第15講☆函數專題（3）——抽象函數【教學目標】1．通過基礎訓練題，理解抽象函數的概念及其性質，會解決與抽象函數相關的問題.2．在典型例題的解決過程中，掌握抽象函數不等式的解題技巧，提高數學抽象的數學素養.【教學重點】會用函數的綜合性質解決抽象函數的相關問題.【教學難點】函數的綜合性質在抽象函數中的運用.【知識梳理】抽象函數1、定義：抽象函數問題，一般指沒有給出具體函數解析式，只給出了其他一些條件（如函數定義域、解析遞推式、取值情況、性質、圖像特征等），研究解決這個函數的解析式、性質或與函數相關的參數范圍、求值、不等式（或方程）解、圖象、比較大小等問題.這類問題具有概念抽象、綜合性強、方法靈活等特點.抽象函數問題既是學習的難點，也是高考的熱點，認真學習它是提高學生數學能力和創新能力的有效途徑.2、常見的抽象函數模型：一次函數（1）對于正比例函數，與其對應的抽象函數為．（2）對于一次函數，與其對應的抽象函數為．二次函數（3）對于二次函數，與其對應的抽象函數為冪函數（4）對于冪函數，與其對應的抽象函數為．（5）對于冪函數，其抽象函數還可以是．指數函數（6）對于指數函數，與其對應的抽象函數為．（7）對于指數函數，其抽象函數還可以是．其中對數函數（8）對于對數函數，與其對應的抽象函數為．（9）對于對數函數，其抽象函數還可以是．（10）對于對數函數，其抽象函數還可以是．其中三角函數☆（11）對于正弦函數，與其對應的抽象函數為注：此抽象函數對應于正弦平方差公式：（12）對于余弦函數，與其對應的抽象函數為注：此抽象函數對應于余弦和差化積公式：（13）對于余弦函數，其抽象函數還可以是注：此抽象函數對應于余弦積化和差公式：（14）對于正切函數，與其對應的抽象函數為注：此抽象函數對應于正切函數和差角公式：3、歸納方法：觀察不等式兩端的特點，化為同類函數；2、借助函數的單調性，脫掉“”；3、注意定義域及單調區間，特別是對數函數中真數大于0.【教學過程】例題1（指數函數）已知函數對一切實數滿足，且，若，則數列的前項和為（

） B． C． D．例題2（對數函數）（1）已知為定義在R上且不恒為零的函數，若對，都有成立，則下列說法中正確的有（

）個．①；②若當時，，則函數在單調遞增；③對，；

④若，則.A．1 B．2 C．3 D．4定義在上的函數滿足：①，，；②存在實數，使得，則下列選項正確的是 （）A． B．C． D．例題3已知函數的定義域是的一切實數，對定義域內的任意都有，且當時，（1）求證：是偶函數； （2）在上是嚴格增函數；例題4（1）已知，是定義在區間上的奇函數，在區間上是嚴格增函數，若，則的取值范圍是________．（2）函數對任意的a，b∈R，都有，并且當時，，若，解不等式.例題5已知是定義在區間，上的奇函數，且，若，，，時，有．（1）證明：在區間，上是嚴格減函數；（2）解不等式；（3）若對所有，，，恒成立，求實數的取值范圍．【課后練習】偶函數的圖象關于直線對稱，，則 （）A．B．2 C．D．3已知定義在上的偶函數滿足，且，則．已知函數是奇函數，，則=函數定義在正整數集上，滿足：和，則的值為．是定義在上的奇函數且嚴格增，若，則的取值范圍是 （）A． B．C． D．已知偶函數在區間上嚴格增，則滿足的取值范圍是（）A． B． C． D．定義在上的函數既是奇函數，又是周期函數，是它的一個正周期.若將方程在閉區間上的根的個數記為，則至少為若，設的零點為，的零點為，則定義在上的偶函數，對任意的均有成立，當時，，則直線與函數的圖像交點中最近兩點的距離等于．設是定義在上的奇函數，且當時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 （）A． B． C． D．已知定義在上的函數滿足對任意實數，都有，設，若，則的值為 （）A． B． C． D．已知函數滿足：并且，那么的值為 （）A．2019 B．1010 C．4038 D．3030【提升拓展】設函數的定義域是，對于以下四個命題：（1）若是奇函數，則也是奇函數；（2）若是周期函數，則也是周期函數；（3）若是嚴格增函數，則也是嚴格增函數；（4）若函數存在反函數，且函數有零點，則函數也有零點．其中正確的命題共有 （）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個已知函數是上的偶函數，對于任意都有成立，當，且時，都有．給出以下三個命題：=1\*GB3①直線是函數圖像的一條對稱軸；=2\*GB3②函數在區間上為增函數；=3\*GB3③函數在區間上有五個零點．問：以上命題中正確的個數有 （）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個已知函數滿足：①對任意，恒有成立；=2