1.25，另一個外項是()。【答案】0.8/【分析】乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。根據(jù)題意，一個比例的兩個外項互為倒數(shù)，那么這兩個外項的積等于1；用兩個外項的積除以已知的一個外項，即可求出另一個外項。【詳解】1÷1.25＝0.8另一個外項是0.8。2.在比例7∶2＝28∶8中，如果內(nèi)項2增加4，那么外項7增加()。解析：14【對應(yīng)練習】1.一個比例的兩個內(nèi)項的積互為倒數(shù)，一個外項是，另一個外項是()。【答案】【分析】已知一個比例的兩個內(nèi)項的積互為倒數(shù)，根據(jù)倒數(shù)的意義可知，這兩個內(nèi)項的積等于1；再根據(jù)比例的基本性質(zhì)可知，這個比例的兩個外項的積也等于1；那么用積除以已知的外項，即可求出另一個外項。乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。【詳解】1÷＝1×＝另一個外項是。2.如果比例的內(nèi)項4增加8，那么外項3應(yīng)該增加()，比例才能成立。解析：（4＋8）÷4＝12÷4＝33×3－3＝9－3＝6【考點三】比例式變形。【典型例題】1.如果，那么()。【答案】6∶2【分析】由比例的基本性質(zhì)可知，在比例中，兩外項之積等于兩內(nèi)項之積，可以把a和2看作比例中的兩個外項，b和6看作比例中的兩個內(nèi)項，據(jù)此進行解答。【詳解】2a＝6b，根據(jù)比例的基本性質(zhì)可得：a∶b＝6∶2【點睛】本題考查比例的基本性質(zhì)。2.甲數(shù)的20%等于乙數(shù)的（甲、乙均為非0自然數(shù)），甲∶乙＝()∶()。【答案】103【分析】由題意可知：甲數(shù)×20%＝乙數(shù)×，于是逆運用比例的基本性質(zhì)，即可求出二者的比。【詳解】因為甲數(shù)×20%＝乙數(shù)×，則甲數(shù)∶乙數(shù)＝∶20%＝∶＝10∶3甲∶乙＝10∶3。【點睛】此題主要依據(jù)比例的基本性質(zhì)解決問題。【對應(yīng)練習】1.如果7x＝8y，那么y∶x＝()∶()。【答案】78【分析】比例的基本性質(zhì)：兩外項之積等于兩內(nèi)項之積；據(jù)此寫出y∶x。【詳解】因為7x＝8y所以y∶x＝7∶8【點睛】掌握比例的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵。2.如果甲數(shù)的等于乙數(shù)的（甲數(shù)、乙數(shù)均不為0），那么甲∶乙＝()∶()。【答案】2528【分析】由題意可知，甲數(shù)×＝乙數(shù)×，再根據(jù)比例的基本形式，把乘積式化為比例式，然后再根據(jù)比的基本性質(zhì)進行化簡即可。【詳解】因為甲數(shù)×＝乙數(shù)×則甲數(shù)∶乙數(shù)＝∶＝（×20）∶（×20）＝25∶28則甲∶乙＝25∶28。【點睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，明確內(nèi)項積等于外項積是解題的關(guān)鍵。【考點四】解比例。【典型例題】解比例。3.75∶x＝3∶12解析：3.75∶x＝3∶12解：3x＝3.75×123x＝453x÷3＝45÷3x＝15【對應(yīng)練習】1.解比例。＝解析：＝解：42%x＝6.3×0.90.42x＝5.670.42x÷0.42＝5.67÷0.42x＝13.52.解比例。=12:x解析：x=3.解比例。（5x+4）:（9x-6）=4:5解析：x=4【第二篇】比例尺和圖形的變化【知識總覽】一、比例尺。1.一幅圖的圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。2.比例尺=圖上距離:實際距離。3.比例尺的分類：數(shù)值比例尺、線段比例尺。4.把線段比例尺改寫成數(shù)值比例尺時，先統(tǒng)一單位，再改寫。5.求一幅圖的比例尺時，前項、后項要統(tǒng)一單位。為了方便，通常把比例尺寫成前項或后項是1的形式。二、比例尺的應(yīng)用。1.根據(jù)比例尺和圖上距離求實際距離，可以根據(jù)“圖上距離實際距離2.運用比例尺畫圖，要先根據(jù)比例尺求岀圖上距離，再根據(jù)圖上距離畫出相應(yīng)的平面圖，最后標明平面圖的名稱及比例尺。三、圖形的放大與縮小。1.圖形的放大和縮小是生活中常見的現(xiàn)象，把一個圖形放大或縮小后所得到的圖形與原圖形相比:形狀相同，大小不同。2.把圖形的各邊按一定的比放大或縮小后，圖形的大小發(fā)生了變化，形狀沒有發(fā)生變化。3.在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小分為三步，一看，看原圖每邊各占幾格；二算，計算按給定的比將圖形的各邊放大或縮小后得到的新圖形每邊各占幾格；三畫，按計算岀的各邊長度畫出放大或縮小后的圖形。【考點一】比例尺的意義與改寫。【典型例題】1.比例尺是()的比。比例尺1∶3500000表示()。【答案】圖上距離與實際距離圖上1厘米代表實際距離3500000厘米【分析】圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。在繪制地圖、建筑物平面圖、零件等圖紙時，需要把實際長度縮小或擴大一定的數(shù)值，這就要用到比例尺。比例尺1∶3500000意味著圖上1厘米表示實際距離3500000厘米。【詳解】比例尺是圖上距離與實際距離的比。比例尺1∶3500000表示圖上1厘米代表實際距離3500000厘米。【點睛】此題的解題關(guān)鍵是理解掌握比例尺的意義。2.這是()比例尺，改寫成數(shù)值比例尺是()。【答案】線段1∶7500【分析】根據(jù)圖形可知，這是線段比例尺；圖上距離和實際距離已知，根據(jù)“比例尺＝圖上距離∶實際距離”，即可把線段比例尺改寫成數(shù)值比例尺，據(jù)此解答。【詳解】這是線段比例尺；75米＝7500厘米1厘米∶7500厘米＝1∶7500這是線段比例尺，改寫成數(shù)值比例尺是1∶7500。【對應(yīng)練習】1.在比例尺是1∶8000000的地圖上，圖上1厘米表示實際()千米。【答案】80【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離∶實際距離，可知圖上1厘米表示實際8000000厘米，再換算成千米。【詳解】8000000厘米＝80千米在比例尺是1∶8000000的地圖上，圖上1厘米表示實際80千米。【點睛】本題主要考查了比例尺的意義，注意單位換算。2.將線段比例尺改寫成數(shù)值比例尺是()。【答案】1∶2500000【分析】結(jié)合圖示可知：圖上1厘米代表實際距離25千米，可先把25千米換算成以厘米作單位的數(shù)，再根據(jù)：圖上距離∶實際距離＝比例尺，代入數(shù)據(jù)計算即可。【詳解】1厘米∶25千米＝1厘米∶2500000厘米＝1∶2500000所以改寫成數(shù)值比例尺是1∶2500000。【點睛】考查了線段比例尺與數(shù)值比例尺的轉(zhuǎn)化，需要熟悉比例尺的意義，注意單位的換算。【考點二】比例尺的基本關(guān)系問題。【典型例題】1.一張精密儀器的圖紙，用10cm的線段表示實際長2mm，這幅圖的比例尺是()。【答案】50∶1【分析】根據(jù)比例尺的意義，比例尺＝圖上距離∶實際距離，代入相應(yīng)數(shù)值計算即可解答。【詳解】10cm＝100mm100mm∶2mm＝（100÷2）∶（2÷2）＝50∶1因此這幅圖的比例尺是50∶1。2.2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，小明打算國慶節(jié)和父母一起到北京。他在一幅比例尺為1∶20000000的地圖上量得成都到北京的距離約為9厘米，成都到北京的實際距離大約是()千米。【答案】1800【分析】根據(jù)圖上距離÷比例尺＝實際距離，用9÷即可求出9厘米的實際距離，再把單位換算成千米。【詳解】9÷＝9×20000000＝180000000（厘米）180000000厘米＝1800千米成都到北京的實際距離大約是1800千米。3.淘氣手繪了一幅地圖，用圖上4厘米的長度表示從家到公園200米的長度，這幅地圖的比例尺是()，如果淘氣家到學校的實際距離是1500米，那么在這幅地圖上應(yīng)畫()厘米。【答案】1∶5000/30【分析】先統(tǒng)一單位，再根據(jù)圖上距離∶實際距離＝比例尺，代入數(shù)據(jù)即可求出這幅地圖的比例尺；然后根據(jù)圖上距離＝比例尺×實際距離，代入數(shù)據(jù)即可求出1500米的圖上距離。【詳解】200米＝20000厘米4∶20000＝（4÷4）∶（20000÷4）＝1∶50001500米＝150000厘米150000×＝30（厘米）用圖上4厘米的長度表示從家到公園200米的長度，這幅地圖的比例尺是1∶5000，如果淘氣家到學校的實際距離是1500米，那么在這幅地圖上應(yīng)畫30厘米。【點睛】本題主要考查了比例尺的意義以及圖上距離和實際距離的換算，要熟練掌握每個知識點。【對應(yīng)練習】1.甲乙兩地相距250km，畫在圖上的距離是5cm，這幅圖的比例尺是()。【答案】1∶5000000/【分析】已知甲乙兩地的距離是250km，它們的圖上距離是5cm，先把實際距離換算為以cm為單位，再根據(jù)比例尺＝圖上距離∶實際距離，代入數(shù)值計算即可解答。【詳解】250km＝25000000cm5cm∶25000000cm＝（5÷5）∶（25000000÷5）＝1∶5000000因此這幅圖的比例尺是1∶5000000。2.在比例尺為1∶3000000的地圖上，量得保定到北京的圖上距離是6.5厘米，那么保定到北京的實際距離是()千米。如果一輛小汽車以每小時100千米的速度行駛，那么從保定到北京需要()小時。【答案】1951.95【分析】據(jù)“比例尺＝圖上距離∶實際距離”可知：實際距離＝圖上距離÷比例尺，求出實際距離后，根據(jù)“時間＝距離÷速度”列式計算。【詳解】6.5÷＝6.5×3000000＝19500000（厘米）19500000厘米＝195千米195÷100＝1.95（小時）保定到北京的實際距離是195千米；從保定到北京需要1.95小時。3.盤山風景名勝區(qū)位于天津市薊區(qū)西北12公里處，因雄踞北京之東，故有“京東第一山”之譽。東西長20千米，南北寬10千米，畫在比例尺是1∶200000的地圖上，東西畫()厘米，南北畫()厘米。【答案】105【分析】根據(jù)圖上距離＝實際距離×比例尺，代入數(shù)據(jù)，即可求出東西長和南北寬的圖上距離，據(jù)此即可解答。【詳解】20千米＝2000000厘米10千米＝1000000厘米2000000×＝10（厘米）1000000×＝5（厘米）即東西畫10厘米，南北畫5厘米。【考點三】比例尺與作圖。【典型例題】1.一塊長方形的菜地，長30米，寬20米。用的比例尺把它畫在圖紙上，長畫()，寬畫()。在方框里將這塊長方形的菜地畫出來，并標上數(shù)據(jù)。解析：30米＝3000厘米20米＝2000厘米3000×＝3（厘米）2000×＝2（厘米）長應(yīng)畫3厘米，寬畫2厘米。作圖如下：2.下面是公園街區(qū)的平面示意圖。（1）廣場在公園()偏()30°方向上，實際距離是()米。（2）噴水池在廣場西南方向750米處，請在圖上畫出位置用點標明。解析：（1）經(jīng)過測量，公園到廣場的圖上距離是3厘米；3÷＝3×30000＝90000（厘米）90000厘米＝900米廣場在公園北偏西30°方向上，實際距離是900米。（2）作圖如下：750米＝75000厘米75000×＝2.5（厘米）3.作圖。（1）圖中三角形A三個頂點的位置用數(shù)對表示是()()()。（2）畫出圖形A向右平移10格后得到的圖形B；然后再以MN為對稱軸，畫出圖形B的軸對稱圖形。（3）按1∶2的比畫出圖形A縮小后的圖形。解析：（1）（2，3）（6，3）（6，5）（2）（3）【對應(yīng)練習】1.填一填，畫一畫。某文化廣場是長40米、寬15米的一個長方形，請你選擇一個合適的比例尺，在下邊的圖紙內(nèi)畫出廣場的平面圖，并在圖上注明長和寬。我設(shè)計的比例尺是()。解析：40米＝4000厘米15米＝1500厘米可以選用1∶1000的比例尺。（答案不唯一）4000×＝4（厘米）1500×＝1.5（厘米）如圖：2.下面是以海棠花園為中心的平面圖。（1）圖書館距海棠花園有800米，這幅圖的比例尺是()。（2）銀行在海棠花園西偏北35°距海棠花園1.2千米處，請你在圖中標出來。（3）從銀行向人民路修一條最短的路，應(yīng)該怎么修？請你畫出來。解析：（1）量得圖書館距海棠花園的圖上距離是2厘米800米＝80000厘米2∶80000＝1∶40000（2）1.2千米＝120000厘米120000×＝3（厘米）作圖如下：（3）作圖如下：3.作圖。（1）把長方形繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90度。（2）按1∶2的比畫出三角形縮小后的圖形。（3）如果每個小方格的邊長表示1厘米，縮小后三角形的面積是()平方厘米。解析：（1）（2）作圖如下：（3）2×3÷2＝3（平方厘米），縮小后的三角形的面積是3平方厘米。【考點四】比例尺與行程問題。【典型例題1】求時間。在比例尺是1∶8000000的地圖上量的甲地到乙地的距離是14厘米。一列火車3小時行駛了420千米，照這樣的速度，這列火車上午10時40分從甲地出發(fā)，何時能到達乙地？【答案】18時40分【分析】已知甲地到乙地的圖上距離和比例尺，根據(jù)“實際距離＝圖上距離÷比例尺”以及進率“1千米＝100000厘米”，求出甲、乙兩地的實際距離；已知一列火車3小時行駛了420千米，根據(jù)“速度＝路程÷時間”，求出這列火車的速度；再根據(jù)“時間＝路程÷速度”，求出這列火車從甲地到乙地需要的時間，最后加上火車從甲地的出發(fā)時刻，即可求出火車到達乙地的時刻。【詳解】甲、乙兩地的實際距離：14÷＝14×8000000＝112000000（厘米）112000000厘米＝1120千米火車的速度：420÷3＝140（千米/時）火車從甲地到乙地需要的時間：1120÷140＝8（小時）到達乙地的時刻：10時40分＋8小時＝18時40分答：18時40分能到達乙地。【典型例題2】求速度。在比例尺是1∶3000000的地圖上，量得兩地距離是10厘米，甲、乙兩車同時從兩地相向而行，3小時后兩車相遇。已知甲、乙兩車的速度比是2∶3，求甲、乙兩車每小時各行多少千米？【答案】甲車每小時行40千米；乙車每小時行60千米【分析】用圖上距離除以比例尺可以求出實際距離，然后用路程除以時間可以求出速度和，然后按照2∶3分配可以求出甲、乙兩車的速度。【詳解】10÷＝30000000（厘米）＝300（千米）300÷3＝100（千米）100×＝100×＝40（千米）100×＝100×＝60（千米）答：甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米。【對應(yīng)練習】1.在比例尺是1∶20000000的地圖上，量得甲乙兩地的距離是3.6厘米。如果火車以每小時160千米的速度于上午8時從甲地開出，到達乙地是什么時刻？【答案】中午12時30分【分析】實際距離＝圖上距離÷比例尺，據(jù)此先求出實際距離，再根據(jù)路程÷速度＝時間，求出火車行駛時間，根據(jù)終點時間＝起點時間＋經(jīng)過時間，推算出到達乙地時刻。【詳解】3.6÷＝3.6×20000000＝72000000（厘米）＝720（千米）720÷160＝4.5（小時）4.5小時＝4小時30分8時＋4小時30分＝12時30分答：到達乙地是中午12時30分。2.在比例尺是1∶5000000的地圖上，量得A、B兩地相距4厘米。如果一輛小汽車上午9時從A地出發(fā)，上午11時30分到達B地，那么這輛小汽車平均每小時行駛多少千米？【答案】80千米【分析】根據(jù)實際距離＝圖上距離÷比例尺，用4÷即可求出4厘米的實際距離，再換算成千米；如果一輛小汽車上午9時從A地出發(fā)，上午11時30分到達B地，則從A地到B地需要2.5小時，再根據(jù)速度＝路程÷時間，用兩地的距離除以2.5小時，即可求出小汽車的速度。【詳解】4÷＝4×5000000＝20000000（厘米）20000000厘米＝200千米11時30分－9時＝2時30分2時30分＝2.5時200÷2.5＝80（千米/小時）答：這輛小汽車平均每小時行駛80千米。【點睛】本題主要考查了比例尺的意義以及圖上距離和實際距離的換算，要注意單位換算。【考點五】比例尺與分段計價問題。【典型例題】下面是某市人民路路段的部分平面圖。（1）超市在公園()面，距離公園()米處。（2）小藝家在公園()偏()()°方向，距離公園()米處。（3）公園東面1500米處，有一條與人民路垂直且長度差不多的共和路，在圖中畫線段表示共和路。（4）小藝乘出租車沿圖中所示的路線從家到超市，按以下收費標準她需要支付多少車費？某市出租車收費標準里程收費2km及以下9元2km以上每增加1km（不足1km按1km計算）1.9元【答案】（1）東；2700（2）北；西；30；1800（3）見詳解（4）14.7元【分析】（1）經(jīng)過測量得到，公園到超市的圖上距離是2.7厘米，根據(jù)“實際距離＝圖上距離÷比例尺”可以計算出實際距離，圖上的方向是上北下南，左西右東，據(jù)此得到超市在公園東面；（2）應(yīng)用方位角表示位置，要確定方向和距離。首先根據(jù)公園到小藝家的圖上距離是1.8厘米，計算出實際距離，再用“方向＋偏移角度”表示即可；（3）計算出實際距離是1500米的圖上距離，也就確定了共和路與人民路的交點，再在交點處畫出垂直于人民路的共和路（長度與人民路差不多）即可；（4）根據(jù)（1）、（2）計算出從家到超市的實際距離，對照收費標準，看看計費里程約是多少，按照收費標準計算車費。【詳解】（1）（厘米）＝2700（米）超市在公園東面，距離公園2700米處。（2）（厘米）＝1800（米）小藝家在公園北偏西30°（西偏北60°）方向，距離公園1800米處。（3）（米）＝1.5（厘米）（4）（米）＝4.5（千米）（千米）（元）答：她需要支付14.7元車費。【對應(yīng)練習】下面是李洋乘坐出租車從家去農(nóng)業(yè)銀行的路線圖。出租車的收費標準是：3千米以內(nèi)（含3千米）按起步價9元計算。以后每增加1千米收費2元（不足1千米按1千米算）。請按圖中提供的信息算一算，李洋從家去農(nóng)業(yè)銀行一共要付出租年費多少錢？【答案】15元【分析】實際距離＝圖上距離÷比例尺，據(jù)此先求出李洋從家去農(nóng)業(yè)銀行的實際距離。取整千米數(shù)，求出超出3千米的部分，乘對應(yīng)收費標準，再加上3千米內(nèi)的起步價即可。【詳解】（5＋3＋3）÷＝11×50000＝550000（厘米）＝5.5（千米）≈6（千米）（6－3）×2＋9＝3×2＋9＝6＋9＝15（元）答：李洋從家去農(nóng)業(yè)銀行一共要付出租年費15元錢。【考點六】比例尺與面積問題。【典型例題】在比例尺為1∶20000的地圖上，量得一塊三角形的底是5厘米，高是4厘米，這塊地的實際面積是多少？【答案】0.4平方千米【分析】已知地圖的比例尺、圖上三角形的底和高，先根據(jù)“實際距離＝圖上距離÷比例尺”，分別求出實際三角形的底和高；再根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，求出三角形的實際面積。注意單位的換算：1千米＝100000厘米。【詳解】5÷＝5×20000＝100000（厘米）100000厘米＝1千米4÷＝4×20000＝80000（厘米）80000厘米＝0.8千米面積：1×0.8÷2＝0.4（平方千米）答：這塊地的實際面積是0.4平方千米。【對應(yīng)練習】一個長方形操場，長與寬的比是4∶3，用的比例尺畫在圖上，量得這個長方形的周長是56厘米。這個長方形操場的實際面積是多少平方米？【答案】19200平方米【分析】根據(jù)實際距離＝圖上距離÷比例尺，換算出操場的實際周長；長方形周長÷2＝長寬和，長寬和÷總份數(shù)，求出一份數(shù)，一份數(shù)分別乘長和寬的對應(yīng)份數(shù)，求出長和寬，再根據(jù)長方形面積＝長×寬，求出操場實際面積即可。【詳解】56÷＝56000（厘米）＝560（米）560÷2＝280（米）280÷（4＋3）＝280÷7＝40（米）40×4＝160（米）40×3＝120（米）160×120＝19200（平方米）【點睛】關(guān)鍵是理解比的意義，掌握圖上距離與實際距離的換算方法。【第三篇】正比例和反比例【知識總覽】一、正比例。1.兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。2.如果用字母y和x表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值(一定)，正比例關(guān)系可以用式子yx=k（一定）表示。3.正比例關(guān)系圖象是一條經(jīng)過(0，0)的直線。從圖象中，可以直觀地看到兩種量的變化情況，不用計算，由一種量的值可以直接找到對應(yīng)的另一種量的值。二、反比例。1.兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積（一定），反比例關(guān)系可以表示為xy=h（一定）。2.判斷兩種量是否成反比例關(guān)系，先看這兩種量是不是相關(guān)聯(lián)的量，如果是，再看它們的乘積是否一定，若乘積一定，則兩種量成反比例關(guān)系；若乘積不一定，則兩種量不成反比例關(guān)系。【考點一】正比例與反比例的意義。【典型例題1】正比例。科學小組在同一時間、同一地點進行觀察實驗，測得竹竿的高與竿影的長如下表。（1）說一說竿影的長與竹竿的高的變化關(guān)系。解析：竹竿的高增加1m，竿影的長隨之增加0.4m。（2）寫出竿影的長與竹竿的高的比，你有什么發(fā)現(xiàn)?解析：竿影的長/竹竿的高=0.4，不管竹竿的高怎么變化，竿影的長和竹竿的高的比值是不變的。（（3）竹竿的高與竿影的長是不是成正比例?說明理由。解析：竹竿的高與竿影的長成正比例，因為它們的比值一定。【典型例題2】反比例。小紅看一本書，每天看的頁數(shù)和所用的天數(shù)如下表。（1）表中()和()是兩種相關(guān)聯(lián)的量。（2）這兩種相關(guān)聯(lián)的量中，相對應(yīng)的兩個數(shù)的積是()，這個積表示的是()。（3）由此可知∶()一定時，()和()成()比例關(guān)系。解析：（1）每天看的頁數(shù)；所用的天數(shù)；(2)200；這本書的總頁數(shù)；（3）總頁數(shù)；每天看的頁數(shù)；所用的天數(shù)；反【對應(yīng)練習】1.觀察一輛汽車運貨時間和運貨噸數(shù)統(tǒng)計表：運貨時間（時）123456…運貨噸數(shù)（噸）51015202530…（1）表中變化的量有()和()。（2）()擴大，()也隨著擴大。（3）3小時運貨()噸，運30噸需要()小時。（4）運貨噸數(shù)和運貨時間這兩種量中相對應(yīng)兩個數(shù)的比值都等于()，所以表中的兩種量成()比例。解析：（1）運貨時間；運貨噸數(shù)；（2）運貨時間；運貨噸數(shù)；（3）15；6；（4）5；正2.運一批貨物，每天運的噸數(shù)和需要的天數(shù)如下表：每天運的噸數(shù)300150100756050需要的天數(shù)123456（1）寫出幾組這兩組量中的對應(yīng)的兩個數(shù)的積，并比較積的大小。（2）說明這個積表示什么？（3）表中相關(guān)聯(lián)的兩個量成反比例嗎？為什么？解析：（1）因為積都是300，所以積相等；（2）這批貨物的總噸數(shù)；（3）反比例關(guān)系．因為表中相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積一定。【考點二】比例關(guān)系的判斷。【典型例題】1.報紙的單價一定，訂閱的份數(shù)和總價成()比例；圓柱的體積一定，它的底面積和高成()比例。解析：正；反2.x×2＝y(tǒng)（x不為0），x和y成()比例；如果3x＝4y（y不為0），那么x和y成()比例。解析：正；正3.若，則m和n成()比例；若（a不為0），則a和b成()比例。解析：正；反【對應(yīng)練習】1.在下面括號里填上“成正比例”、“成反比例”或“不成比例”。(1)如果圓柱的底面積一定，那么體積和高()。(2)如果圓錐的體積一定，底面積和高()。(3)如果5x＝y(tǒng)（x、y均不為0），則x和y()。解析：(1)成正比例；(2)成反比例；(3)成正比例2.如果5A＝4B（A、B均不為0），那么A∶B＝()，A和B成()比例。解析：4∶5；正3.和是兩個相關(guān)聯(lián)的量，如果5＝9，那么和成()比例；如果＝15÷，那么和成()比例。解析：正；反【考點三】正比例與反比例的圖像。【典型例題】1.下一根彈簧掛上物體（質(zhì)量不超過20kg）后會伸長。下圖表示彈簧伸長的長度和所掛物體的質(zhì)量之間的關(guān)系。(1)彈簧伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成()比例。(2)根據(jù)圖象判斷，如果掛上7kg的物體，那么彈簧將伸長()cm。(3)要使彈簧伸長2.25cm，應(yīng)掛上()kg的物體。解析：（1）2∶0.5＝4∶1＝4（比值一定）所以物體的質(zhì)量與彈簧伸長的長度成正比例。（2）7÷4＝1.75（厘米）所以掛上7kg的物體，彈簧應(yīng)伸長1.75厘米。（3）2.25×4＝9（kg）所以要使彈簧伸長2.25cm，應(yīng)掛上9kg的物體。2.把相同體積的水倒入底面積不同的圓柱形杯子中，杯子的底面積和杯中水面的高度關(guān)系的圖象如圖所示：（1）底面積和水面高度成()比例關(guān)系。（2）底面積是10cm2的杯子中，水面的高度是()cm，底面積是30cm2的杯子中，水面的高度是()cm。（3）估計一下，底面積是40cm2的杯子中，水面的高度是()cm。解析：（1）反；（2）30；10；（3）7.5【對應(yīng)練習】1.電信公司推出校園卡業(yè)務(wù)，下圖表示長途電話通話時間與話費的關(guān)系，觀察下圖并回答后面的問題。（1）校園卡每分鐘話費是多少?（2）通話1小時需要話費多少?（3）淘氣和國外表哥通話花費16.5元，他倆通話了多長時間?解析：（1）0.3元；（2）18元；（3）55分鐘2.小麗正在讀一本故事書，下圖表示的是她讀書的天數(shù)和每天讀書的頁數(shù)之間的關(guān)系。（1）圖中的一條曲線，反映了()和()成()比例；（2）由圖象判斷，整本書有()頁，如果20天讀完，每天要讀()頁；如果每天讀5頁，需要讀()天。解析：（1）讀書的天數(shù)；每天讀書的頁數(shù)；反；（2）80；40；6【考點四】繪制正比例與反比例的圖像。【典型例題】1.淘氣借助表格和畫圖的方法探究當梯形的上底和下底長度不變時，梯形的面積和梯形的高之間的關(guān)系。梯形的上底和下底長度不變，也就是上底、下底長度的和不變，那么梯形的面積和梯形的高之間的關(guān)系如下表。梯形的面積/平方米0246810…梯形的高/米012345…（1）在圖中描出梯形的面積與對應(yīng)高的點，并連線。（2）當梯形的上底和下底長度不變時，梯形的面積與梯形的高成()比例，理由是()。（3）根據(jù)表格呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)，這個梯形的上底與下底的和是()米。（4）當梯形的高是7米時，對應(yīng)的梯形的面積是()平方米。解析：（1）如圖：（2）當梯形的上底和下底長度不變時，梯形的面積與梯形的高成正比例關(guān)系；理由是根據(jù)梯形面積公式“梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2”可得：梯形面積÷高＝（上底＋下底）÷2，上底和下底長度不變時，（上底＋下底）÷2的值不變，所以梯形面積和高成正比例關(guān)系。（3）10×2÷5＝4（米）即這個梯形的上底與下底的和是4米。（4）7×4÷2＝14（平方米）即對應(yīng)的梯形的面積是14平方米。【對應(yīng)練習】1.一個工程隊每天鋪設(shè)管道30米，照這樣的效率，2天、3……能鋪設(shè)管道多少米？（1）把下表填寫完整。時間/天123456管道長/米3060()()()()（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，把鋪設(shè)管道的時間與管道長之間相對應(yīng)的點在圖中描出來，并連線。（3）鋪設(shè)管道的時間與管道長成什么比例關(guān)系？為什么？（4）根據(jù)圖像判斷，7天能鋪設(shè)()米管道。解析：（1）30×3＝90（米）30×4＝120（米）30×5＝150（米）30×6＝180（米）表格如下：時間/天123456管道長/米306090120150180（2）作圖如下：（3）已知管道鋪設(shè)的總長度÷天數(shù)＝每天鋪設(shè)的管道長度（一定），工作效率不變，則鋪設(shè)管道的時間與管道長成正比例；（4）30×7＝210（米）根據(jù)圖像判斷，7天能鋪設(shè)210米管道。2.把相同體積的水倒入底面積不同的杯子中，杯子的底面積和杯子中水面高度的關(guān)系如下表所示。底面積/cm2510203060水面高度/cm603015105（1）把表中杯子的底面積和杯子中水面的高度所對應(yīng)的點描在下面的方格中，再順次連接。（2）判斷杯子的底面積和杯子中水面的高度成()比例關(guān)系。（3）照這樣計算，底面積是50平方厘米的杯子中，水面的高度是()厘米。解析：（1）如圖：（2）5×60＝10×30＝20×15＝30×10＝60×5＝300乘積相等，所以杯子的底面積和杯子中水面的高度成反比例關(guān)系。（3）5×60÷50＝300÷50＝6（厘米）底面積是50平方厘米的杯子中，水面的高度是6厘米。【第四篇】比例的應(yīng)用【知識總覽】物高與影長問題。在太陽下，同一時間、同一地點，不同物體的高度和影長的比值相等，利用這一等量關(guān)系，建立比例方程解決問題【考點一】物高與影長問題。【典型例題】測量某小區(qū)一棟樓的影長20米，同時同地測得一棵3米高的樹的影長是4米，這棟樓的高度是多少米？（用比例知識解決）解析：解：設(shè)這棟樓的高度是x米。3∶4＝x∶204x＝3×204x＝60x＝60÷4x＝15答：這棟樓的高度是15米。【對應(yīng)練習】劉麗和李蕓同時測量大樹和一棵小樹的影長，分別是9米和2米。她們又測得小樹實際高0.8米，大樹有多高？（用比例知識解決）解析：解：設(shè)大樹有x米高。x∶9＝0.8∶22x＝9×0.82x÷2＝7.2÷2x＝3.6答：大樹有3.6米高。【考點二】正比例的實際應(yīng)用與四大問題。【典型例題1】歸一問題。有一個甘蔗榨汁機，可以用500克的甘蔗榨出150克的甘蔗汁，現(xiàn)在有10千克的甘蔗，可以榨出多少克甘蔗汁？解析：解：設(shè)可以榨出x克甘蔗汁。10千克＝10000克x∶10000＝150∶500500x＝10000×150500x＝1500000x＝1500000÷500x＝3000答：可以榨出3000克甘蔗汁。【對應(yīng)練習】李師傅計劃加工一批零件，前五天加工了120個，照這樣計算，再用18天就可以做完，這批零件一共有多少個？（用比例解）解析：解：設(shè)這批零件一共有x個，則：x∶（5＋18）＝120∶5x∶23＝120∶55x＝120×235x＝27605x÷5＝2760÷5x＝552答：這批零件一共有552個。【典型例題2】行程問題。一輛汽車從甲地開往乙地，開出2.4小時行駛了180千米，照這樣的速度，行完全程需要4.2小時。甲地到乙地有多少千米？（用比例解）解析：解：設(shè)甲地到乙地有x千米，180∶2.4＝x∶4.22.4x＝180×4.22.4x＝7562.4x÷2.4＝756÷2.4x＝315答：甲地到乙地有315千米。【對應(yīng)練習】王叔叔開車從甲地到乙地，前2小時行100千米。照這樣的速度，從甲地到乙地一共用3小時，甲乙兩地相距多遠？（用比例解）解析：解：設(shè)甲地與乙地相距x千米。x∶3＝100∶22x＝100×32x＝3002x÷2＝300÷2x＝150答：甲地與乙地相距150千米。【典型例題3】相遇問題。小黃車和小藍車的速度比為6∶5，兩車同時從A地同向出發(fā)前往B地，到達B地后掉頭返回A地，兩人如此往返。A、B兩地相距220千米，則兩車第一次相遇時，相遇地點距離A地多遠?解析：相同時間內(nèi)，兩車的速度比等于路程比，所以路程比為6:5。同時同地出發(fā)再返回的第一次相遇，兩車共行駛了兩倍的全程。路程和是440千米，一份量∶440÷（6＋5）=40（km）。小藍車∶40×5=200（km）答：相遇地點距離A地200千米。【對應(yīng)練習】詩詩和健健同時從甲地出發(fā)去乙地，詩詩和健健的速度比為7∶4，詩詩到達乙地后直接掉頭直到與健健相遇.如果甲乙兩地相距44干米，則相遇地點距甲地多遠?解析：32千米。【典型例題4】追及問題。小黃車速度為60km/h，小藍車速度為50km/h，如果