第8講數字謎綜合第8講數字謎綜合六年級秋季知識點知識點數字謎綜合二（六上）備注備注課堂例題課堂例題單位分數的分拆1、把表示成兩個自然數的倒數之和，請給出所有的答案．【答案】

【解析】

設，則，變形得．而，故、或，進而共3種．2、把拆成三個單位分數的和，請給出2種拆法．【答案】

【解析】

先將拆成兩個單位分數之和，再將其中一個進一步分拆．例如，，等．3、求方程的所有正整數解．【答案】

，，，【解析】

顯然，因此；等式兩邊同時乘上，得；整理得，將寫成兩個數的乘積，有5種不同的寫法：，每種方法對應了一個二元一次方程：，，，，；每個二元一次方程的解分別是：，，，，；其中不合題意，舍去．4、在算式中，a，b，c分別代表三個不同的自然數，這三個數的和可能是__________．【答案】

14【解析】

若，則；因此，；若，則，因此3或4；若，則，；若，則，，不是整除．綜上，，，，．與數字和相關問題5、在豎式中的方框內分別填入0到9這10個數字中的9個，使得豎式成立．□□□□□□+□□□□2012【答案】

答案不唯一，如【解析】

和的數字和為5，根據“進位減9”，所有加數的數字和被9除也應余5，故未用數字為4，進位次數為．易知千位為1，簡單試驗可得其中一個答案為．6、從1至9中選出8個數字填入算式“”的方框中，每個數字恰好填一次，使等式成立．請問：（1）沒有被選出的數字是多少？（2）兩個四位數中較大的數最小是多少？最大是多少？【答案】

（1）2（2）最小7184，最大9865【解析】

（1）不妨設（）為一種合適的填法，到是1到9中的8個不同數字，沒用上的數字為．在加法的計算過程中，左邊的數字和與右邊的數字和的差是9的倍數，所以到這8個數字的和數與除以9的余數相同．到的數字和等于，25除以9的余數是7．所以除以9余7，只能是2；（2）要使較大數盡量大，令，，看看有沒有合適的填法．此時只能是9，只能是7，只能是15，只能是12．所以，，最大是6，相應的是1，最大是5，只能是4．所以較大數最大是9865，相應的填法是；要使較大數盡量小，令，，看看有沒有合適的填法．由于等式左邊數字和是43，右邊數字和是25，差是18，說明加法運算中有兩次進位．此時與都是沒有進位的，因而，，．要使較大數盡量小，只能，，，，，．所以較大數最小是，相應的填法是．7、在圖中的算式中填入0至9各一次，使算式成立．算式結果的四位數最小可能是多少，最大可能是多少？【答案】

最小1026；最大1602【解析】

設原豎式為，則，因為除以9的余數等于除以9的余數，是0，所以是9的倍數，所以的數字和是9的倍數，可以是9或18．（1）因為g只能為1，所以有2種可能：和．最小可能是1026，最大可能是1620，下面看能否湊出相應答案．因為，所以最小確實為1026．在中，因為加數數字和為36，和的數字和為9，所以個位、十位、百位相加時均有進位，所以，，．而15只能由7和8湊出，但此時十位的11無法由3、4、5、9湊出，所以1620湊不出．那么最大值只能為1602，而它可以由湊出，所以最大為1602．（2）因為g為1，且加數數字和為27，所以相加時進位一次，且在百位，如右圖．此時0不能在加數的個位和十位，不然會有數字相同，同時也不能在加數的百位，那么它只能在四位數中，且只能在百位（如果在十位或個位，那么加數相加要進位，但原式中只有百位相加進位）．于是，i、j只能為8、9，此時和可以是1089或1098，都比上面的答案小．所以最大為1602，最小為1026．11數陣圖8、將1~10這十個自然數填入下圖五角星的10個圓圈內，使得外面五個三角形中的數等于其所在三角形三個頂點內數的和．【答案】

如下圖【解析】

里面5個數之和為，只能為．這樣，最上方只能填5或7．若為7，左側三角之和最多為，矛盾，故最上方只能為5，進而得到答案．9、圖中有大、中、小3個正方形，組成了8個三角形．現在先把1，2，3，4分別填在大正方形的4個頂點上，再把1，2，3，4分別填在中正方形的4個頂點上，最后把1，2，3，4分別填在小正方形的4個頂點上．請問：（1）能否使8個三角形頂點上數字之和都相等？如果能，請給出填數方法；如果不能，請說明理由．（2）能否使8個三角形頂點上數字之和各不相同？如果能，請給出填數方法；如果不能，請說明理由．【答案】

（1）不能，8個三角形頂點上數字的和為60，且相等，不成立（2）能，填法見解析【解析】

（1）解答：8個和數相加，相當于24個數相加，恰好把大正方形的每個頂點加了一次，中正方形的每個頂點加了3次，小正方形的每個頂點加了2次，因而8個和數的總和是．但60不是8的倍數，所以不能使8個三角形頂點上數字之和都相等；（2）解答：和數最小可以是，最大可以是，而4、5、6、7、8、9、10、11恰好是8個數，所以要使8個和數互不相同，則8個和數恰好分別是4、5、6、7、8、9、10、11，一種合適的填法如圖所示．112341234432110、將1至9填入圖中的圓圈內，使圖中所有三角形（共7個）的3個頂點之和都相等．【答案】

見解析【解析】

先確定每個三角形3個頂點的和數．如圖1，用虛框把頂點分成三組，每組三個頂點恰好構成一個三角形．所以每個虛框內所填的3個數之和是一樣的．但9個數總和是，所以每個虛框內三個數字之和是，即每個三角形3個頂點的和數都是15．

現在考慮重數．一方面，每個外圍（共6個）圓圈都出現在兩個三角形中，每個里面的圓圈都出現在三個三角形中．另一方面，，在把15分成1到9中的3個數的和數時，共有8種方法，而數字1、3、7、9都出現在其中兩種方法．說明1、3、7、9只能填在外圍6個圓圈里．同時由對稱性，我們可以先把1填在任一個圓圈上．然后填5、9，本質上只有兩種填法，如圖2．進一步地，由1所在另一個三角形待填的兩數是6、8，9所在的另一個三角形待填的兩數是2、4，各能補充出兩種填法，如圖3．圖1 圖1159159圖21159684273186592734159862437168594372圖311、圖中方框里不同的漢字代表互不相同的數字，已知每個正方形的頂點方框內的四個數之和都相等，這個和的最小值是多少？【答案】

16【解析】

設每個正方形和為n，則，故，，．而16可以構造，如．因此，和的最小值是16．利用數論解決相關問題12、在圖中所示的除法豎式中，只知道一個數字“3”，且商是一個循環小數．問被除數是多少？003【答案】

16【解析】

設除法算式為，則有，于是999和有公因數，可以約分，且約分后分母為27或37（如果約分后分母為9，那原數不是三位循環小數），所以等于或，所以是27或37的倍數，可能是27、54、81、37、74．把這5種情況代回原豎式中檢驗，只有37符合題意，此時算式為．所以被除數是16．13、圖中相同字母表示相同數字，不同字母表示不同數字．且是5的倍數，是4的倍數，求的所有可能值是____________________．FIFIVE+FOURNINE

【答案】

3235，3435，3835【解析】

由末位可知，且個位沒向十位進位，再根據是5的倍數可以確定；再看百位可知，，且十位向百位進1；因此有，其中V、U互不相同且不能為9，則，又知，因此；再看首位可知，因此N是奇數，且；進而可以確定，，；此時尚未確定的字母有I、V、U，還沒用到的數字有2、4、6、7、8，滿足的只有6和7，再由是4的倍數知，；因此I可以從2、4、8中任選．有3個答案，分別是3235、3435、3835．

隨堂練習隨堂練習1、把表示成兩個自然數的倒數之和，請給出所有的答案．【答案】

【解析】

設，則，變形得．而，故可得所有解為，共5種．2、兩個正整數的乘積是它們的和的6倍，求這兩個數．【答案】

共5組解：7、42；8、24；9、18；10、15；12、12【解析】

設兩數分別為a、b（），則，變形得．而，故可得所有解為、、、、．3、在豎式中填入0至9各一次，使豎式成立．□□□□□+□□□□□□□【答案】

答案不唯一，如【解析】

設．顯然，估算得，，進而和的數字和小于18．所有數字和為且加數的數字和與和的數字和相差9的倍數，故只可能分別為36、9，共進位次，只能是個、十、百各進位1次．，可能為2、6或3、5，由此易得答案，如等．aabc+defghij4、（2014年金帆五升六）如下表，在的正方形網格中已經填寫了4個數：0、66、103、144．已知每行每列的數都是正數，每行每列均組成等差數列，則___________．BABA144C661030【答案】

110.5【解析】

根據等差數列性質，第二行公差是，推得，第一列公差是，推得，第一行公差是，．5、（2012迎春杯高年級組復賽）在下圖的乘法算式中，兩個乘數的和是__________．【答案】

730【解析】

由第2行與第3行倍數不同，得D=1；那么B=1；末位分析：C=1或6，若C=1，則E=4，驗證積的十位不是2，舍去；那么C=6，則E=4或9，同上，驗證積的十位，得E=4，通過第1行百位為0，得A=5，即．課后作業課后作業1、把表示成2個自然數的倒數之和，共有______種方法．【答案】

4【解析】

設，則，變形得．而，故其有個約數，原問題共種方法．2、兩個自然數的乘積比這兩個自然數的和大1，這兩個自然數之和是______．【答案】

5【解析】

設兩數分別為a、b（），則，變形得，故，．3、從1到9中選出8個數字填入算式“”的方框中，每個數字恰好填一次，使等式成立．則沒有被選出的數字是______．【答案】

8【解析】

設a未使用．根據“進位數字和減9”這一性質，，．4、在右邊的加法算式中，若每個方框均表示0到9中的一個數字，任意兩個方框內的數字都不相同，則最下面的那個方框內的數是______．【答案】

6【解析】

設最下面的方框為a．根據“進位數字和減9”這一性質，，化簡得，．5、如圖所示的豎式中，除數是______．【答案】

16【解析】

由“倒三角”可知中間部分的減法為，故除數只能為15或16．經驗證，除數為16．6、將20以內質數填入圖中的八個圈內，使A到B的三條線上的四個數的和相等，則這個和是_______．【答案】

29【解析】

設兩端分別為p、q．20以內質數為2、3、5、7、11、13、17、19，由奇偶性易知2在兩端，不妨設．這樣，，由此得，因此，進而和為．7、將l～8這8個自然數填入右圖中的8個方框中，______（填：能或否）使得同一邊上三個數的和等于它旁邊所標注的數．【答案】

能【解析】

若能填出，則角上四個數之和為．而11的拆法只有1種：．簡