專題2因數與倍數（知識精講+典型例題+專題專練+拓展培優）1、公因數的含義。幾個數公有的因數叫作這幾個數的公因數。2、求公因數、最大公因數的方法。（1）求兩個數的公因數，可以用列舉法先找出每個數的因數，再找出兩個數的公因數；也可以先找一個數的因數，再從這個數的因數中找出另一個數的因數。（2）兩個數的公因數的個數是有限的，其中最大的公因數叫作這兩個數的最大公因數。3、公倍數的含義。兩個自然數公有的倍數叫作這兩個自然數的公倍數。一個數的倍數是最小的，但沒有最大的，故兩個自然數的公倍數的個數是無限的。4、求兩個數的公倍數和最小公倍數的方法。用列舉法可以找出兩個數的公倍數和最小公倍數，先列舉出較大數的倍數，再從較大數的倍數中找出較小數的倍數，確定這兩個數的公倍數及最小公倍數。考點一：最大公因數方法總結：1、一個數的因數的個數是有限的,所以幾個數的公因數的個數也是有限的,其中最小的公因數都是1。2、求兩個數的最大公因數的方法:（1）列舉法:先分別找出兩個數的所有因數,再從中找出它們的公因數與最大公因數。（2）篩選法:先找出較小數的所有因數,再從中找出哪些也是較大數的因數,從而找出兩個數的公因數與最大公因數。【例一】24的因數有（），42的因數有（），24和42的公因數有（），最大公因數是（）。【分析】找一個數的因數，就是看哪兩個自然數相乘得這個數，那這兩個數就是這個數的因數，分別找出24和42的因數，比較即可得出公因數和最大公因數。【詳解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，24的因數有1、2、3、4、6、8、12、24；42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7，42的因數有1、2、3、6、7、14、21、42；比較24和42的因數可得：24和42的公因數有1、2、3、6；24和42的最大公因數是6.故答案為：1、2、3、4、6、8、12、24；1、2、3、6、7、14、21、42；1、2、3、6；6【點睛】本題主要考查找一個數因數的方法，解題時要按照一定的順序尋找避免遺漏。【例二】求48和72的最大公因數【分析】求最大公因數的方法方法一：質因數分解法全部共有的質因數（公有質因數）相乘的積就是這幾個數的最大公因數。方法二：短除法短除法運算方法是先用一個除數除以能被它除盡的一個質數，以此類推，除到商是質數為止。把公有的質因數從小到大依次作為除數，連續去除這幾個數，直到得出的商只有公因數1為止。然后把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾個數的最大公因數。【詳解】48=2×2×2×2×3；72=2×2×2×3×3；2×2×2×3=24所以48和72的最大公因數是24.故答案為：24【點睛】本題考察了兩個數的最大公因數求法，利用短除法更方便一些。【專題專練一】找出下面每組數的最大公因數。16和32

38和57

13和5【分析】求兩個數的最大公因數：兩個數的公有質因數的連乘積，就是這兩個數的最大公因數；如果兩個數是互質數，最大公因數是1；如果兩個數是倍數關系，最大公因數是較小的數，據此解答。【詳解】16和3216和32是倍數關系，最大公因數是16；38和5738＝2×1957＝3×1938和57的最大公因數是19；13和513和5是互質數，最大公因數是1。【專題專練二】用短除法求出每組數的最大公因數和最小公倍數。18和45120和4864和144【分析】用短除法求兩個數的最大公因數和最小公倍數時，除以兩個數的公因數，一直除下去，直到除得的兩個商互質為止。把所有的除數連乘起來就得到它們的最大公因數，把所有的除數和最后的兩個商連乘起來就是它們的最小公倍數。【解答】解：所以18和45的最大公因數是，最小公倍數是所以120和48的最大公因數是，最小公倍數是所以64和144的最大公因數是，最小公倍數是【點評】熟練掌握用短除法求最大公因數和最小公倍數的方法是解題的關鍵。考點二：最小公倍數方法總結：1、一個數的倍數的個數是無限的,所以幾個數的公倍數的個數也是無限的。2、求兩個數的最小公倍數的方法主要有兩種:（1）列舉法:先分別找出兩個數的倍數,再從中找出它們的公倍數與最小公倍數。（2）篩選法:先找出較大數的倍數,再從中找出哪些也是較小數的倍數,從而找出兩個數的公倍數與最小公倍數。【例一】寫出下列各組數的最大公因數和最小公倍數。9和5411和836和1256和42【分析】（1）兩數有倍數關系：最大公因數就是較小數，最小公倍數就是較大數；（2）兩數有互質關系：最大公因數就是1，最小公倍數就是它們的乘積；（3）沒有上述兩種情況用短除法求解。【詳解】（1）9和54，54÷9＝6，9和54有倍數關系，最大公因數：9；最小公倍數：54；（2）11和8互質，11×8＝88，最大公因數：1；最小公倍數：88；（3）36和12，36÷12＝3，36和12有倍數關系，最大公因數：12；最小公倍數：36；（4）56和42用短除法求解。最大公因數：2×7＝14；最小公倍數：2×7×4×3＝168。【點睛】熟練掌握有倍數關系，互質關系的最大公因數和最小公倍數的快速求法以及一般情況下的短除法求最大公因數和最小公倍數。【例二】寫出下面各組數的最小公倍數。6和127和88和1245和60【分析】求兩數的最小公倍數，要看兩個數之間的關系：兩個數互質，則最小公倍數是這兩個數的乘積；兩個數為倍數關系，則最小公倍數為較大的數；兩個數有公因數的，最小公倍數是兩個數公有質因數與獨有質因數的連乘積；由此選擇情況解決問題。【解答】解：①6和12是倍數關系，它們的最小公倍數是12。②7和8是互質數，它們的最小公倍數是。③8和12的最小公倍數是④45和60的最小公倍數是【點評】本題考查了求幾個數的最小公倍數的方法：兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數；數字大的可以用短除法解答。同時要考慮兩個數互質，兩個數為倍數關系的情況。【專題專練一】寫出每組數的最大公因數和最小公倍數．（1）最大公因數7和1021和760和12（2）最小公倍數6和1010和2520和30．【分析】（1）對于一般的兩個數來說，這兩個數的公有質因數連乘積是最大公因數，兩個數為倍數關系，最大公因數為較小的數；是互質數的兩個數，它們的最大公因數是1；（2）兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數；兩個數為倍數關系，較大的那個數是這兩個數的最小公倍數；是互質數的兩個數，最小公倍數即這兩個數的乘積．【解答】解：（1）7和10是互質數，最大公約數是1；21和7是倍數關系，最大公約數是7；60和12是倍數關系，最大公約數是12；（2）最小公倍數是；最小公倍數是；最小公倍數是．【點評】此題主要考查了求兩個數的最大公因數：對于一般的兩個數來說，這兩個數的公有質因數連乘積是最大公因數，兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數；對于兩個數為倍數關系時的最大公因數和最小公倍數：兩個數為倍數關系，最大公因數為較小的數，較大的那個數是這兩個數的最小公倍數；是互質數的兩個數，它們的最大公因數是1，最小公倍數即這兩個數的乘積．【專題專練二】求出下面各組數的最大公因數和最小公倍數．①48和72②12和30③9和11④14和42．【分析】對于一般的兩個數來說，這兩個數的公有質因數的連乘積是這兩個數的最大公因數，這兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數；當兩個數成倍數關系，最大公因數為較小的數，較大的那個數，是這兩個數的最小公倍數；是互質數的兩個數，它們的最大公因數是1，最小公倍數即這兩個數的乘積．【解答】解：最大公約數是最小公倍數是；最大公約數是最小公倍數是；9和11是互質數，最大公約數是1，最小公倍數是；14和42是倍數關系，最大公約數是14，最小公倍數是42．【點評】此題主要考查了求兩個數的最大公因數和最小公倍數的方法：對于一般的兩個數來說，這兩個數的公有質因數的連乘積是這兩個數的最大公因數，這兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數；當兩個數成倍數關系，最大公因數為較小的數，較大的那個數，是這兩個數的最小公倍數；是互質數的兩個數，它們的最大公因數是1，最小公倍數即這兩個數的乘積．一、計算題1．求下列各數的最大公因數和最小公倍數。18和24

8和9

65和132．求下面每組數的最大公因數和最小公倍數。26和13

11和1316和12

15和403．寫出下面每組數的最大公因數和最小公倍數。12和48

24和36

13和54．寫出下面每組數的最大公因數和最小公倍數。12和18

3和8

51和175．求下列每組數的最大公因數和最小公倍數。7和11

6和16

8和9

17和516．找出下面每組數的最小公倍數。7和9

15和20

14和287．找出下面每組數的最大公因數。16和32

38和57

13和58．寫出每組數的最小公倍數。12和10

11和77

24和369．寫出下面各組數的最大公因數。5和6

12和42

40和810．求出下列每組數的最大公因數和最小公倍數。4和9

12和15

19和5711．說出下面各組數的最大公因數。45和1530和1228和4212．找出下面每組數的最小公倍數。9和278和96和813．求下列各組數的最大公因數和最小公倍數。12和18

7和9

17和5114．求下面各組數的最大公因數和最小公倍數。14和8

15和45

27和18

11和715．求下面各組數的最大公因數和最小公倍數。24和36

7和49

22和55

13和916．求出下面每組數的最大公因數和最小公倍數。5和30

26和39

24和3217．求出下面各組數的最大公因數和最小公倍數。16和24

7和9

30和1518．求下面每組數的最大公因數和最小公倍數。9和10

12和18

34和5119．求出下面每組數的最大公因數和最小公倍數。18和24

13和21

65和20

51和1720．找出下面每組數的最大公因數和最小公倍數。8和40

10和8

21和921．求出下面各組數的最大公因數和最小公倍數。18和24

7和8

17和5122．找出下面的合數，并把它們分解質因數。13

23

24

4353

63

19

573723．從題目中選出合數，分解質因數。87、53、17、51、39、41。24．分解質因數。27

42

5725．把下面的數分解質因數。34

57

65參考答案1．（1）最大公因數6，最小公倍數72；（2）最大公因數1，最小公倍數72；（3）最大公因數13，最小公倍數65【分析】用質因數分解法可以求兩個數的最大公因數和最小公倍數。全部共有的質因數（公有質因數）相乘的積就是這兩個數的最大公因數；全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這兩個數的最小公倍數。成倍數關系的兩個數，其中的較小數就是它們的最大公因數，較大數就是它們的最小公倍數；如果兩個數是互質數，則它們的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。【詳解】（1）18＝2×3×324＝2×2×2×3則18和24的最大公因數是2×3＝6，最小公倍數是2×3×3×2×2＝72。（2）8和9是互質數，則它們的最大公因數是1，最小公倍數是8×9＝72。（3）65是13的倍數，則65和13的最大公因數是13，最小公倍數是65。2．13；26；1；1434；48；5；120【分析】求最大公因數也就是這幾個數的公有質因數的連乘積，最小公倍數是公有質因數與每一個數的獨有質因數的連乘積；如果兩個數成倍數關系，兩個數的最大公因數是兩個數中較小的那個數，最小公倍數是較大的數；如果兩個數是互質數，它們的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積，由此解決問題即可。【詳解】26和1326和13是倍數關系，最大公因數是13，最小公倍數是26；13和1113和11是互質數，最大公因數是1，最小公倍數是13×11＝143；16和1216＝2×2×2×2，12＝2×2×3；16和12的最大公因數是2×2＝4，最小公倍數是2×2×3×2×2＝48；15和4015＝3×540＝2×2×2×5；15和40的最大公因數是5，最小公倍數是2×2×2×3×5＝120。3．最大公因數：12；最小公倍數：48最大公因數：12；最小公倍數：72最大公因數：1；最小公倍數：65【分析】對于兩個數為倍數關系時的最大公因數和最小公倍數：最大公因數為較小的數，較大的那個數是這兩個數的最小公倍數；對于一般的兩個數來說，這兩個數的公有質因數連乘積是最大公因數，兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數；互質的兩個數，它們的最大公因數是l，最小公倍數是這兩個數的乘積。【詳解】12和48，由于48是12的倍數，則它倆的最大公因數是12，最小公倍數是48；24和3624＝2×2×2×336＝2×2×3×3則24和36的最大公因數是：2×2×3＝12；最小公倍數是：2×2×2×3×3＝72；13和5由于13和5是互質數，則最大公因數是：1，最小公倍數是：13×5＝65。4．最大公因數：6，最小公倍數：36；最大公因數：1，最小公倍數：24；最大公因數：17，最小公倍數：51【分析】求最大公因數也就是求這幾個數的公有質因數的連乘積，最小公倍數是公有質因數與獨有質因數的連乘積；若兩個數互為倍數關系，則較小數就是它們的最大公因數，較大的數就是它們的最小公倍數；若兩個數是互質數，則它們的最大公因數是1，最小公倍數就是它們的乘積。據此計算即可。【詳解】12＝2×2×3，18＝2×3×3，12和18的最大公因數是2×3＝6，最小公倍數是2×3×2×3＝36；3和8是互質數，它們的最大公因數是1，最小公倍數是3×8＝24；51是17的倍數，它們的最大公因數是17，最小公倍數是51。5．7和11的最大公因數是1，最小公倍數是77；6和16的最大公因數是2，最小公倍數是48；8和9的最大公因數1，最小公倍數是72；17和51的最大公因數是17，最小公倍數是51【分析】求兩個數的最大公因數和最小公倍數，如果兩個數互質，則這兩個數的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積；如果兩個數是倍數關系，則這兩個數的最大公因數是其中較小的數，最小公倍數是其中較大的數；如果兩個數既不互質，也不是倍數關系，則先把兩個數分別分解質因數，這兩個數的最大公因數是兩個數的公有的質因數的乘積，最小公倍數是兩個數公有的質因數和各自獨有的質因數的乘積，據此解答。【詳解】7和11互質，7×11＝777和11的最大公因數是1，最小公倍數是77；6＝2×316＝2×2×2×22×2×2×2×3＝48；6和16的最大公因數是2，最小公倍數是48；8和9互質，8×9＝728和9的最大公因數是1，最小公倍數是72；51÷17＝317和51是倍數關系，它們的最大公因數是17，最小公倍數是51。6．63；60；28【分析】求兩個數的最小公倍數，兩個數的公有質因數和各自獨有質因數的連乘積就是它們的最小公倍數；如果兩個數是互為質數關系，這兩個數的最小公倍數為這兩個數的乘積；如果兩個數是倍數關系的兩個數，較大數是它們的最小公倍數；據此解答。【詳解】7和97和9是互質數，最小公倍數是：7×9＝63。15和2015＝3×520＝2×2×515和20的最小公倍數是：2×2×3×5＝60。14和2814和28是倍數關系，最小公倍數是28。7．16；19；1【分析】求兩個數的最大公因數：兩個數的公有質因數的連乘積，就是這兩個數的最大公因數；如果兩個數是互質數，最大公因數是1；如果兩個數是倍數關系，最大公因數是較小的數，據此解答。【詳解】16和3216和32是倍數關系，最大公因數是16；38和5738＝2×1957＝3×1938和57的最大公因數是19；13和513和5是互質數，最大公因數是1。8．60；77；72【分析】求兩個數的最小公倍數，如果這兩個數是倍數關系，則這兩個數的最小公倍數是其中較大的數；如果這兩個數互質，則這兩個數的最小公倍數是這兩個數的乘積；如果這兩個數既不是倍數關系，也不互質，則先將這兩個數分別分解質因數，最小公倍數是兩個數公有的質因數和各自獨有的質因數的乘積。【詳解】12＝2×2×310＝2×52×2×3×5＝6012和10最小公倍數是60；77÷11＝711和77是倍數關系，所以它們的最小公倍數是77；24＝2×2×2×336＝2×2×3×32×2×2×3×3＝7224和36的最小公倍數是72。9．1；6；8【分析】求兩個數的最大公因數：兩個數的公有質因數的連乘積，就去這兩個數的最大公因數；如果兩個數是互質數，最大公因數是1；如果兩個數是倍數關系，最大公因數是較小的數，據此解答。【詳解】5和65和6是互質數，最大公因數是1。12和4212＝2×2×342＝2×3×712和42的最大公因數是：2×3＝6。40和840和8是倍數關系，最大公因數是8。10．4和9的最大公因數是1，最小公倍數是36；12和15的最大公因數是3，最小公倍數是60；19和57的最大公因數是19，最小公倍數是57【分析】兩個數互質，則最大公因數是1，最小公倍數就是這兩個數的乘積；先把每組數分別分解質因數，然后把它們公有的質因數連乘起來，所得的積就是它們的最大公因數，把它們公有的質因數和獨有的質因數連乘起來，所得的積就是它們的最小公倍數；兩個數為倍數關系，則最大公因數是較小的數，最小公倍數為較大的數。【詳解】4和9互質，所以4和9的最大公因數是1，最小公倍數是4×9＝36；因為12＝2×2×315＝3×5所以12和15的最大公因數是3，最小公倍數是：2×2×3×5＝4×3×5＝12×5＝60因為57÷19＝3，所以19和57的最大公因數是19，最小公倍數是57。11．15；6；14【分析】成倍數關系的兩個數，較小數是兩個數的最大公因數；將30和12先分解質因數，公有質因數的乘積是這兩個數的最大公因數；將28和42先分解質因數，公有質因數的乘積是這兩個數的最大公因數。【詳解】45是15的倍數，所以15是45和15的最大公因數；30＝2×3×512＝2×2×32×3＝6所以，30和12的最大公因數是6；28＝2×2×742＝2×3×72×7＝14所以，28和42的最大公因數是14。12．27；72；24【分析】（1）兩個數互為質數關系，這兩個數的最小公倍數為這兩個數的乘積；（2）存在倍數關系的兩個數，較大數是它們的最小公倍數；（3）求兩個數的最小公倍數，首先把這兩個數分別分解質因數，它們公有質因數和各自獨有質因數的連乘積就是它們的最小公倍數。據此解答。【詳解】9和279和27是倍數關系，最小公倍數是27；8和98和9是互質數，最小公倍數是8×9＝72；6和86＝2×38＝2×2×26和8的最小公倍數是2×3×2×2＝24。13．6；36；1；63；17；51【分析】求兩個數的最大公因數和最小公倍數：兩個數的公有質因數連乘積是最大公因數，兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數；對于是互質數的兩個數，它們的最大公因數是1，最小公倍數即這兩個數的乘積；倍數關系的最小公倍數是較大數，最大公因數是較小數。據此解答。【詳解】12和1812＝2×2×318＝2×3×312和18的最大公因數是：2×3＝6最小公倍數是：2×3×2×3＝367和97和9是互質數，最大公因數是：1，最小公倍數是：7×9＝6317和5117和51成倍數關系，最大公因數是17，最小公倍數是51。14．14和8的最大公因數是2，最小公倍數是56；15和45的最大公因數是15，最小公倍數是45；27和18的最大公因數是9，最小公倍數是54；11和7的最大公因數是1，最小公倍數是77。【分析】用質因數分解法可以求兩個數的最大公因數和最小公倍數。全部共有的質因數（公有質因數）相乘的積就是這兩個數的最大公因數；全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這兩個數的最小公倍數；成倍數關系的兩個數，其中的較小數就是它們的最大公因數，較大數就是它們的最小公倍數；如果兩個數是互質數，則它們的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。【詳解】由分析可得：14和814＝2×78＝2×2×214和8的最大公因數為：214和8的最小公倍數是：2×2×2×7＝4×2×7＝8×7＝5615和45是倍數關系，最大公因數是15，最小公倍數是45。27和1827＝3×3×318＝2×3×327和18的最大公因數為：3×3＝927和18的最小公倍數是：2×3×3×3＝6×3×3＝18×3＝5411和7是互質數，最大公因數是1，最小公倍數是11×7＝77；所以：14和8的最大公因數是2，最小公倍數是56；15和45的最大公因數是15，最小公倍數是45；27和18的最大公因數是9，最小公倍數是54；11和7的最大公因數是1，最小公倍數是77。15．12；727；4911；1101；117【分析】如果兩個數成倍數關系，較小的那個數是兩個數的最大公因數，較大的那個數，是這兩個數的最小公倍數；先把兩個數分解質因數，這兩個數的共有質因數的連乘積就是最大公因數，這兩個數的共有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數，據此解答。【詳解】由分析可得：24和3624＝2×2×2×336＝2×2×3×324和36的最大公因數為：2×2×3＝4×3＝1224和36的最小公倍數是：2×2×3×2×3＝4×3×2×3＝12×2×3＝24×3＝727和49是倍數關系，最大公因數是7，最小公倍數是49。22和5522＝2×1155＝5×1122和55的最大公因數為：1122和55的最小公倍數是：2×11×5＝22×5＝11013和9是互質數，最大公因數是1，最小公倍數是13×9＝117；綜上所述：24和36最大公因數是12，最小公倍數是72；7和49最大公因數是7，最小公倍數是49；22和55最大公因數是11，最小公倍數是110；13和9最大公因數是1，最小公倍數是117。16．5和30；13和78；8和96【分析】兩個數為倍數關系，則最大公因數是較小的數，最小公倍數為較大的數；先把要求的兩個數分別分解質因數，然后把它們公有的質因數連乘起來，所得的積就是它們的最大公因數，它們公有的質因數和各自獨有的質因數連乘起來就是它們的最小公倍數。【詳解】30是5的倍數，所以5和30的最大公因數是5，最小公倍數是30；所以26和39的最大公因數是13，最小公倍數是＝6×13＝78所以24和32的最大公因數是2×2×2＝4×2＝8最小公倍數是2×2×2×2×2×3＝4×2×2×2×3＝8×2×2×3＝16×2×3＝32×3＝9617．16和24的最大公因數是8，最小公倍數是48；7和9的最大公因數是1，最小公倍數是63；30和15的的最大公因數是15，最小公倍數是30。【分析】把兩個數分解質因數后，兩個數公有的質因數的積就是這兩個數的最大公因數；兩個數公有的質因數與這兩個數獨有的質因數的積就是這兩個數的最小公倍數。據此解答。【詳解】16和2416＝2×2×2×224＝2×2×2×316和24的最大公因數是：2×2×2＝816和24的最小公倍數是：2×2×2×2×3＝487和97和9是互質數，7和9的最大公因數是1，最小公倍數是63；30和1530是15的倍數，那么30和15的的最大公因數是15，最小公倍數是30。【點睛】掌握兩個數的最大公因數和最小公倍數的求法是解答引此題的關鍵。18．9和10的最大公因數是1，最小公倍數是90；12和18的最大公因數是6，最小公倍數是36；34和51的最大公因數是17，最小公倍數是102。【分析】求最大公約數也就是這幾個數的公有質因數的連乘積，最小公倍數是共有質因數與獨有質因數的連乘積，由此解決問題即可。【詳解】9和10是互質數，所以9和10的最大公因數是1，最小公倍數是9×10＝90；12＝2×3×2，18＝2×3×3，所以12和18的最大公因數是2×3＝6，最小公倍數是2×3×2×3＝36；34＝17×2，51＝17×3，所以34和51的最大公因數是：17，最小公倍數是：17×2×3＝102；【點睛】熟練掌握求兩個數最大公因數和最小公倍數的方法是解決此題的關鍵。19．18和24的最大公因數是6，最小公倍數是72；13和21的最大公因數是1，最小公倍數是273；65和20的最大公因數是5，最小公倍數是260；51和17的最大公因數是17，最小公倍數是51。【分析】最大公因數也就是這幾個數的公有質因數的連乘積，最小公倍數是公有質因數與獨有質因數的連乘積；有倍數關系的兩個數的最大公因數是兩個數中較小的那個數，最小公倍數是較大的數；如果兩個數是互質數，它們的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積，由此解決問題即可。【詳解】18＝2×3×324＝2×2×2×3所以（18，24）＝2×3＝6，[18，24]＝2×2×2×3×3＝72；13和21是互質數所