2025年加拿大數學競賽（CMO）模擬試卷：組合數學與數論進階試題解析與攻克技巧一、組合數學要求：本題主要考察組合數學中的排列組合、組合數、二項式定理等知識點，要求學生能夠熟練運用組合數學的基本概念和公式解決實際問題。1.有5個不同的球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，有多少種不同的放法？2.有一批商品共有10種不同的顏色和5種不同的尺寸，現要從中選取3種顏色和2種尺寸，使得每種顏色至少選取一種，每種尺寸也至少選取一種，問有多少種不同的選取方式？3.有一組數據{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，從中選取3個不同的數，使得它們的和為15，問有多少種不同的選取方式？4.有5個不同的球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且盒子1中放2個球，盒子2中放3個球，盒子3中放1個球，問有多少種不同的放法？5.有一批商品共有10種不同的顏色和5種不同的尺寸，現要從中選取3種顏色和2種尺寸，使得每種顏色至少選取一種，每種尺寸也至少選取一種，且選取的顏色和尺寸不重復，問有多少種不同的選取方式？二、數論要求：本題主要考察數論中的同余、最大公約數、最小公倍數、素數、歐拉函數等知識點，要求學生能夠熟練運用數論的基本概念和公式解決實際問題。1.已知a和b是兩個正整數，且a≠b，若a2+5b2=2016，求a和b的最大公約數。2.已知a和b是兩個正整數，且a≠b，若a2-5b2=2016，求a和b的最小公倍數。3.已知a和b是兩個正整數，且a≠b，若a2+5b2=2016，求a和b的歐拉函數φ(a)。4.已知a和b是兩個正整數，且a≠b，若a2-5b2=2016，求a和b的最大公約數和最小公倍數的乘積。5.已知a和b是兩個正整數，且a≠b，若a2+5b2=2016，求a和b的最大公約數和最小公倍數的乘積。三、數列與數列求和要求：本題主要考察數列的定義、通項公式、數列求和等知識點，要求學生能夠熟練運用數列的基本概念和公式解決實際問題。1.已知數列{an}的通項公式為an=3n-2，求前10項的和。2.已知數列{an}的通項公式為an=n2-n，求前n項的和。3.已知數列{an}的通項公式為an=2n+1，求前n項的和。4.已知數列{an}的通項公式為an=n2-n+1，求前n項的和。5.已知數列{an}的通項公式為an=3n2-2n+1，求前n項的和。四、概率論要求：本題主要考察概率論的基本概念、概率計算、條件概率、獨立事件等知識點，要求學生能夠運用概率論的基本原理解決實際問題。1.一個袋子里有5個紅球和3個藍球，隨機取出兩個球，求取出的兩個球都是紅球的概率。2.一個盒子中有10個球，其中有3個白球、5個黑球和2個紅球。隨機取出3個球，求取出的球中有至少一個白球的概率。3.一個班級有30名學生，其中有18名男生和12名女生。隨機選擇3名學生參加比賽，求選出的3名學生中至少有2名男生的概率。4.拋擲兩個公平的六面骰子，求兩個骰子的點數之和為7的概率。5.一批產品中有90%是合格品，10%是次品。從這批產品中隨機抽取3件產品，求抽出的3件產品中至少有1件次品的概率。五、函數與方程要求：本題主要考察函數的定義、性質、圖像、方程的解法等知識點，要求學生能夠運用函數和方程的基本原理解決實際問題。1.已知函數f(x)=2x-3，求f(5)的值。2.已知函數f(x)=x2+4x+3，求f(-1)的值。3.已知函數f(x)=3x+2，求f(x)=11時的x值。4.已知函數f(x)=x2-4x+4，求f(x)=0時的x值。5.已知方程2x+3=5，求x的值。六、幾何學要求：本題主要考察幾何圖形的性質、計算、證明等知識點，要求學生能夠運用幾何學的原理解決實際問題。1.在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=3cm，BC=4cm，求AB的長度。2.一個圓的半徑為5cm，求該圓的周長和面積。3.一個正方形的邊長為6cm，求該正方形的對角線長度。4.在等腰三角形ABC中，AB=AC=8cm，∠B=60°，求BC的長度。5.一個圓的直徑為10cm，求該圓內接正方形的邊長。本次試卷答案如下：一、組合數學1.解析：這是一個典型的隔板法問題。可以將5個球看作5個相同的物品，3個盒子看作2個隔板，將物品放入盒子之間。共有4個空隙可以插入隔板，所以總共有C(4,2)=6種不同的放法。2.解析：首先從10種顏色中選取3種，有C(10,3)種方法。然后從5種尺寸中選取2種，有C(5,2)種方法。根據乘法原理，總共有C(10,3)*C(5,2)=120*10=1200種不同的選取方式。3.解析：這是一個組合問題，可以通過枚舉所有可能的組合來求解。可能的組合有(1,2,12),(1,3,11),(1,4,10),(1,5,9),(2,3,10),(2,4,9),(2,5,8),(3,4,8),(3,5,7),(4,5,6)。共有10種不同的選取方式。4.解析：這是一個排列問題。首先從5個球中選取2個放入盒子1，有C(5,2)種方法。然后從剩下的3個球中選取3個放入盒子2，有C(3,3)種方法。最后剩下的1個球放入盒子3。根據乘法原理，總共有C(5,2)*C(3,3)=10*1=10種不同的放法。5.解析：這是一個組合問題，但需要考慮顏色的重復。首先從10種顏色中選取3種，有C(10,3)種方法。然后從5種尺寸中選取2種，有C(5,2)種方法。由于顏色和尺寸不能重復，所以需要減去顏色和尺寸都相同的組合，即C(5,1)*C(4,1)。總共有C(10,3)*C(5,2)-C(5,1)*C(4,1)=1200-20=1180種不同的選取方式。二、數論1.解析：首先分解2016的因數，得到2016=2^5*3^2*7。由于a2+5b2=2016，a和b必須同奇偶性，且a和b的奇偶性必須與3的指數相同。因此，a和b的最大公約數可能是2^5或2^4或2^3或2^2或2^1或2^0，即32或16或8或4或2或1。2.解析：與第一題類似，a和b的最小公倍數取決于a和b的奇偶性和3的指數。因此，a和b的最小公倍數可能是2^5*3^2*7或2^4*3^2*7或2^3*3^2*7或2^2*3^2*7或2^1*3^2*7或2^0*3^2*7，即2016或1008或504或252或126或63。3.解析：歐拉函數φ(a)是小于等于a的正整數中與a互質的數的個數。由于a2+5b2=2016，a和b的奇偶性必須相同，且a和b的奇偶性必須與3的指數相同。因此，φ(a)取決于a和b的奇偶性和3的指數。可能的φ(a)值為2016*(1-1/2)*(1-1/3)=1008或2016*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/7)=504。4.解析：最大公約數和最小公倍數的乘積等于a和b的乘積。由于a2-5b2=2016，a和b的奇偶性必須相同，且a和b的奇偶性必須與3的指數相同。因此，a和b的乘積可能是2016或1008或504或252或126或63。5.解析：與第四題類似，最大公約數和最小公倍數的乘積取決于a和b的奇偶性和3的指數。因此，a和b的最大公約數和最小公倍數的乘積可能是2016或1008或504或252或126或63。三、數列與數列求和1.解析：數列{an}的通項公式為an=3n-2，前10項的和S10=(a1+a10)*10/2=(1+28)*10/2=145。2.解析：數列{an}的通項公式為an=n2-n，前n項的和Sn=n(n+1)(2n+1)/6。3.解析：數列{an}的通項公式為an=2n+1，前n項的和Sn=n(n+1)。4.解析：數列{an}的通項公式為an=n2-n+1，前n項的和Sn=n(n+1)(2n+1)/6。5.解析：數列{an}的通項公式為an=3n2-2n+1，前n項的和Sn=n(n+1)(2n+1)/2。四、概率論1.解析：取出的第一個球是紅球的概率是5/8，第二個球也是紅球的概率是4/7。因此，兩個球都是紅球的概率是5/8*4/7=5/14。2.解析：取出的第一個球不是白球的概率是7/10，第二個球不是白球的概率是6/9，第三個球不是白球的概率是5/8。因此，至少有一個白球的概率是1-(7/10*6/9*5/8)=1-7/24=17/24。3.解析：至少有2名男生的概率等于有2名男生和1名女生的概率加上有3名男生的概率。有2名男生和1名女生的概率是C(18,2)*C(12,1)/C(30,3)，有3名男生的概率是C(18,3)/C(30,3)。總概率是這兩個概率的和。4.解析：兩個骰子的點數之和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6種。因此，兩個骰子的點數之和為7的概率是6/36=1/6。5.解析：至少有1件次品的概率等于1減去所有都是合格品的概率。所有都是合格品的概率是(90/100)^3。因此，至少有1件次品的概率是1-(90/100)^3。五、函數與方程1.解析：將x=5代入函數f(x)=2x-3，得到f(5)=2*5-3=7。2.解析：將x=-1代入函數f(x)=x2+4x+3，得到f(-1)=(-1)2+4*(-1)+3=1-4+3=0。3.解析：令f(x)=11，即3x+2=11，解得x=3。4.解析：令f(x)=0，即x2-4x+4=0，這是一個完全平方公式，解得x=2。5.解析：直接解方程2x+3=5，得到x=1。六、幾何學1.解析：根據勾股定理，AB2=AC2+BC2，所以AB=√(32+42)=√(9+16)=√25=5cm。2.解析：圓的周長C=2πr，圓的面積A=πr2。所以周長C=2π*5=10πcm，面積A=π*52=25πcm2。3.解析：正方形的對角線長度d=√(邊長2+邊長2)=√(62+62)=