第14講向量單元復(fù)習(xí)知識(shí)梳理一：向量的有關(guān)概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如等.(2)幾何表示法：用一條有向線段表示向量.如，等.(3)坐標(biāo)表示法：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量的起點(diǎn)為在坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)A坐標(biāo)為，則稱為的坐標(biāo)，記為=.3.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.兩向量與相等，記為.4.零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.零向量只有一個(gè)，其方向是任意的.5.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，每一個(gè)方向都有一個(gè)單位向量.6.共線向量：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定：與任一向量共線.注：共線向量又稱為平行向量.7.相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.二、向量的運(yùn)算1.運(yùn)算定義運(yùn)算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法+==記=(x1，y1)，=(x2，y2)則=(x1+x2，y1+y2)=(x2x1，y2y1)+=實(shí)數(shù)與向量的乘積記=(x，y)則兩個(gè)向量的數(shù)量積記則=x1x2+y1y22.運(yùn)算律加法：①(交換律)；②(結(jié)合律)實(shí)數(shù)與向量的乘積：①；②；③兩個(gè)向量的數(shù)量積：①·=·；②()·=·()=(·)；③(+)·=·+·3.運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，稱為的線性組合.①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的.③當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=(x，y)；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2x1，y2y1)(2)兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)非零向量，則∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2x2y1=0.(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè)非零向量，則(4)兩個(gè)向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：①即(求線段的長(zhǎng)度)；②(垂直的判斷)；③(求角度).要點(diǎn)詮釋：1.向量的線性運(yùn)算(1)在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明；(2)向量的加法表示兩個(gè)向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問(wèn)題，減法的三角形法則應(yīng)記住：連接兩端(兩向量的終點(diǎn))，指向被減(箭頭指向被減數(shù)).記清法則是靈活運(yùn)用的前提.2.共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題向量共線的充要條件實(shí)質(zhì)上是由實(shí)數(shù)與向量的積得到的.通常用來(lái)判斷三點(diǎn)在同一條直線上或兩直線平行.該定理主要用于證明點(diǎn)共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問(wèn)題.(1)用向量證明幾何問(wèn)題的一般思路：先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)證明.(2)向量在幾何中的應(yīng)用：①證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的充要條件(x1，y1)=(x2，y2)②證明垂直問(wèn)題，常用垂直的充要條件③求夾角問(wèn)題，利用④求線段的長(zhǎng)度，可以利用或三、平面向量分解定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使．我們把不平行的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基．注意：（1）基底不共線；（2）將任一向量在給出基底的條件下進(jìn)行分解；（3）基底給定時(shí)，分解形式唯一，是被唯一確定的數(shù)量幾何角度證明：如圖，在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作，，，再作直線OA、OB．設(shè)點(diǎn)C不在直線OA和OB上，過(guò)點(diǎn)C分別作直線OA、OB的平行線，由于向量不平行，可知所作兩直線分別與直線OB、OA有唯一的交點(diǎn)，記為N、M．作向量、．因?yàn)椋源嬖谖ㄒ坏膶?shí)數(shù)，使．因?yàn)椋源嬖谖ㄒ坏膶?shí)數(shù)，使．而四邊形OMCN是平行四邊形，因此．即=．如果點(diǎn)C在直線OA或OB上，那么或．這時(shí)得或．所以關(guān)于、的分解式總是確定的．代數(shù)角度：證明唯一性：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則有=,．由于不平行，故，即．四、重要結(jié)論設(shè)不平行，點(diǎn)在上存在實(shí)數(shù)使得證明：如圖，設(shè)向量，【的正負(fù)可以給學(xué)生講一下】五、平面向量和三角形四心（1）是的重心．證法1：設(shè)是的重心．證法2：如圖三點(diǎn)共線，且分為2：1是的重心（2）設(shè),,是三角形的三條邊長(zhǎng)，I是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心．證明：（)分別為方向上的單位向量，平分,IA為ABC中的角平分線，同理可證IB為ABC中的角平分線，IC為ABC中的角平分線。點(diǎn)I為ABC的內(nèi)心。（3）為的垂心．證明：如圖所示是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足．同理，（4）為的外心。（5）四心重要的結(jié)論：Ⅰ、外心（外接圓圓心O中垂線的交點(diǎn)）①．（R為外接圓半徑）．②．．③．推廣：（D為BC的中點(diǎn)，G為△ABC的重心）．④．*圓心角是圓周角的兩倍．⑤．*Ⅱ、重心（G中線的交點(diǎn)）①．．②．or．③．若，則其重心的坐標(biāo)為．④．重心分每條中線分為2：1的兩短．Ⅲ、內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心I角平分線的交點(diǎn)）①．注：表示為∠A的角平分線．②．．Ⅳ、垂心（H角平分線的交點(diǎn)）①．．②．*六、運(yùn)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題可以分哪幾個(gè)步驟？“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．例題解析一：平面向量的概念例1.給出下列命題：①若||=||，則=；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若=，=，則=；④=的充要條件是||=||且//；⑤若//，//，則//；其中正確的序號(hào)是.(2)設(shè)為單位向量，(1)若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則；(2)若與平行，則；(3)若與平行且，則.上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【思路點(diǎn)撥】利用平面向量的相關(guān)基本概念和基本知識(shí)進(jìn)行判斷。【解析】(1)①不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同；②正確；∵，∴且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且，因此，.③正確；∵=，∴，的長(zhǎng)度相等且方向相同；又=，∴，的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴，的長(zhǎng)度相等且方向相同，故=.④不正確；當(dāng)//且方向相反時(shí)，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要條件，而是必要不充分條件；⑤不正確；考慮=這種特殊情況；綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.(2)向量是既有大小又有方向的量，與模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命題；若與平行，則與方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時(shí)，故(2)、(3)也是假命題.綜上所述，答案選D.【總結(jié)升華】本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念.向量的基本概念較多，因而容易遺忘.為此，復(fù)習(xí)時(shí)一方面要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想.向量的概念較多，且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念.例2.判斷下列各命題正確與否：(1)；(2)；(3)若，則；(4)若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；(5)對(duì)任意向量都成立；(6)對(duì)任意向量，有.【解析】(1)錯(cuò)；(2)對(duì)；(3)錯(cuò)；(4)錯(cuò)；(5)錯(cuò)；(6)對(duì).【總結(jié)升華】通過(guò)該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別與聯(lián)系，重點(diǎn)清楚為零向量，而為零.【鞏固訓(xùn)練】1．（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的是A．若都是單位向量，則B．兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)都相同C．向量與是兩個(gè)平行向量D．若，則四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)【答案】C【分析】利用單位向量的定義可判斷A；利用向量相等的定義可判斷B；利用平行向量的定義可判斷C；利用向量相等的定義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，單位長(zhǎng)度為的向量為單位向量，都是單位向量，但方向可能不同，故A不正確；對(duì)于B，模相等，方向相同的向量為相等向量，故B不正確；對(duì)于C，向量與為相反向量，所以兩個(gè)為平行向量，故C正確；對(duì)于D，，若四點(diǎn)在同一條直線上，不能構(gòu)成平行四邊形，故D不正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了向量的基本概念，需理解單位向量、相等向量、共線向量的概念，屬于基礎(chǔ)題.2．（2019·上海黃浦區(qū)·高二期末）已知為兩個(gè)單位向量，那么下列四個(gè)命題中正確的是A． B．若，則 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量相等的條件，可知不滿足方向一定相同，錯(cuò)誤；中未考慮夾角的情況，錯(cuò)誤；根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)可知正確.【詳解】若，則，且方向相同中，方向未規(guī)定；中，方向相同或相反，均不能得到，則錯(cuò)誤；中，，錯(cuò)誤；中，，，正確.故選【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中的相關(guān)概念，涉及到單位向量的定義、向量相等的要求、向量平行、平面向量數(shù)量積運(yùn)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.3．（2020·上海浦東新區(qū)·上外浦東附中高二月考）在等式①;②；③；④；⑤若，則；正確的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】由零向量、向量數(shù)乘、點(diǎn)乘等概念和性質(zhì)，即可判斷正誤，進(jìn)而確定答案.【詳解】零向量與任何向量的數(shù)量積都為0，錯(cuò)誤；0乘以任何向量都為零向量，正確；向量的加減、數(shù)乘滿足結(jié)合律，而向量點(diǎn)乘不滿足結(jié)合律，錯(cuò)誤；向量模的平方等于向量的平方，正確；不一定有，故錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考核查了向量，利用向量相關(guān)概念、性質(zhì)判斷正誤，屬于基礎(chǔ)題.4．（2020·上海）下列命題中，正確的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】?jī)上蛄肯嗟葎t方向相同,模長(zhǎng)相等可判斷AB,向量不可比較大小可判斷C,由零向量的概念可判斷D.【詳解】若，但是兩個(gè)向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正確;若，則兩向量的方向相同,模長(zhǎng)相等,則,B正確;向量不能比較大小,C不正確;若，則,D,不正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題屬于向量的概念題,理解向量的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5．（2021·上海高一專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為的正三角形中，的值為A． B． C． D．【答案】D【分析】以、為鄰邊作菱形，則，計(jì)算出菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)度即可得出答案.【詳解】以、為鄰邊作菱形，則，由圖形可知，的長(zhǎng)度等于等邊的邊上的高的倍，即，因此，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查差向量模的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是作出圖形，找出差向量，分析圖形的形狀，進(jìn)而求出線段長(zhǎng)度，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.6．（2019·上海浦東新區(qū)·華師大二附中）設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由題意結(jié)合向量的減法公式和向量的運(yùn)算法則考查充分性和必要性是否成立即可.【詳解】∵A?B?C三點(diǎn)不共線,∴|+|>|||+|>|||+|2>||2?>0與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的概念與判斷?平面向量的模?夾角與數(shù)量積,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想.7．（2020·浦東新區(qū)·上海師大附中高二期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)，數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設(shè)=所以當(dāng)時(shí)，上式取最小值，選A.點(diǎn)睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時(shí)利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。8．（2021·上海高一專題練習(xí)）如圖所示，已知AD=3，B，C是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，模長(zhǎng)度大于1的向量有___________.【答案】【分析】結(jié)合圖形，分模長(zhǎng)為2或3的向量求解.【詳解】滿足條件的向量有以下幾類：模長(zhǎng)為2的向量有：.模長(zhǎng)為3的向量有：.故答案為：9．（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①若，則；②若，則；③若與同向，則；④若，則與所在的直線重合．其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】3【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則、共線向量的定義和性質(zhì)、相等向量的定義逐一判斷即可.【詳解】①：由平面向量的運(yùn)算法則可知：由，可以得到，故該命題是真命題；②：由平面向量共線定理可知；由，可以得到，故該命題是真命題；③：由平面向量共線定理可知；由與同向，可以得到，因此，故該命題是真命題；④：若，則與所在的直線重合或平行，故該命題是假命題,因此共有3個(gè)真命題.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了共線向量的定義和定理，考查了向量的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.10．（2020·上海浦東新區(qū)·高二期末）已知,,則||＝_____．【答案】5【分析】利用向量的運(yùn)算法則和模的計(jì)算公式即可得出.【詳解】解:因?yàn)?,,故答案為:5【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算法則和模的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.11．（2020·上海市青浦高級(jí)中學(xué)高二月考）已知，，則的同向單位向量為_(kāi)___________________.【答案】【分析】先求出向量的坐標(biāo)，再計(jì)算出模，用除以它的模可得與它同向的單位向量．【詳解】由題意，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查單位向量的概念，考查向量共線．與向量共線的單位向量有兩個(gè)，一個(gè)是同向的，另一個(gè)是它的相反向量．12．（2018·上海市民立中學(xué)高二期中）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（2，4）、（2，1），則的單位向量=_____【答案】【分析】利用向量的單位向量的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，可得向量，所以向量的單位向量.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了單位向量的計(jì)算與求解，其中解答中熟記向量的單位向量的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13．（2019·寶山區(qū)·上海交大附中）如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是_____.【答案】.【分析】由題意將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF//CE，交AB于點(diǎn)F，由BE=2EA，D為BC中點(diǎn)，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【點(diǎn)睛】本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題.三、解答題14．（2018·上海市南匯第一中學(xué)高二期中）已知向量，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，向量與平行，且，求點(diǎn)B的坐標(biāo).【答案】或【分析】設(shè),則,根據(jù)向量與平行，且列方程組可得到答案.【詳解】設(shè),則,因?yàn)橄蛄颗c平行,所以,即,①因?yàn)?所以,②聯(lián)立①②解得或.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量共線的坐標(biāo)表示,向量模的公式,屬于基礎(chǔ)題.15．（2020·上海黃浦區(qū)·高二期末）已知向量,.（1）若向量，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量滿足，求的值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）求出向量和向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求的值.（2）由向量相等求出的值，根據(jù)求值即可.【詳解】（1）,，，.，，解得或.（2），，即，解得..【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理的坐標(biāo)表示和向量相等，用到方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.16．（2019·上海閔行區(qū)·高二期末）已知(1)求的單位向量(2)若與的夾角為銳角,求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)且【分析】(1)先計(jì)算，再根據(jù)得到答案.(2)先計(jì)算，，再計(jì)算,排除向量同向的情況得到答案.【詳解】(1)，則，的單位向量(2)，，夾角為銳角則，解得：且與不同向，即，解得：綜上所述：且【點(diǎn)睛】本題考查了向量對(duì)應(yīng)的單位向量，向量夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二：平面向量的運(yùn)算及坐標(biāo)表示例1.(1)在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.B.C.D.【解析】C.(2)如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量()A.B.C.D.【解析】，故選A.例2.設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：①，②，③.【解析】①原式=；②原式=；③原式=.例3.設(shè)為未知向量，、為已知向量，解方程2(5+34)+3=0【解析】原方程可化為：(23)+(5+)+(43)=0，∴=+.【總結(jié)升華】平面向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)中實(shí)數(shù)與未知數(shù)的運(yùn)算法則，求解時(shí)兼顧到向量的性質(zhì).例4.已知中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC邊上的高為AD，求.【解析】設(shè)D(x，y)，則∵得所以.例5.已知，，與的夾角為60°，，，當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，（1）（2）？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)向量平行的條件，可知存在實(shí)數(shù)t，使，可得k與t的方程組，解之可得；（2）根據(jù)的條件，，解得即可．【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，∴，∴解得，，（2）∵，∴，即，∴，∵，，與的夾角為60°，∴11+5k=0解得，【總結(jié)升華】此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算.例6.平面內(nèi)給定三個(gè)向量，回答下列問(wèn)題：(1)求滿足的實(shí)數(shù)m，n；(2)若，求實(shí)數(shù)k；(3)若滿足，且，求.【解析】(1)由題意得，所以，得.(2)，；(3)由題意得，得或.例7.||=1，||=2，=+，且⊥，則向量與的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】設(shè)所求兩向量的夾角為，，即：所以【總結(jié)升華】解決向量的夾角問(wèn)題時(shí)要借助于公式，要掌握向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算.向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見(jiàn)一斑.對(duì)于這個(gè)公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直(平行)的充要條件必需掌握.例8.與向量的夾角相等，且模為1的向量是()(A)(B)或(C)(D)或【解析】設(shè)所求平面向量為，由或時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故平面向量與向量的夾角相等.故選B.例9.設(shè)向量滿足及（1）求夾角的大小；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)與夾角為θ，∵向量滿足及，∴，∴9×1+4×1－12×1×1×cosθ=7，∴．又θ∈[0，π]，∴與夾角為．（2）∵．例10.已知向量，（1）求證：;（2）若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使?jié)M足試求此時(shí)的最小值。【思路點(diǎn)撥】（1）可通過(guò)求證明;（2）由得，即求出關(guān)于k，t的一個(gè)方程，從而求出的代數(shù)表達(dá)式，消去一個(gè)量k，得出關(guān)于t的函數(shù)，從而求出最小值。【解析】（1）（2）由得，即【鞏固訓(xùn)練】1．（2021·上海高一專題練習(xí)）平行四邊形ABCD中，等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行四邊形ABCD得，，由此可得選項(xiàng).【詳解】在平行四邊形ABCD中，，所以，故選：B.2．（2021·上海高一專題練習(xí)）已知是的邊上的中線，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑倪吷系闹芯€，所以為的中點(diǎn)，所以.故選：B3．（2019·上海市南洋模范中學(xué)高二月考）若，則三角形ABC必定是三角形A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．等腰直角【答案】B【分析】由得到，，即可求解.【詳解】，即所以三角形ABC必定是直角三角形故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4．（2020·上海市南洋模范中學(xué)高二期末）在ΔABC中，若，則ΔABC是A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【詳解】此題考查向量的數(shù)量積的計(jì)算、余弦定理的應(yīng)用．由已知得，所以是直角三角形，選C5．（2020·上海市行知中學(xué)高二期中）已知，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)量積公式，直接計(jì)算結(jié)果.【詳解】，解得：，，.故選：C6．（2020·上海市建平中學(xué)高二期中）下列命題中真命題是（）A．方向相同的向量是平行的向量 B．任意向量與它的負(fù)向量都不相等C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的定義，數(shù)量積的定義判斷．【詳解】由平行向量的定義知A正確；零向量與它的負(fù)向量相等，B錯(cuò)；設(shè)是向量的夾角，，則，C錯(cuò)；時(shí)，，D錯(cuò)、故選：A．7．（2020·上海市控江中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則的面積的最小值為（）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】利用結(jié)論，，則求出三角形面積，分析可得最小值（需要先證明此結(jié)論）．【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論，若，，則，下面對(duì)此作出證明：在本題中，設(shè)，則，，所以，因?yàn)椋际钦麛?shù)，所以，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查三角形的面積，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)常常是已知的，此時(shí)有結(jié)論：，，則．8．（2020·徐匯區(qū)·上海中學(xué)高二期中）已知向量，為平面內(nèi)的單位向量，且，向量與共線，則的最小值為（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量與共線，由共線定理可知，從而可將用向量，表示，平方后即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c共線，所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，所以，所以，又向量，為平面內(nèi)的單位向量，所以，，又，所以，所以，所以的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查共線定理的應(yīng)用及平面向量數(shù)量積，關(guān)鍵是根據(jù)共線，利用共線定理將用向量，表示，再通過(guò)平方轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題.9．（2020·上海市七寶中學(xué)）已知點(diǎn)是所在平面上的一點(diǎn)，的三邊為，若，則點(diǎn)是的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】在，上分別取單位向量，作，則平分，用表示出代入條件式，用表示出，則可證明，，三點(diǎn)共線，即平分．【詳解】在，上分別取點(diǎn)，，使得，，則．以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，則四邊形是菱形，且．為的平分線．，即，．，，三點(diǎn)共線，即在的平分線上．同理可得在其他兩角的平分線上，是的內(nèi)心．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的向量表示，向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題.10．（2020·上海市青浦高級(jí)中學(xué)高二月考）已知向量、，，，若對(duì)任意單位向量，均有，則的最大值為（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由，得到恒成立，進(jìn)而求得，再結(jié)合，即可求解.【詳解】由，所以恒成立，又由，可得，則，可得.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式及其應(yīng)用，其中解答中熟練向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，結(jié)合向量的運(yùn)算法則求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.11．（2020·寶山區(qū)·上海交大附中高一期末）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的面積與的面積的比值為A．6 B． C． D．4【答案】A【分析】作，，，由已知可得是的重心，由重心性質(zhì)可得所求面積比．【詳解】作，，，如圖，∵，∴是的重心，則，設(shè)，設(shè)，∵，，，∴，即，同理，，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，考查向量的加法與數(shù)乘法則，體現(xiàn)了向量在解決平面圖形問(wèn)題中的優(yōu)越性．12．（2021·上海高一專題練習(xí)）菱形ABCD中，∠BAD＝60°，||＝1，則＝_____．【答案】1【分析】易知ABD為等邊三角形，再利用平面向量的加法運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD為等邊三角形，所以|．故答案為：113．（2020·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期末）已知，，，則向量與的夾角為_(kāi)_______．【答案】【分析】設(shè)向量與的夾角為，由已知條件可得，從而可求出向量與的夾角【詳解】解：設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)椋裕矗驗(yàn)椋裕矗驗(yàn)椋裕蚀鸢笧椋?4．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期末）已知，，與的夾角為90°，則________【答案】【分析】根據(jù)展開(kāi)，代入數(shù)據(jù)即可．【詳解】因?yàn)榕c的夾角為90°，所以．因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋海?5．（2020·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二月考）已知點(diǎn)，，點(diǎn)分向量的比是，則向量在向量方向上的投影為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)分向量的比是，，求出向量的坐標(biāo)，利用投影的計(jì)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)分向量的比是，即，因?yàn)椋韵蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队盀椋蚀鸢笧椋?6．（2020·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二月考）已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，為邊上一點(diǎn)，滿足，則______．【答案】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?7．（2020·上海市向明中學(xué)高二期中）已，，，則向量與的夾角為_(kāi)_______．【答案】【分析】由可得，將展開(kāi)并將代入可得，利用，結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕煽傻茫裕裕驗(yàn)椋裕蚀鸢笧椋?18．（2021·上海高一專題練習(xí)），為不共線的向量，設(shè)條件；條件對(duì)一切，不等式恒成立．則是的__________條件．【答案】充要【分析】由條件，可得；不等式化為．由于對(duì)一切，不等式恒成立，所以可得，化簡(jiǎn)即可得出．【詳解】由條件，可得；不等式化為，∵對(duì)一切，不等式恒成立，∴，化為，∴，所以．故答案為：充要．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是由不等式化為后由一元二次不等式的知識(shí)得出，從而得解.19．（2021·上海高一專題練習(xí)）是正三角形，給出下列等式：①；②；③；④．其中正確的有__________．(寫(xiě)出所有正確等式的序號(hào))【答案】①③④【分析】作出圖形，結(jié)合平面向量加法法則可判斷①②③④的正誤.【詳解】對(duì)于①，，，，①正確；對(duì)于②，，如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，

由平面向量加法的平行四邊形法則可得，顯然，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，以、為鄰邊作平行四邊形，則，以、為鄰邊作平行四邊形，則.由圖可知，，即，③正確；對(duì)于④，，，因?yàn)椋苷_.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵就是化簡(jiǎn)平面向量的運(yùn)算結(jié)果，并作出圖形，結(jié)合圖形的幾何特征進(jìn)行判斷.20．（2021·上海高一專題練習(xí)）在矩形中，已知、分別是、上的點(diǎn)，且滿足，．若，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】本題首先可根據(jù)題意得出、，然后將轉(zhuǎn)化為，再然后根據(jù)列出算式，最后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖像：因?yàn)椋裕瑒t，，故，因?yàn)椋裕獾茫蚀鸢笧椋?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量的相關(guān)運(yùn)算，主要考查向量的三角形法則以及平行四邊形法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.21．（2020·上海楊浦區(qū)·復(fù)旦附中高一期末）三角形蘊(yùn)涵大量迷人性質(zhì)，例如：若點(diǎn)在內(nèi)部，用分別代表、、的面積，則有．現(xiàn)在假設(shè)銳角三角形頂點(diǎn)所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為為其垂心，的單位向量分別為，則_________．【答案】【分析】由可得，根據(jù)相似三角形可得，，即，即可得【詳解】由可得根據(jù)可得，同理可得，所以，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題以三角形中的結(jié)論為載體，考查了垂心的性質(zhì)，涉及三角形面積公式、相似三角形的性質(zhì)，屬于難題.三、解答題22．（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）已知向量的夾角為，，求的值.【答案】【分析】利用平面向量的數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，即可得解.【詳解】所以的值為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運(yùn)算律，屬于基礎(chǔ)題.23．（2020·浦東新區(qū)·上海師大附中高二期中）已知向量，，且．（1）求向量與的夾角；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出，然后由數(shù)量積的定義求得夾角；（2）計(jì)算出后可得所求模．【詳解】（1）由題意，，∴，∴，，∴；（2），∴．24．（2020·上海市新場(chǎng)中學(xué)高二月考）已知，且向量與的夾角為，求和；【答案】1；6【分析】直接利用平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則、性質(zhì)求解即可.【詳解】由向量滿足，，且與的夾角為，可得，，.25．（2021·上海市奉賢中學(xué)高二期末）在平面上，給定非零向量，對(duì)任意向量，定義.（1）若=(1，3)，=(2，3)，求；（2）若=(2，1)，位置向量的終點(diǎn)在直線x+y+1=0上，求位置向量終點(diǎn)軌跡方程；（3）對(duì)任意兩個(gè)向量，求證∶.【答案】（1）；（2）2x+y=0；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)新定義公式計(jì)算即可；（2）設(shè)的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x0，y0)，依題意計(jì)算化簡(jiǎn)即可得結(jié)果；（3）依題意可得，，即.【詳解】（1）（2）設(shè)的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x0，y0)且x0+y0+1=0，即2x+y=0即為所求軌跡方程；（3）同理，而為非零向量，.【點(diǎn)睛】理解和運(yùn)用新定義公式計(jì)算是解題的關(guān)鍵.26．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學(xué)高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，．（1）求以線段、為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）若存在軸上一點(diǎn)滿足，求．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）計(jì)算和可得；（2）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求和的夾角即得．【詳解】（1）由題意，，，；所以所求對(duì)角線長(zhǎng)為和；（2）設(shè)，則由得，，即，，，．所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)向量加減法的幾何意義，以線段、為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)就是和與差的模．而求，可以算作是的夾角，也可以用兩直線的夾角公式求解．27．（2018·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二期中）在中,已知，M是BC的中點(diǎn).(1)若,求向量與向量的夾角的余弦值；(2)若O是線段AM上任意一點(diǎn),且，求的最小值；(3)若點(diǎn)P是邊BC上的一點(diǎn),且，求的最小值.【答案】（1）;（2）;（3）.【分析】（1）利用向量夾角公式即可求出向量與向量的夾角的余弦值;（2）根據(jù)已知條件求出線段AM的長(zhǎng)，利用平行四邊形法則得到，,表示成關(guān)于的二次函數(shù),求二次函數(shù)的最小值,即可求出結(jié)果;（3）先用數(shù)量積定義把轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)的表達(dá)式,再利用基本不等式求的最小值,從而得所求.【詳解】（1）設(shè)向量與向量的夾角為,由，(),=,同理,向量與向量的夾角的余弦值.（2），設(shè),則,而,===當(dāng)時(shí),的最小值是;（3）設(shè),則=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角,數(shù)量積的最值以及模長(zhǎng)的最值,是向量的綜合應(yīng)用;考查計(jì)算能力,推理能力,屬于難度大的題目.五：平面向量綜合問(wèn)題例1.已知向量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表示.(1)證明：對(duì)于任意向量及常數(shù)m，n恒有成立；(2)設(shè)，求向量及的坐標(biāo)；(3)求使，(p，q為常數(shù))的向量的坐標(biāo).【解析】(1)設(shè)，則，故，∴(2)由已知得=(1，1)，=(0，1)(3)設(shè)=(x，y)，則，∴y=p，x=2pq，即=(2pq，p).例2.已知=(cosx+sinx,sinx),=(cosxsinx,2cosx).（1）記f(x)=·,若x∈［0,］，求f(x)的值域；（2）求證：向量與向量不可能平行.【解析】（1）f(x)==(cosx+sinx)(cosxsinx)+2sinxcosx=cos2xsin2x+sin2x=cos2x+sin2x又∴f(x)的值域?yàn)椋?，］.（2）假設(shè)則2cosx(cosx+sinx)=sinx(cosxsinx),即