穩定腔輸出的激光束屬于各種類型的高斯光束，非穩定腔輸出的基模光束經過準直后，在遠場的強度分布也是近高斯型的。因此研究高斯光束的場分布及傳輸和變換特性，對于與激光束變換有關的光學系統的設計，以及光學諧振腔的工程設計很重要。我們來單獨討論高斯光束的主要性質。高斯光束的基本性質高斯光束在自由空間的傳播規律高斯光束的變換高斯光束的聚焦高斯光束的匹配高斯光束的準直高斯光束

在標量近似下穩態傳播的電磁場滿足的赫姆霍茨方程：在z的緩變振幅近似下（忽略），利用“試探法”解出上式微分方程的一個特解：高斯光束的基本性質波動方程的基模解此特解叫做基模高斯光束式中：與軸線相交于z點的高斯光束等相位面的曲率半徑

與軸線交于z點的等相平面上的光斑半徑

基模光束腰斑半徑])(1[)1()(2020zzzzwzzR+=+=plp200wz=此公式給出了基模高斯光束的場分布和傳輸特點等性質1.在橫截面內的場振幅分布按高斯函數所描述的規律從中心向外平滑降落。3.光斑半徑隨著坐標z按雙曲線規律變化：基模高斯光束的振幅分布2.光斑半徑隨z的變化規律為：并且：基模高斯光束的相移特性由相位因子決定它描述高斯光束在點(r,z)處相對于原點(0,0)處的相位滯后描述幾何相移描述高斯光束在空間行進距離z時相對幾何相移的附加相位超前描述與徑向有關的相移基模高斯光束的相移和等相位面分布在近軸條件下，沿高斯光束軸線每一點處的等相位面為半徑為R的球面:])(1[)1()(2020zzzz2wzzR+=+=p1.，束腰處的等相位面為平面，曲率中心在無窮遠處2.為最小值3.在遠場處可將高斯光束近似為一個由z=0發出，半徑為z的球面波4.無窮遠處等相位面為平面，曲率中心在z=0處

P188給出了等相位面的曲率半徑隨z的變化關系。光斑半徑隨z的變化規律為：當時從最小光斑面積增大到它的二倍的范圍是瑞利范圍，從最小光斑處算起的這個長度叫瑞利長度基模高斯光束的瑞利長度在此長度內，高斯光束可近似認為是平行。

遠場發散角：高斯光束振幅減小到中心最大值1/e處與z軸的交角。包含在發散全角范圍內的功率占高斯基模光束總功率的86.5％基模高斯光束的遠場發散角高斯光束在其軸線附近可看作是一種非均勻高斯球面波，在其傳播過程中曲率中心不斷改變其振幅在橫截面內為一高斯光束強度集中在軸線及其附近等相位面保持球面小結：高斯光束的基本性質高階高斯光束場的形式(直角坐標系）：由厄米多項式與高斯函數乘積描述高階高斯光束高階高斯光束在垂直于光軸的橫截面上場振幅或光強的分布由厄米多項式與高斯函數的乘積決定：對應著不同整數m和n，場振幅的橫向分布不同垂直于光軸的橫截面上的厄米－高斯分布高階模的總相移與模階數m和n有關，表示為高階模波面的曲率半徑R(z)與模階數m和n無關，說明在同一傳播距離z處，各階厄米－高斯光束波面的曲率半徑都相同，且隨z的變化規律也相同。相移因子隨模階數的變化導致了諧振腔中不同橫模之間諧振頻率的差異高階光束的光斑半徑和光束發散角隨模階數m和n而增大。高階高斯光束場的形式：由拉蓋爾多項式與高斯函數乘積描述赫姆霍茲方程在緩慢振幅近似下的一個特解，對應著具有圓對稱光學諧振腔的振蕩模式。*波動方程在圓柱坐標系統下的場分布在垂直于光束的任意一個橫截面上，振幅的分布為:總相移：高階光束的光斑半徑和光束發散角也隨模階數p和l而增大?；８咚构馐膱龇植迹夯８咚构馐谀骋粰M截面上的光場振幅分布和光強分布：r為從光斑中心算起的距離，w為該截面處的光斑尺寸高斯光束的孔徑功率透過率T：開孔半徑為a的圓孔，高斯光束通過半徑為a的圓孔的功率Pa與總的功率P之比。孔徑半徑a1/2ww3/2w2w透過功率百分比39.300086.500098.890099.9877高斯光束功率透過率與孔徑的關系：普通球面波在自由空間的傳播規律:球面波的波前曲率半徑隨傳播過程的變化為：高斯光束的傳輸規律自由空間的光學變換矩陣可以寫成：當傍軸波面通過焦距為f的透鏡時，其波前曲率半徑滿足關系式：采用近軸球面波傳輸的ABCD矩陣表示：反映了近軸球面波曲率半徑的傳輸與光學系統矩陣元之間的關系()()fzRzR11112-=符號：沿光傳輸方向的發散球面波的曲率半徑為正，會聚球面波的曲率半徑為負。普通球面波在通過薄透鏡的傳播規律P195圖3－2－2:高斯光束的特征參數])(1[)1()(2020zzzzwzzR+=+=plp200wz=高斯光束的束腰半徑的大小和位置，就可以確定整個高斯光束的結構高斯光束的復參數q表示高斯光束可由波前曲率半徑R(z)、光斑半徑w(z)和位置z中任意兩個參量來描述。引入復參數q(z)將這三個參量聯系起來(描述高斯光束的傳播規律非常方便)。復參數q的定義為:將波前的曲率半徑R(z)和光斑半徑w(z)代入上式：q值表達的基模(TEM00模)高斯光束：由q參數，可求出波前的曲率半徑R(z)和光斑半徑w(z)高斯光束的q參數：其中：經整理后可得：

高斯光束在自由空間由z1經距離L傳播到z2,q的規律為：高斯光束的復數曲率半徑與普通球面波的曲率半徑遵循相同的傳播規律高斯光束在自由空間中的傳播規律:高斯光束的q參數通過傳輸矩陣的光學系統，其變換規律遵循ABCD定律：A、B、C、D為該光學系統的光線矩陣元，q1和q2分別為在入射平面(1)和出射平面(2)的復光束參數。光線傳輸的矩陣理論和高斯光束用簡單的方式聯系起來DCqBAqq++=112高斯光束的ABCD定律如果復參數q1的高斯光束順次通過傳輸矩陣總矩陣元M：高斯光束的q參數和ABCD定律給出研究高斯光束傳輸的一個基本方法高斯光束通過薄透鏡的變換高斯模通過透鏡后仍保持為相同階次的模，但光束參數R(z)和w(z)已改變！出射光束在透鏡處的光斑尺寸滿足：

表示入射高斯光束在透鏡處的q參數，表示出射高斯光束在透鏡處的q參數當傍軸波面通過焦距為f的透鏡時，其波前曲率半徑滿足關系式：fRR111/-=由上面的四個式子可以得到：fqqff111/-=距離透鏡分別為z和z/處的復參數：可以得到z/處的q/:已知透鏡的焦距，只要知道入射高斯光束的q和z，就可求得出射高斯光束在z/處的q/如果寫成高斯光束通過該光學系統時，q滿足的變換規律為

：比較可得ABCD的矩陣元DCqBAqq++=/入射高斯光束的光腰在z處，出射高斯光束的光腰在z/處得到：代入出射光束的腰粗和光束腰位置等式兩端的虛部和實部對應相等得到：代入得到出射高斯光束光腰尺寸與光腰所在位置的公式：可改寫成：經透鏡變換后的束腰位置由3-3-19式決定，經透鏡變換后的腰斑大小由3-3-18式決定.已知高斯光束的腰斑大小和位置，整條高斯光束傳輸規律就確定了。由圖中可見：1.當時，與幾何光學的薄透鏡對軸上點的成像公式一致。2.在z/f＝1處，兩曲線有不同的變換規律。當入射高斯光束腰恰好在透鏡的前焦面上時，出射光腰則在透鏡的后焦面上，這與幾何光學結果不同。則可據上式求出入射光束的遠場發散角（半角）這是測量光束發散角最常采用的方法。入射腰斑半徑與透鏡后焦面上的光斑半徑的關系為：像方高斯光束腰斑的大小將此式對f求一階偏導：高斯光束的聚焦一、z一定時，隨f變化的情況當z一定時，隨f的變化情況01/2R(z)R(z)f1.當時，有極大值：2.當

時，

，所以隨f的減小而單調減小。當時，，只有當其焦聚時，透鏡才能對高斯光束起聚焦作用，且f越小，聚焦效果越好。當時，3.當時，，即隨f的增加而單調減小，當時，，故在此范圍無聚焦作用。

一、f一定時，隨z變化的情況對z求一階偏導：當時，像方高斯光束的腰斑半徑達到最小值：即當時，不論透鏡的焦距多大，只要焦距大于零它總有會聚作用，且像距始終小于f，即像方腰斑位置在透鏡后焦點以內。1.當時，故，像方高斯光束的腰斑半徑隨z

的減小而減小。透鏡焦距越小，聚焦效果越好象方腰斑位于透鏡的前焦面上當時：當時：當時：透鏡焦距越小，聚焦效果越好若：象方腰斑位于透鏡的前焦面上結論：當物光束的腰斑離透鏡很遠時，z越大，f越小，聚焦效果越好。故，像方高斯光束的腰斑半徑隨z的增加而單調減小，并且：2.當時，

3.當時，像高斯光束腰斑半徑達到最大值：及即：只有透鏡的焦距f<z0

時，才有聚焦作用；高斯光束聚焦的方法采用短焦距透鏡，使f盡量減?。?.使入射高斯光束腰斑遠離透鏡焦點，滿足：自再現變換：當高斯光束通過透鏡后模結構不發生變換，即參數w0或z0不變如果以高斯光束復參數q來描述自再現變換，當距離透鏡分別為z和z/的復參數為q和q/，應滿足如下條件。qzzq==)(//高斯光束的自再現變換利用ABCD矩陣和自再現模的條件求復雜光學諧振腔的基模參數ABCD定律在光學諧振腔中的應用光束從參考面P出發，在諧振腔中循環一周的變換矩陣ABCD為：在穩定腔中，光束循環一周應復原，按照復參數傳輸的ABCD規律A，B，C，D為近軸光束在腔內往返矩陣元DCqBAqq++=/可得到：DCqBAqq++=又因為利用ABCD矩陣很容易求出復雜光學諧振腔的基模參數2212)(421wiRBDABADqpl-=+-±-=?????íì+-=-=22)(422DABwADBRpl?????????íì-+-=÷÷????è?+=--=÷???è?+=)1(2)(41)1(2)(122222022ADDABRwwwADADBwRRzpllppl若使一個穩定腔所產生的高斯光束與另一個穩定腔產生的高斯相匹配，需在合適的位置放置一個焦距適當的透鏡，使兩束高斯光束互為物象共軛光束。該透鏡稱為模匹配透鏡。高斯光束的匹配已知物方高斯光束的腰斑，要求在像方得到腰斑為，的高斯光束，求物距和像距，以及模匹配透鏡的焦距f.采取的方法：用高斯光束復參數q和ABCD定律推導。透鏡處物方的復參數復參數經過透鏡的變換像方腰斑處的復參數討論：當和給定時，模匹配公式中存在三個未知量。特意給定一個f值，且f必須滿足-±=-±=2020/0/202/00ffwwfzffwwfz：特征匹配長度高斯光束的模匹配公式：就可確定兩腔的相對位置及它們各自與透鏡的距離，這樣模的匹配問題就解決了。2.當，和兩腔相對位置給定時，-±=-±=+=2020/0/202/00/ffwwfzffwwfzzzzw確定匹配參數所需要的系統參數，注意檢查求出的結果在物理上是否合理腰斑小，光束發散得快，發散角大，腰斑大，光束發散得慢，發散角小高斯光束的準直－改善光束的方向性，即壓縮