探索并證明正方形的性質(zhì)和判定定理，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.會應用正方形的性質(zhì)和判定定理解決相關(guān)證明及計算問題.菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)邊:四條邊相等對角線:互相垂直平分分別平分兩組對角角:具有平行四邊形一切性質(zhì)對角相等,鄰角互補平行四邊形有哪些性質(zhì)?矩形與平行四邊形比較有哪些特殊的性質(zhì)?平行四邊形邊:角:對角線:對邊平行且相等對角相等,鄰角互補對角線互相平分矩形角:四個角是直角對角線:對角線相等且互相平分邊：對邊平行且相等

矩形〃〃問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？正方形問題2：菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？正方形鄰邊相等矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個角是直角正方形∟正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.

定義法菱形法矩形法(1)有一組鄰邊相等且有一個角是直角的的平行四邊形是正方形.(2)有一個角是直角的菱形是正方形.(3)有一組鄰邊相等的矩形是正方形.正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.正方形是中心對稱圖形,對稱中心為點O.它也是軸對稱圖形,有4條對稱軸.(1)它具有平行四邊形的一切性質(zhì)兩組對邊分別平行且相等，兩組對角相等，對角線互相平分.(2)具有矩形的一切性質(zhì)四個角都是直角，對角線相等.(3)具有菱形的一切性質(zhì)四條邊相等；對角線互相垂直，每條對角線平分一組對角.OABCD(A)(B)(C)(D)對稱性特殊性質(zhì)1.正方形ABCD，對角線交于0，(1)若AB=2㎝，則AC=_____,OA=_____,周長____，面積_____.(2)若OB=2㎝，則AC=_____,AB=_____,周長____，面積_____.(3)若AC+BD=8㎝，則AC=_____,AB=_____,正方形面積_____.2.已知正方形的面積為9cm,它的周長為_______.3.正方形的邊長為a,當邊長增加1時,其面積增加了_______.OABCD你能從這個變化過程中總結(jié)出一種正方形的判定方法嗎？邊相等有一組鄰操作1：你能否利用手中的矩形白紙裁出一個正方形呢？請你與同學交流一下，你能說說矩形與正方形的關(guān)系嗎？總結(jié)：矩形+（）=正方形判定方法：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.判定方法：有一個角是直角的菱形是正方形.是直角有一個角操作2:你能否利用手中的可以活動的菱形模型變成一個正方形嗎？如何變？總結(jié)：菱形+（）=正方形你能從這個變化過程中總結(jié)出一種正方形的判定方法嗎？判定方法：有一個角是直角一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形.邊相等有一組鄰是直角有一個角思考：如果是平行四邊形呢？（）+（）+平行四邊形=正方形.邊相等有一組鄰是直角有一個角你能從這個變化過程中總結(jié)出一種正方形的判定方法嗎？例1：如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形.求證：∠EAD＝∠EDA＝15°

.證明：∵

ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大小．解：當?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；當?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.【點睛】因為等邊△ADE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部．例2：如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點，PE⊥BC于E，

PF⊥DC于F.試說明：AP=EF.ABCDPEF解:連接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°,AC垂直平分BD,∴四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.【點睛】在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對角線構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，等腰三角形等來說明.例3：在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB

，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四邊形ADFC是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四邊形ADFC是正方形.例4：如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG例5：如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACDOEHGF∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO