2025年高考數學模擬檢測卷（立體幾何難點突破策略）一、選擇題要求：請從下列各題給出的四個選項中，選擇一個正確答案。1.已知三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC，點E是底面ABC的邊BC上的動點，則三棱錐S-ABC的體積為定值的是（）A.當E為BC中點時B.當E為BC端點時C.當E為AB中點時D.當E為AC中點時2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=1，AD=2，AA1=3，則該長方體的對角線A1D1的長度為（）A.5B.$\sqrt{14}$C.$\sqrt{15}$D.$\sqrt{18}$二、填空題要求：請將正確答案填入空格中。3.在正四面體P-ABC中，PA=PB=PC=1，則BC的中點到頂點P的距離為________。4.若三棱錐V-ABC的側棱VA=VB=VC，底面ABC是邊長為a的等邊三角形，則三棱錐V-ABC的體積為________。三、解答題要求：解答下列各題。5.已知三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，底面ABC是邊長為4的等邊三角形，求三棱錐P-ABC的體積。6.在三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC=2，點D、E、F分別在側棱SB、SC、SA上，且滿足SD=2SB，SE=3SC，SF=2SA，求點D、E、F所在平面的面積。四、證明題要求：證明下列各題。7.證明：若三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，底面ABC是邊長為a的等邊三角形，則PA⊥底面ABC。五、計算題要求：計算下列各題。8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=1，求對角線AC1的長度。9.在三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC=3，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，求三棱錐S-ABC的體積。六、綜合題要求：解答下列綜合題。10.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，底面ABC是邊長為4的等邊三角形，點D、E分別在側棱SB、SC上，且滿足SD=2SB，SE=3SC，求點D、E所在平面的面積，并證明該平面與底面ABC垂直。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：因為SA=SB=SC，所以三棱錐S-ABC的底面ABC是等邊三角形，其高為定值，所以體積為定值。2.B解析：長方體ABCD-A1B1C1D1的對角線A1D1可以通過勾股定理計算，A1D1的長度為$\sqrt{AB^2+AD^2+AA1^2}=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$。二、填空題3.$\frac{\sqrt{3}}{2}$解析：在正四面體P-ABC中，BC的中點到頂點P的距離等于側棱長的一半，即$\frac{1}{2}PA=\frac{\sqrt{2}}{2}$。4.$\frac{1}{3}\sqrt{3}a^2$解析：三棱錐V-ABC的體積公式為$\frac{1}{3}\times\text{底面積}\times\text{高}$，底面ABC是邊長為a的等邊三角形，高為$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，所以體積為$\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\times\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{1}{3}\sqrt{3}a^2$。三、解答題5.解：底面ABC是邊長為4的等邊三角形，其高為$2\sqrt{3}$，所以底面積$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times4^2=4\sqrt{3}$。三棱錐P-ABC的體積$V_{P-ABC}=\frac{1}{3}\timesS_{ABC}\timesPA=\frac{1}{3}\times4\sqrt{3}\times2=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。6.解：因為SD=2SB，SE=3SC，SF=2SA，所以點D、E、F將側棱SB、SC、SA三等分。因此，點D、E、F所在平面為三棱錐S-ABC的底面ABC，其面積為$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}$。四、證明題7.解：因為PA=PB=PC，底面ABC是等邊三角形，所以PA、PB、PC兩兩垂直。又因為SD=2SB，SE=3SC，SF=2SA，所以SD、SE、SF兩兩垂直。由于SD、SE、SF都在平面SDF內，且它們兩兩垂直，所以平面SDF是垂直于底面ABC的平面，因此PA⊥底面ABC。五、計算題8.解：正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線AC1可以通過勾股定理計算，AC1的長度為$\sqrt{AB^2+BC^2+AA1^2}=\sqrt{1^2+1^2+3^2}=\sqrt{11}$。9.解：底面ABC是邊長為2的等邊三角形，其高為$\sqrt{3}$，所以底面積$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}$。三棱錐S-ABC的體積$V_{S-ABC}=\frac{1}{3}\timesS_{ABC}\timesSA=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times3=\sqrt{3}$。六、綜合題10.解：同題5，底面ABC的面積為$4\sqrt{3}$，點D、E所在平面為三棱錐P-ABC的底面ABC，