PAGEPAGE18第四節(jié)力的合成與分解[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.嫻熟駕馭力的合成與分解所遵循的平行四邊形定則.2.會用作圖法和計算法進(jìn)行合力與分力的計算.3.能夠在實際問題中依據(jù)力的實際作用效果進(jìn)行力的合成與分解.4.能運用力的正交分解法求解問題．一、力的平行四邊形定則1．定義：假如用表示兩個共點力的線段為鄰邊作一個平行四邊形，則這兩個鄰邊之間的對角線就表示合力的大小和方向．2．理解：在平行四邊形中，兩條鄰邊表示分力的大小和方向，這兩條鄰邊所夾的對角線表示合力的大小和方向．二、合力的計算1．作圖法：依據(jù)平行四邊形定則作出力的圖示，然后用刻度尺和量角器測出合力的大小和方向(夾角)．2．計算法：依據(jù)平行四邊形定則作出力的示意圖，然后應(yīng)用幾何學(xué)問求解合力的大小和方向(夾角)．三、分力的計算1．分力的計算就是合力運算的逆運算．2．分解的多解性：假如沒有限制，同一個力可分解為多數(shù)對大小和方向都不同的分力．3．分解的實效性：在進(jìn)行力的分解時，一般先依據(jù)力的作用效果來確定分力的方向，再依據(jù)平行四邊形定則來計算分力的大?。茢嘞铝姓f法的正誤．(1)合力總比分力大．(×)(2)一個力F分解為兩個力F1、F2，則F1、F2共同作用的效果與F相同．(√)(3)當(dāng)兩個力的大小不變時，它們的合力大小也不變．(×)(4)力的合成遵循平行四邊形定則，而力的分解不遵循平行四邊形定則．(×)一、合力與分力的關(guān)系(1)假設(shè)兩個學(xué)生用大小均為100N的力一起拎起一桶水，則兩個學(xué)生對水桶的合力肯定是200N嗎？(2)要想省力，兩個學(xué)生拉力間的夾角應(yīng)大些還是小些？為什么？答案(1)不肯定．當(dāng)兩個學(xué)生所施加的拉力成一夾角時，這兩個拉力的合力小于200N.(2)夾角應(yīng)小些．提水時兩個學(xué)生對水桶拉力的合力大小等于一桶水所受的重力，合力不變時，兩分力的大小會隨著兩個分力之間夾角的減小而減小，因此夾角越小越省力．合力與分力的關(guān)系兩分力大小不變時，合力F隨兩分力夾角θ的增大而減小，隨θ的減小而增大．(1)兩分力同向(θ＝0°)時，合力最大，F(xiàn)＝F1＋F2，合力與分力同向．同．(3)合力的取值范圍：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.合力可能大于某一分力，可能小于某一分力，也可能等于某一分力．例1兩個力F1和F2間的夾角為θ，兩個力的合力為F.以下說法正確的是()A．若F1和F2大小不變，θ角越小，合力F就越小B．合力F可能比任何一個分力都小C．合力F總比任何一個分力都大D．假如夾角θ不變，F(xiàn)1大小不變，只要F2增大，合力F就必定增大答案B解析若F1和F2大小不變，θ角越小，合力F越大，故A錯誤；由力的合成方法可知，兩個力合力的范圍為|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以合力有可能大于任一分力，也可能小于任一分力，還可能與兩個分力都相等，故B正確，C錯誤；假如夾角θ不變，F(xiàn)1大小不變，F(xiàn)2增大，合力可能增大，可能減小，如圖所示，故D錯誤．二、合力的計算1．作圖法(如圖1所示)圖12．計算法(1)兩分力共線時：①若F1、F2兩力同向，則合力F＝F1＋F2，方向與兩力同向．②若F1、F2兩力反向，則合力F＝|F1－F2|，方向與兩力中較大的力同向．(2)兩分力不共線時：可以依據(jù)平行四邊形定則作出力的示意圖，然后由幾何關(guān)系求解對角線，其長度即為合力大小．以下為兩種特別狀況：①相互垂直的兩個力的合成：F＝eq\r(F\o\al(12)＋F\o\al(22))，F(xiàn)與F1的夾角的正切值tanα＝eq\f(F2,F1)，如圖2所示．圖2②兩個等大的力的合成：平行四邊形為菱形，利用其對角線相互垂直平分的特點可解得F合＝2Fcosα，如圖3所示．圖3圖4若2α＝120°，則合力大小等于分力大小(如圖4所示)．例2楊浦大橋是繼南浦大橋之后又一座跨越黃浦江的我國自行設(shè)計建立的雙塔雙索面迭合梁斜拉橋，如圖5所示．挺立高聳的208米主塔似一把利劍直刺蒼穹，塔的兩側(cè)32對鋼索連接主梁，呈扇面綻開，如巨型琴弦，正彈奏著巨龍騰飛的奏鳴曲．假設(shè)斜拉橋中某對鋼索與豎直方向的夾角都是30°，每根鋼索中的拉力都是3×104N，那么它們對塔柱形成的合力有多大？方向如何？圖5答案5.2×104N方向豎直向下解析把兩根鋼索的拉力看成沿鋼索方向的兩個分力，以它們?yōu)猷忂叜嫵鲆粋€平行四邊形，其對角線就表示它們的合力．由對稱性可知，合力方向肯定沿塔柱豎直向下．下面用兩種方法計算這個合力的大小：方法一：作圖法(如圖甲所示)自O(shè)點引兩根有向線段OA和OB，它們跟豎直方向的夾角都為30°.取單位長度為1×104N，則OA和OB的長度都是3個單位長度．量得對角線OC長為5.2個單位長度，所以合力的大小為F＝5.2×1×104N＝5.2×104N.方法二：計算法依據(jù)這個平行四邊形是一個菱形的特點，如圖乙所示，連接AB，交OC于D，則AB與OC相互垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝eq\f(1,2)OC.考慮直角三角形AOD，其∠AOD＝30°，而OD＝eq\f(1,2)OC，則有F＝2F1cos30°＝2×3×104×eq\f(\r(3),2)N≈5.2×104N.1．作圖法求合力時，各個力的圖示必需采納同一標(biāo)度，并且所選力的標(biāo)度的比例要適當(dāng)．2．平行四邊形定則是矢量運算的通用法則，適用于任何矢量的運算．例3如圖6所示，兩個人共同用力將一個牌匾拉上墻頭．其中一人用了450N的拉力，另一個人用了600N的拉力，假如這兩個人所用拉力的夾角是90°，求它們的合力．(已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)圖6答案750N，方向與較小拉力的夾角為53°解析設(shè)F1＝450N，F(xiàn)2＝600N，合力為F.由于F1與F2間的夾角為90°，依據(jù)勾股定理，得F＝eq\r(4502＋6002)N＝750N，合力F與F1的夾角θ的正切tanθ＝eq\f(F2,F1)＝eq\f(600,450)＝eq\f(4,3)，所以θ＝53°，即合力的方向與較小拉力的夾角為53°.三、分力的計算如圖7所示，人拉著旅行箱前進(jìn)，拉力F與水平方向成α角：圖7(1)拉力產(chǎn)生了什么效果？按力的作用效果分解力，則拉力的兩分力大小分別為多少？(2)若以物體(可以看成質(zhì)點)為原點，沿水平向右為x軸，豎直向上為y軸建立坐標(biāo)系，拉力F在x軸、y軸方向的分力分別為多大？答案(1)拉力產(chǎn)生兩個效果：向前拉箱；向上提箱．力的分解圖如圖所示，F(xiàn)1＝Fcosα，F(xiàn)2＝Fsinα.(2)如圖所示，F(xiàn)1＝Fcosα，F(xiàn)2＝Fsinα.力的分解的方法1．按力的效果進(jìn)行分解(1)先依據(jù)力的實際作用效果確定兩個分力的方向；(2)再依據(jù)兩個分力的方向畫出平行四邊形；(3)依據(jù)力的平行四邊形定則和所學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)問求出兩分力的大小和方向．2．正交分解法(1)定義：把力沿著兩個選定的相互垂直的方向分解的方法．(2)正交分解法求合力的步驟：①建立坐標(biāo)系：以共點力的作用點為坐標(biāo)原點，直角坐標(biāo)系x軸和y軸的選擇應(yīng)使盡量多的力在坐標(biāo)軸上．②正交分解各力：將每一個不在坐標(biāo)軸上的力分解到x軸和y軸上，并求出各分力的大小，如圖8所示．圖8③分別求出x軸、y軸上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，F(xiàn)y＝F1y＋F2y＋….④求共點力的合力：合力大小F＝eq\r(F\o\al(x2)＋F\o\al(y2))，設(shè)合力的方向與x軸的夾角為α，則tanα＝eq\f(Fy,Fx).例4如圖9所示，光滑固定斜面的傾角為θ，有兩個相同的小球，小球所受重力均為G，分別用光滑擋板A、B攔住，擋板A沿豎直方向，擋板B垂直于斜面，則球1對擋板的壓力F1＝________，對斜面的壓力F2＝________；球2對擋板的壓力F3＝______，對斜面的壓力F4＝________.圖9答案Gtanθeq\f(G,cosθ)GsinθGcosθ解析球1所受的重力有兩個作用效果．第一，使小球垂直擠壓擋板；其次，使小球壓緊斜面．因此，力的分解如圖甲所示，由此得兩個分力的大小分別為F1＝Gtanθ，F(xiàn)2＝eq\f(G,cosθ).球2所受重力G有兩個作用效果．第一，使小球垂直擠壓擋板；其次，使小球壓緊斜面．因此力的分解如圖乙所示，由此可得兩個分力的大小分別為F3＝Gsinθ，F(xiàn)4＝Gcosθ.按實際效果分解的幾個實例實例產(chǎn)生效果分析水平地面上物體受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物體沿水平地面前進(jìn)，另一方面對上提物體，因此拉力F可分解為水平向前的力F1和豎直向上的力F2.F1＝Fcosα，F(xiàn)2＝Fsinα.質(zhì)量為m的物體靜止在斜面上，其重力產(chǎn)生兩個效果：一是使物體具有沿斜面下滑趨勢，二是使物體壓緊斜面．因此重力可分解為沿斜面的分力F1和垂直于斜面的分力F2.F1＝mgsinα，F(xiàn)2＝mgcosα.質(zhì)量為m的光滑小球被豎直擋板攔住而靜止于斜面上時，其重力產(chǎn)生兩個效果：一是使球壓緊擋板，二是使球壓緊斜面．因此重力可以分解為垂直于擋板的分力F1和垂直于斜面的分力F2.F1＝mgtanα，F(xiàn)2＝eq\f(mg,cosα).質(zhì)量為m的光滑小球被懸線掛靠在豎直墻壁上，其重力產(chǎn)生兩個效果：一是使球壓緊豎直墻壁，二是使球拉緊懸線．因此重力可以分解為垂直于墻壁的分力F1和沿著繩的分力F2.F1＝mgtanα，F(xiàn)2＝eq\f(mg,cosα).A、B兩點位于同一平面上，質(zhì)量為m的物體被AO、BO兩線拉住，其重力產(chǎn)生兩個效果：一是使物體拉緊AO線，二是使物體拉緊BO線．因此重力可以分解為沿AO線的分力F1和沿BO線的分力F2.F1＝F2＝eq\f(mg,2sinα).質(zhì)量為m的物體被支架懸掛而靜止，其重力產(chǎn)生兩個效果：一是拉伸AB，二是壓縮BC.因此重力可以分解為沿AB的分力F1和沿BC的分力F2.F1＝mgtanα，F(xiàn)2＝eq\f(mg,cosα).例5如圖10所示，甲、乙、丙三個物體質(zhì)量相同，與地面間的動摩擦因數(shù)相同，受到三個大小相同的作用力F，當(dāng)它們滑動時，下列說法正確的是()圖10A．甲、乙、丙所受摩擦力相同B．甲受到的摩擦力最大C．乙受到的摩擦力最大D．丙受到的摩擦力最大答案C乙＝mg＋Fsinθ，F(xiàn)N丙＝mg，因它們均相對地面滑動，由f＝μFN知，f乙＞f丙＞f甲，故C正確．坐標(biāo)軸的選取原則：坐標(biāo)軸的選取是隨意的，為使問題簡化，建立坐標(biāo)系時坐標(biāo)軸的選取一般有以下兩個原則：(1)使盡量多的力處在坐標(biāo)軸上．(2)盡量使某一軸上各分力的合力為零．1．(合力與分力的關(guān)系)(多選)關(guān)于兩個大小不變的共點力F1、F2與其合力F的關(guān)系，下列說法中正確的是()A．F的大小隨F1、F2間夾角的增大而減小(夾角小于180°時)B．F的大小不能大于F1、F2中最大者C．F1增加10N，F(xiàn)2削減10N，F(xiàn)肯定不變D若F1、F2中的一個增大，F(xiàn)不肯定增大答案AD解析合力隨兩分力間夾角的增大而減小(夾角小于180°時)，合力大小的范圍為|F1－F2|≤F≤F1＋F2，例如，當(dāng)F1＝5N、F2＝6N時，1N≤F≤11N，F(xiàn)可以比F1、F2中的最小者小，也可以比F1、F2中的最大者大，故A正確，B錯誤．F1增大10N，F(xiàn)2減小10N，若二者方向相反，F(xiàn)＝|F1－F2|，此時合力F可能增加20N，故C錯誤；若F1、F2中的一個增大，F(xiàn)可能增大，也可能減小，還可能不變，故D正確．2．(合力大小范圍)兩個共點力的大小分別為F1＝15N，F(xiàn)2＝8N，它們的合力大小不行能等于()A．9NB．25NC．8ND．21N答案B解析F1、F2的合力范圍是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故7N≤F≤23N，不在此范圍的是25N，應(yīng)選擇B項．3．(按效果分解力)為了行車便利與平安，高大的橋要造很長的引橋，其主要目的是()A．減小過橋車輛受到的摩擦力B．減小過橋車輛的重力C．減小過橋車輛對引橋面的壓力D．減小過橋車輛的重力在平行于引橋面對下方向上的分力答案D解析如圖所示，重力G產(chǎn)生的效果是使物體下滑的分力F1和使物體壓斜面的分力F2，則F1＝Gsinθ，F(xiàn)2＝Gcosθ，傾角θ減小，F(xiàn)1減小，F(xiàn)2增大，高大的橋造很長的引橋主要目的是減小橋面的坡度，即減小過橋車輛的重力在平行于引橋面對下方向上的分力，使行車平安，D正確．4.(合力大小的計算)如圖11所示，水平地面上固定著一根豎直立柱，某人用繩子通過柱頂?shù)墓饣ɑ唽?00N的貨物拉住．已知人拉著繩子的一端，且該繩端與水平方向夾角為30°，則柱頂所受壓力大小為()圖11A．200NB．100eq\r(3)NC．100ND．50eq\r(3)N答案B解析對柱頂受力分析如圖所示，定滑輪只變更力的方向，不變更力的大小，所以繩的拉力F1＝F2＝100N，柱頂所受壓力大小F＝2F1cos30°＝2×100×eq\f(\r(3),2)N＝100eq\r(3)N，故B選項正確．5.(力的正交分解)如圖12所示，重100N的物體放在水平地面上，物體與水平地面間的動摩擦因數(shù)為0.25.物體在與水平方向成37°的拉力F＝60N作用下水平向右運動．(已知物體在豎直方向的合力為零．sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：圖12(1)物體受到的支持力；(2)物體受到的合外力．答案(1)64N，豎直向上(2)32N，水平向右解析(1)物體受到四個力作用：重力G、支持力FN、拉力F、摩擦力f.建立如圖所示直角坐標(biāo)系．在豎直方向Fsin37°＋FN－G＝0得：FN＝G－Fsin37°＝64N，方向豎直向上(2)物體和地面間的摩擦力f＝μFN＝16N在水平方向Fx＝Fcos37°－f＝(60×0.8－16)N＝32N即物體受到的合外力為32N，方向水平向右．一、選擇題考點一力的合成的理解與計算1．(多選)力是矢量，它的合成與分解遵循平行四邊形定則，則下列關(guān)于大小分別為7N和9N的兩個力的合力的說法正確的是()A．合力可能為3N B．合力不行能為9NC．合力肯定為16N D．合力可能為2N答案AD解析兩力合成時，有|F1－F2|≤F≤F1＋F2.當(dāng)兩力夾角為零時合力最大，最大值為9N＋7N＝16N；當(dāng)兩力夾角為180°時合力最小，最小值為9N－7N＝2N；故合力介于2N至16N之間，A、D正確，B、C錯誤．2．(2024·濟(jì)南一中期中)兩個大小相等的共點力F1、F2，當(dāng)它們之間的夾角為90°時，合力的大小為20N，則當(dāng)它們之間的夾角為120°時，合力的大小為()A．40NB．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)ND．10eq\r(3)N答案B解析設(shè)F1＝F2＝F，當(dāng)它們之間的夾角為90°時，如圖甲所示，由畫出的平行四邊形(為正方形)得合力為F合＝eq\r(F\o\al(12)＋F\o\al(22))＝eq\r(F2＋F2)＝eq\r(2)F.所以F＝eq\f(1,\r(2))F合＝eq\f(1,\r(2))×20N＝10eq\r(2)N.當(dāng)兩分力F1和F2之間夾角變?yōu)?20°時，同理畫出平行四邊形如圖乙所示．由于平行四邊形的一半為等邊三角形，所以其合力F′＝F1＝F2＝10eq\r(2)N.3．如圖1所示，輕繩上端固定在天花板上的O點，下端懸掛一個重為10N的物體A，B是固定的表面光滑的圓柱體．當(dāng)A靜止時，輕繩與天花板的夾角為30°，B受到繩的壓力是()圖1A．5NB．5eq\r(3)NC．10ND．10eq\r(3)N答案C4．如圖2甲所示，射箭時，若剛釋放的瞬間弓弦的拉力為100N，對箭產(chǎn)生的作用力為120N，其弓弦的拉力如圖乙中F1和F2所示，對箭產(chǎn)生的作用力如圖乙中F所示．弓弦的夾角α應(yīng)為(cos53°＝0.6)()圖2A．53°B．127°C．143°D．106°答案D解析F1＝F2，由題圖乙可知，合力F＝F1coseq\f(α,2)＋F2coseq\f(α,2)，可得α＝106°，選項D正確．考點二力的分解的理解及計算()圖3A．物體受到重力mg、FN、F1、F2四個力的作用B．物體只受到重力mg和斜面的支持力FN的作用C．F1是斜面作用在物體上使物體下滑的力，F(xiàn)2是物體對斜面的壓力D．力FN、F1、F2三力的作用效果與力mg、FN兩個力的作用效果相同答案BD解析由重力的作用效果分析，再由力產(chǎn)生的緣由進(jìn)行推斷，F(xiàn)1、F2兩個力是重力mg的兩個分力，其作用效果與重力mg相同，所以F2不是物體對斜面的壓力，物體只受重力mg和斜面的支持力FN的作用，故B、D正確．6．如圖4所示，一個半徑為r、重為G的光滑勻稱球，用長度為r的細(xì)繩掛在豎直光滑的墻壁上，則繩子的拉力FT和球?qū)Ρ诘膲毫N的大小分別是()圖4A．G，eq\f(G,2)B．2G，GC.eq\r(3)G，eq\f(\r(3)G,3)D.eq\f(2\r(3),3)G，eq\f(\r(3)G,3)答案D解析由題意可知：細(xì)繩與墻的夾角為30°，將重力按效果分解，如圖FT＝F1＝eq\f(G,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)GFN＝F2＝Gtan30°＝eq\f(\r(3),3)G7.如圖5所示，三段不行伸長的細(xì)繩OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它們共同懸掛一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定在水平天花板上和豎直墻上．若漸漸增加C端所掛重物的質(zhì)量，則最先斷的繩是()圖5A．必定是OAB．必定是OBC．必定是OCD．可能是OB，也可能是OC答案A解析OC下懸掛重物，它對O點的拉力等于重物的重力G.OC繩的拉力產(chǎn)生兩個效果：使OB在O點受到水平向左的力F1，使OA在O點受到沿繩子方向斜向下的力F2，F(xiàn)1、F2是G的兩個分力．由平行四邊形定則可作出力的分解圖如圖所示，當(dāng)漸漸增大所掛重物的質(zhì)量時，哪根繩受的拉力最大則哪根繩最先斷．從圖中可知：表示F2的有向線段最長，F(xiàn)2分力最大，故OA繩最先斷．8.如圖6所示，力F作用于物體的O點．現(xiàn)要使作用在物體上的合力沿OO′方向，需再作用一個力F1，則F1的最小值為()圖6A．F1＝FsinαB．F1＝FtanαC．F1＝FD．F1＜Fsinα答案A解析依據(jù)力的三角形定則，作F1、F與合力F合的示意圖，如圖所示．合垂直時，F(xiàn)1有最小值，其值為F1＝Fsinα.9.(多選)(2024·北京人大附中期中)明朝謝肇淛的《五雜俎》中記載：“明姑蘇虎丘寺塔傾側(cè)，議欲正之，非萬緡不行．一游僧見之曰：無煩也，我能正之．”游僧每天將木楔從塔身傾斜一側(cè)的磚縫間敲進(jìn)去，經(jīng)月余扶正了塔身．假設(shè)所用的木楔為等腰三角形，木楔的頂角為θ，現(xiàn)在木楔背上加一力F，方向如圖7所示，木楔兩側(cè)產(chǎn)生推力為FN，則()圖7A．若F肯定，θ大時FN大B．若F肯定，θ小時FN大C．若θ肯定，F(xiàn)大時FN大D．若θ肯定，F(xiàn)小時FN大答案BC解析選木楔為探討對象，木楔受到的力有：水平向左的力F和兩側(cè)給它的與木楔的斜面垂直的彈力，由于木楔處于平衡狀態(tài)，所以兩側(cè)給它的與木楔的斜面垂直的彈力與F沿垂直木楔斜面的分力是大小相等的，力F的分解如圖：則：F＝F1cos(90°－eq\f(θ,2))＋F2cos(90°－eq\f(θ,2))＝2F1cos(90°－eq\f(θ,2))＝2F1sineq\f(θ,2)，所以：FN＝F1＝eq\f(F,2sin\f(θ,2))，由公式可知，若F肯定，θ小時FN大；若θ肯定，F(xiàn)大時FN大．故A、D錯誤，B、C正確．考點三正交分解10．(多選)如圖8所示，質(zhì)量為m的物體受