高中數學：函數性質知識點

一、單調性的證明方法：定義法及導數法

1、定義法：利用定義證明函數單調性的一般步驟

是：①任取xl、X2GD,且xl<x2；

②作差f(xl)—f(x2),并適當變形(“分解因式”、配

方成同號項的和等)；

③依據差式的符號確定其增減性。

2、導數法：

設函數y=f(x)在某區間D內可導。如果f(x)>0,

則f(x)在區間D內為增函數；如果F(x)<0,則f(x)

在區間D內為減函數。

補充

a.若使得F(x)=O的x的值只有有限個，則如果

fr(x)>0,則f(x)在區間D內為增函數；如果

f(x)<0,則f(x)在區間D內為減函數。

b.單調性的判斷方法：定義法及導數法、圖象法、

復合函數的單調性(同增異減)、用已知函數的單調

性等。

二、單調性的有關結論

1、若f(x),g(x)均為增(減)函數，則f(x)+g(x)仍

為增(減)函數。

2、互為反函數的兩個函數有相同的單調性。

3^y=f[g(x)]是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)

的單調性相同，則其復合函數f[g(x)]為增函數；

若f(x)、g(x)的單調性相反，則其復合函數f[g(x)]

為減函數，簡稱''同增異減

4、奇函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性

相同；偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調

性相反。

一、簡單性質:

1、圖象的對稱性質：一個函數是奇函數的充要條

件是它的圖象關于原點對稱；一個函數是偶函數的

充要條件是它的圖象關于y軸對稱；

2、設f(x),g(x)的定義域分別是DI,D2那么在

它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇、奇=偶，偶+

偶=偶,偶義偶=偶,奇、偶=奇

3、任意一個定義域關于原點對稱的函數f(x)均可

寫成一個奇函數g(x)與一個偶函數h(x)和的形

/《）一/（-A力⑴=）

則秒')=

式,

4、奇偶函數圖象的對稱性

(1)若y=f(a+x)是偶函數，則f(a+x)=f(a-

x)-f(2a-x)=f(x)-f(x)的圖象關于直線x=a對稱；

(2)若y=f(b+x)是偶函數，則f(b-x)=-

f(b+x)-f(2a-x)=-f(x)一f(x)的圖象關于點(b,0)中

心對稱

5、一些重要類型的奇偶函數:

(1)函數/(*)="'+「是偶函數，函數/@)=優—CL是奇函數;

(2).數/(#="_"-="二2?/>0且是奇函數；

。*+以7(rx-t-l

1V

⑶函數f(x)=low二-(t/>0且是奇函數；

i1+X

(4)函數/(a)=log(工+，/+1)(?>0且4=1)是奇函數e

一、重要結論

1、f(x+a)=f(x),則y=f(x)是以T=a為周期的周期

函數；

2、若函數y=f(x)滿足f(x+a尸-f(x)(a>0),貝I」f(x)為

周期函數且2a是它的一個周期。

3、若函數f(x+a)=f(x-a),則是以T=2a為周期的

周期函數

4、y=f(x)滿足f(x+a)=l/f(x)(a>0),則f(x)為周期

函數且2a是它的一個周期。

5、若函數y=f(x)滿足f(x+a)=-l/f(x)(a>0),則f(x)

為周期函數且2a是它的一個周期。

6、f(x+a)={l-f(x)}/{l+f(x)},則是以T=2a為周

期的周期函數。

7、f(x+a)={l-f(x)}/{l+f(x)},則是以T=4a為周

期的周期函數。

8、若函數y=f(x)滿足f(x+a)={1-

f(x)}/{l+f(x)}(xeR,a>0),則f(x)為周期函數且

4a是它的一個周期。

9、若函數y=f(x)的圖像關于直線x=a,x=b(b>a)都

對稱，則f(x)為周期函數且2(b-a)是它的一個周

期。

10、函數y=f(x)x￡R的圖象關于兩點A(a,y)、

B(b,y),a<b都對稱，則函數是以2(b-a)為周期的周

期函數；

11、函數y=f(x)(x￡R)的圖象關于A(a,y)和直線

x=b(a<b)都對稱,則函數f(x)是以4(b-a)為周期

的周期函數；

12、若偶函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱,

則f(x)為周期函數且2a的絕對值是它的一個周

期。

13、若奇函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱，

則f(x)為周期函數且4a