PAGE中考數學二輪復習：重難點題型突破課件與試題題型五幾何圖形探究題類型一幾何圖形靜態探究1．(2017·成都)問題背景:如圖①,等腰△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,作AD⊥BC于點D,則D為BC的中點,∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝60°,于是eq\f(BC,AB)＝eq\f(2BD,AB)＝eq\r(3);遷移應用:如圖②,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC＝∠DAE＝120°,D,E,C三點在同一條直線上,連接BD.①求證:△ADB≌△AEC;②請直接寫出線段AD,BD,CD之間的等量關系式;拓展延伸:如圖③,在菱形ABCD中,∠ABC＝120°,在∠ABC內作射線BM,作點C關于BM的對稱點E,連接AE并延長交BM于點F,連接CE,CF.①證明△CEF是等邊三角形;②若AE＝5,CE＝2,求BF的長.2．(2017·許昌模擬)在正方形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,動點P在線段BC上(不含點B),∠BPE＝eq\f(1,2)∠ACB,PE交BO于點E,過點B作BF⊥PE,垂足為F,交AC于點G.(1)當點P與點C重合時(如圖①),求證:△BOG≌△POE;(2)通過觀察、測量、猜想:eq\f(BF,PE)＝__________,并結合圖②證明你的猜想;(3)把正方形ABCD改為菱形,其他條件不變(如圖③),若∠ACB＝α,求eq\f(BF,PE)的值．(用含α的式子表示)3．(2014·河南)(1)問題發現如圖①,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.填空:①∠AEB的度數為__________;②線段AD,BE之間的數量關系為__________．(2)拓展探究如圖②,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB＝∠DCE＝90°,點A,D,E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE,請判斷∠AEB的度數及線段CM,AE,BE之間的數量關系,并說明理由．(3)解決問題如圖③,在正方形ABCD中,CD＝eq\r(2),若點P滿足PD＝1,且∠BPD＝90°,請直接寫出點A到BP的距離.4．(2017·長春改編)【再現】如圖①,在△ABC中,點D,E分別是AB,AC的中點,可以得到:DE∥BC,且DE＝eq\f(1,2)BC.(不需要證明)【探究】如圖②,在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,判斷四邊形EFGH的形狀,并加以證明;【應用】(1)在【探究】的條件下,四邊形ABCD中,滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是:__________.(只添加一個條件)(2)如圖③,在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,對角線AC,BD相交于點O.若AO＝OC,四邊形ABCD面積為5,求陰影部分圖形的面積.5．(2016·新鄉模擬)問題背景:已知在△ABC中,AB邊上的動點D由A向B運動(與A,B不重合),同時,點E由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合),連接DE交AC于點F,點H是線段AF上一點,求eq\f(AC,HF)的值．(1)初步嘗試如圖①,若△ABC是等邊三角形,DH⊥AC,且D,E的運動速度相等,小王同學發現可以過點D做DG∥BC,交AC于點G,先證GH＝AH.再證GF＝CF,從而求得eq\f(AC,HF)的值為__________;(2)類比探究如圖②,若在△ABC中,∠ABC＝90°,∠ADH＝∠BAC＝30°,且點D,E的運動速度之比是eq\r(3)∶1,求eq\f(AC,HF)的值;(3)延伸拓展如圖③,若在△ABC中,AB＝AC,∠ADH＝∠BAC＝36°,記eq\f(BC,AC)＝m,且點D,E的運動速度相等,試用含m的代數式表示eq\f(AC,HF)的值(直接寫出結果,不必寫解答過程).類型二幾何圖形動態探究1．(2015·河南)如圖①,在Rt△ABC中,∠B＝90°,BC＝2AB＝8,點D、E分別是邊BC、AC的中點,連接DE,將△EDC繞點C按順時針方向旋轉,記旋轉角為α.(1)問題發現①當α＝0°時,eq\f(AE,BD)＝__________;②當α＝180°時,eq\f(AE,BD)＝__________;(2)拓展探究試判斷:當0°≤α＜360°時,eq\f(AE,BD)的大小有無變化？請僅就圖②的情形給出證明．(3)問題解決當△EDC旋轉至A,D,E三點共線時,直接寫出線段BD的長．2．已知,點O是等邊△ABC內的任一點,連接OA,OB,OC.(1)如圖①,已知∠AOB＝150°,∠BOC＝120°,將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC.①∠DAO的度數是__________;②用等式表示線段OA,OB,OC之間的數量關系,并證明;(2)設∠AOB＝α,∠BOC＝β.①當α,β滿足什么關系時,OA＋OB＋OC有最小值？請在圖②中畫出符合條件的圖形,并說明理由;②若等邊△ABC的邊長為1,直接寫出OA＋OB＋OC的最小值.3．(2013·河南)如圖①,將兩個完全相同的三角形紙片和重合放置,其中∠C＝90°,∠B＝∠E＝30°.(1)操作發現如圖②,固定△ABC,使△DCE繞點C旋轉．當點D恰好落在AB邊上時,填空:①線段DE與AC的位置關系是__________;②設△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,則S1與S2的數量關系是__________;(2)猜想論證當△DEC繞點C旋轉到圖③所示的位置時,小明猜想(1)中S1與S2的數量關系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高,請你證明小明的猜想;(3)拓展探究已知∠ABC＝60°,點D是其角平分線上一點,BD＝CD＝4,DE∥AB交BC于點E(如圖④),若在射線BA上存在點F,使S△DCF＝S△BDC,請直接寫出相應的BF的長.4．(2017·鄭州模擬)【問題情境】數學課上,李老師提出了如下問題:在△ABC中,∠ABC＝∠ACB＝α,點D是AB邊上任意一點,將射線DC繞點D逆時針旋轉α與過點A且平行于BC邊的直線交于點E.請判斷線段BD與AE之間的數量關系．小穎在小組合作交流中,發表自己的意見:“我們不妨從特殊情況下獲得解決問題的思路,然后類比到一般情況．”小穎的想法獲得了其他成員一致的贊成．【問題解決】(1)如圖①,當α＝60°時,判斷BD與AE之間的數量關系;解法如下:過D點作AC的平行線交BC于F,構造全等三角形,通過推理使問題得到解決,請你直接寫出線段BD與AE之間的數量關系:__________.【類比探究】(2)如圖②,當α＝45°時,請判斷線段BD與AE之間的數量關系,并進行證明;(3)如圖③,當α為任意銳角時,請直接寫出線段BD與AE之間的數量關系:__________.(用含α的式子表示,其中0°＜α＜90°)5．(2017·煙臺)【操作發現】(1)如圖①,△ABC為等邊三角形,現將三角板中的60°角與∠ACB重合,再將三角板繞點C按順時針方向旋轉(旋轉角大于0°且小于30°),旋轉后三角板的一直角邊與AB交于點D,在三角板斜邊上取一點F,使CF＝CD,線段AB上取點E,使∠DCE＝30°,連接AF,EF.①求∠EAF的度數;②DE與EF相等嗎？請說明理由;【類比探究】(2)如圖②,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB＝90°,先將三角板的90°角與∠ACB重合,再將三角板繞點C按順時針方向旋轉(旋轉角大于0°且小于45°),旋轉后三角板的一直角邊與AB交于點D,在三角板另一直角邊上取一點F,使CF＝CD,線段AB上取點E,使∠DCE＝45°,連接AF,EF,請直接寫出探究結果:①求∠EAF的度數;②線段AE,ED,DB之間的數量關系．題型五第22題幾何圖形探究題類型一幾何圖形靜態探究1．遷移應用:①證明:∵∠BAC＝∠DAE＝120°,∴∠DAB＝∠CAE,在△DAB和△EAC中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DA＝EA,∠DAB＝∠EAC,AB＝AC)),∴△DAB≌△EAC;,圖②)②解:結論:CD＝eq\r(3)AD＋BD.理由:如解圖①,作AH⊥CD于H.∵△DAB≌△EAC,∴BD＝CE,在Rt△ADH中,DH＝AD·cos30°＝eq\f(\r(3),2)AD,∵AD＝AE,AH⊥DE,∴DH＝HE,∵CD＝DE＋EC＝2DH＋BD＝eq\r(3)AD＋BD;拓展延伸:①證明:如解圖②,作BH⊥AE于H,連接BE.∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC＝120°,∴△ABD,△BDC是等邊三角形,∴BA＝BD＝BC,∵E、C關于BM對稱,∴BC＝BE＝BD＝BA,FE＝FC,∴A、D、E、C四點共圓,∴∠ADC＝∠AEC＝120°,∴∠FEC＝60°,∴△EFC是等邊三角形,②解:∵AE＝5,EC＝EF＝2,∴AH＝HE＝2.5,FH＝4.5,在Rt△BHF中,∵∠BFH＝30°,∴eq\f(HF,BF)＝cos30°,∴BF＝eq\f(4.5,\f(\r(3),2))＝3eq\r(3).2．(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,P與C重合,∴OB＝OP,∠BOC＝∠BOG＝90°,∵PF⊥BG,∠PFB＝90°,∴∠GBO＝90°－∠BGO,∠EPO＝90°－∠BGO,∴∠GBO＝∠EPO,在△BOG和△POE中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GBO＝∠EPO,OB＝OP,∠BOG＝∠POE)),∴△BOG≌△POE(ASA);(2)解:猜想eq\f(BF,PE)＝eq\f(1,2).證明:如解圖①,過P作PM∥AC交BG于M,交BO于N,∴∠PNE＝∠BOC＝90°,∠BPN＝∠OCB.∵∠OBC＝∠OCB＝45°,∴∠NBP＝∠NPB,∴NB＝NP.∵∠MBN＝90°－∠BMN,∠NPE＝90°－∠BMN,∴∠MBN＝∠NPE,在△BMN和△PEN中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MBN＝∠NPE,NB＝NP,∠MNB＝∠PNE)),∴△BMN≌△PEN(ASA),∴BM＝PE.∵∠BPE＝eq\f(1,2)∠ACB,∠BPN＝∠ACB,∴∠BPF＝∠MPF.∵PF⊥BM,∴∠BFP＝∠MFP＝90°.在△BPF和△MPF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BPF＝∠MPE,PF＝PF,∠PFB＝∠PFM)),∴△BPF≌△MPF(ASA).∴BF＝MF.即BF＝eq\f(1,2)BM.∴BF＝eq\f(1,2)PE.即eq\f(BF,PE)＝eq\f(1,2);(3)解:如解圖②,過P作PM∥AC交BG于點M,交BO于點N,∴∠BPN＝∠ACB＝α,∠PNE＝∠BOC＝90°.由(2)同理可得BF＝eq\f(1,2)BM,∠MBN＝∠EPN,∴△BMN∽△PEN,∴eq\f(BM,PE)＝eq\f(BN,PN).在Rt△BNP中,tanα＝eq\f(BN,PN),∴eq\f(BM,PE)＝tanα,即eq\f(2BF,PE)＝tanα,∴eq\f(BF,PE)＝eq\f(tanα,2).3．解:(1)∵△ACB和△DCE均為等邊三角形,∴CA＝CB,CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝60°,∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC,∠ACD＝∠BCE,CD＝CE)),∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC＝∠BEC.∵△DCE為等邊三角形,∴∠CDE＝∠CED＝60°.∵點A,D,E在同一直線上,∴∠ADC＝120°,∴∠BEC＝120°,∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°;②∴AD＝BE;(2)∠AEB＝90°,AE＝BE＋2CM.理由:∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∴CA＝CB,CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CA＝CB,∠ACD＝∠BCE,CD＝CE)),∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE,∠ADC＝∠BEC.∵△DCE為等腰直角三角形,∴∠CDE＝∠CED＝45°.∵點A,D,E在同一直線上,∴∠ADC＝135°,∴∠BEC＝135°,∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.∵CD＝CE,CM⊥DE,∴DM＝ME.∵∠DCE＝90°,∴DM＝ME＝CM,∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM;(3)點A到BP的距離為eq\f(\r(3)－1,2)或eq\f(\r(3)＋1,2).理由如下:∵PD＝1,∴點P在以點D為圓心,1為半徑的圓上．∵∠BPD＝90°,∴點P在以BD為直徑的圓上．∴點P是這兩圓的交點．①當點P在如解圖①所示位置時,連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,過點A作AE⊥AP,交BP于點E,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADB＝45°.AB＝AD＝DC＝BC＝eq\r(2),∠BAD＝90°.∴BD＝2.∵DP＝1,∴BP＝eq\r(3).∵∠BPD＝∠BAD＝90°,∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上,∴∠APB＝∠ADB＝45°.∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形,點B、E、P共線,AH⊥BP,∴由(2)中的結論可得:BP＝2AH＋PD.∴eq\r(3)＝2AH＋1.∴AH＝eq\f(\r(3)－1,2);②當點P在如解圖②所示位置時,連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,過點A作AE⊥AP,交PB的延長線于點E,同理可得:BP＝2AH－PD.∴eq\r(3)＝2AH－1.∴AH＝eq\f(\r(3)＋1,2).綜上所述:點A到BP的距離為eq\f(\r(3)－1,2)或eq\f(\r(3)＋1,2).4．解:【探究】平行四邊形．理由:如解圖①,連接AC,∵E是AB的中點,F是BC的中點,∴EF∥AC,EF＝eq\f(1,2)AC,同理HG∥AC,HG＝eq\f(1,2)AC,綜上可得:EF∥HG,EF＝HG,故四邊形EFGH是平行四邊形．【應用】(1)添加AC＝BD,理由:連接AC,BD,同(1)知,EF＝eq\f(1,2)AC,同【探究】的方法得,FG＝eq\f(1,2)BD,∵AC＝BD,∴EF＝FG,∵四邊形EFGH是平行四邊形,∴?EFGH是菱形;(2)如解圖②,由【探究】得,四邊形EFGH是平行四邊形,∵F,G是BC,CD的中點,∴FG∥BD,FG＝eq\f(1,2)BD,∴△CFG∽△CBD,∴eq\f(S△CFG,S△BCD)＝eq\f(1,4),∴S△BCD＝4S△CFG,同理:S△ABD＝4S△AEH,∵四邊形ABCD面積為5,∴S△BCD＋S△ABD＝5,∴S△CFG＋S△AEH＝eq\f(5,4),同理:S△DHG＋S△BEF＝eq\f(5,4),∴S四邊形EFGH＝S四邊形ABCD－(S△CFG＋S△AEH＋S△DHG＋S△BEF)＝5－eq\f(5,2)＝eq\f(5,2),設AC與FG,EH相交于M,N,EF與BD相交于P,∵FG∥BD,FG＝eq\f(1,2)BD,∴CM＝OM＝eq\f(1,2)OC,同理:AN＝ON＝eq\f(1,2)OA,∵OA＝OC,∴OM＝ON,易知,四邊形ENOP,FMOP是平行四邊形,S?EPON＝S?FMOP,∴S陰影＝eq\f(1,2)S四邊形EFGH＝eq\f(5,4).5．解:(1)∵△ABC是等邊三角形,∴△AGD是等邊三角形,∴AD＝GD,由題意知:CE＝AD,∴CE＝GD,∵DG∥BC,∴∠GDF＝∠CEF,在△GDF與△CEF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GDF＝∠CEF,∠GFD＝∠EFC，,GD＝CE))∴△GDF≌△CEF(AAS),∴CF＝GF,∵DH⊥AG,∴AH＝GH,∴AC＝AG＋CG＝2GH＋2GF＝2(GH＋GF)＝2HF,∴eq\f(AC,HF)＝2;(2)如解圖①,過點D作DG∥BC交AC于點G,則∠ADG＝∠ABC＝90°.∵∠BAC＝∠ADH＝30°,∴AH＝DH,∠GHD＝∠BAC＋∠ADH＝60°,∠HDG＝∠ADG－∠ADH＝60°,∴△DGH為等邊三角形．∴GD＝GH＝DH＝AH,AD＝GD·tan60°＝eq\r(3)GD.由題意可知,AD＝eq\r(3)CE.∴GD＝CE.∵DG∥BC,∴∠GDF＝∠CEF.在△GDF與△CEF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GDF＝∠CEF,∠GFD＝∠EFC,CE＝GD)),∴△GDF≌△CEF(AAS),∴GF＝CF.GH＋GF＝AH＋CF,即HF＝AH＋CF,∴HF＝eq\f(1,2)AC,即eq\f(AC,HF)＝2;(3)eq\f(AC,HF)＝eq\f(m＋1,m).理由如下:如解圖②,過點D作DG∥BC交AC于點G,易得AD＝AG,AD＝EC,∠AGD＝∠ACB.在△ABC中,∵∠BAC＝∠ADH＝36°,AB＝AC,∴AH＝DH,∠ACB＝∠B＝72°,∠GHD＝∠HAD＋∠ADH＝72°.∴∠AGD＝∠GHD＝72°,∵∠GHD＝∠B＝∠HGD＝∠ACB,∴△ABC∽△DGH.∴eq\f(GH,DH)＝eq\f(BC,AC)＝m,∴GH＝mDH＝mAH.由△ADG∽△ABC可得eq\f(DG,AD)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(BC,AC)＝m.∵DG∥BC,∴eq\f(FG,FC)＝eq\f(GD,EC)＝m.∴FG＝mFC.∴GH＋FG＝m(AH＋FC)＝m(AC－HF),即HF＝m(AC－HF)．∴eq\f(AC,HF)＝eq\f(m＋1,m).類型二幾何圖形動態探究1．解:(1)①當α＝0°時,∵Rt△ABC中,∠B＝90°,∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(（8÷2）2＋82)＝4eq\r(5),∵點D、E分別是邊BC、AC的中點,∴AE＝4eq\r(5)÷2＝2eq\r(5),BD＝8÷2＝4,∴eq\f(AE,BD)＝eq\f(2\r(5),4)＝eq\f(\r(5),2).②如解圖①,當α＝180°時,可得AB∥DE,∵eq\f(AC,AE)＝eq\f(BC,BD),∴eq\f(AE,BD)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(4\r(5),8)＝eq\f(\r(5),2);(2)當0°≤α＜360°時,eq\f(AE,BD)的大小沒有變化,∵∠ECD＝∠ACB,∴∠ECA＝∠DCB,又∵eq\f(EC,DC)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(\r(5),2),∴△ECA∽△DCB,∴eq\f(AE,BD)＝eq\f(EC,DC)＝eq\f(\r(5),2);(3)①當D在AE上時,如解圖②,∵AC＝4eq\r(5),CD＝4,CD⊥AD,∴AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(（4\r(5)）2－42)＝eq\r(80－16)＝8,∵AD＝BC,AB＝DC,∠B＝90°,∴四邊形ABCD是矩形,∴BD＝AC＝4eq\r(5);②當D在AE延長線上時,如解圖③,連接BD,過點D作AC的垂線交AC于點Q,過點B作AC的垂線交AC于點P,∵AC＝4eq\r(5),CD＝4,CD⊥AD,∴AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(（4\r(5)）2－42)＝eq\r(80－16)＝8,∵原圖中點D、E分別是邊BC、AC的中點,∴DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×(8÷2)＝eq\f(1,2)×4＝2,∴AE＝AD－DE＝8－2＝6,由(2)可得eq\f(AE,BD)＝eq\f(\r(5),2),∴BD＝eq\f(6,\f(\r(5),2))＝eq\f(12\r(5),5).綜上所述,BD的長為4eq\r(5)或eq\f(12\r(5),5).2．解:(1)①∵∠AOB＝150°,∠BOC＝120°,∴∠AOC＝90°,由旋轉的性質可知,∠OCD＝60°,∠ADC＝∠BOC＝120°,∴∠DAO＝360°－60°－90°－120°＝90°;②線段OA,OB,OC之間的數量關系是OA2＋OB2＝OC2.如解圖①,連接OD.∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC,∴△ADC≌△BOC,∠OCD＝60°.∴CD＝OC,∴△OCD是等邊三角形,∴OC＝OD＝CD,∠COD＝∠CDO＝60°,∵∠AOB＝150°,∠BOC＝120°,∴∠AOC＝90°,∴∠AOD＝30°,∠ADO＝60°.∴∠DAO＝90°.在Rt△ADO中,∠DAO＝90°,∴OA2＋AD2＝OD2,∴OA2＋OB2＝OC2;(2)①當α＝β＝120°時,OA＋OB＋OC有最小值．作圖如解圖②,將△AOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△A′O′C,連接OO′.∴△A′O′C≌△AOC,∠OCO′＝∠ACA′＝60°.∴O′C＝OC,O′A′＝OA,A′C＝AC,∠A′O′C＝∠AOC.∴△OCO′是等邊三角形．∴OC＝O′C＝OO′,∠COO′＝∠CO′O＝60°.∵∠AOB＝∠BOC＝120°,∴∠AOC＝∠A′O′C＝120°.∴∠BOO′＝∠OO′A′＝180°.∴B,O,O′,A′四點共線．∴OA＋OB＋OC＝O′A′＋OB＋OO′＝BA′時值最小;②當等邊△ABC的邊長為1時,OA＋OB＋OC的最小值為A′B＝eq\r(3).3．解:(1)①∵△DEC繞點C旋轉使點D恰好落在AB邊上,∴AC＝CD,∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°,∴△ACD是等邊三角形,∴∠ACD＝60°,又∵∠CDE＝∠BAC＝60°,∴∠ACD＝∠CDE,∴DE∥AC;②∵∠B＝30°,∠C＝90°,∴CD＝AC＝eq\f(1,2)AB,∴BD＝AD＝AC,根據等邊三角形的性質,△ACD的邊AC、AD上的高相等,∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),即S1＝S2;(2)∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到,∴BC＝CE,AC＝CD,∵∠ACN＋∠BCN＝90°,∠DCM＋∠BCN＝180°－90°＝90°,∴∠ACN＝∠DCM,∵在△ACN和△DCM中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACN＝∠DCM,∠CMD＝∠N＝90°,AC＝DC)),∴△ACN≌△DCM(AAS),∴AN＝DM,∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),即S1＝S2;(3)如解圖,過點D作DF1∥BE,易求四邊形BEDF1是菱形,∴BE＝DF1,且BE、DF1上的高相等,此時S△DCF1＝S△BDE;過點D作DF2⊥BD,∵∠ABC＝60°,F1D∥BE,∴∠F2F1D＝∠ABC＝60°∵BF1＝DF1,∠F1BD＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°,∠F2DB＝90°,∴∠F1DF2＝∠ABC＝60°,∴△DF1F2是等邊三角形,∴DF1＝DF2∵BD＝CD,∠ABC＝60°,點D是角平分線上一點,∴∠DBC＝∠DCB＝eq\f(1,2)×60°＝30°,∴∠CDF1＝180°－∠BCD＝180°－30°＝150°,∠CDF2＝360°－150°－60°＝150°,∴∠CDF1＝∠CDF2,∵在△CDF1和△CDF2中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DF1＝DF2,∠CDF1＝∠CDF2,CD＝CD)),∴△CDF1≌△CDF2(SAS),∴點F2也是所求的點,∵∠ABC＝60°,點D是角平分線上一點,DE∥AB,∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝eq\f(1,2)×60°＝30°,又∵BD＝4,∴BE＝ED＝eq\f(1,2)×4÷cos30°＝2÷eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3),∴BF1＝eq\f(4\r(3),3),BF2＝BF1＋F1F2＝eq\f(4\r(3),3)＋eq\f(4\r(3),3)＝eq\f(8\r(3),3),故BF的長為eq\f(4\r(3),3)或eq\f(8\r(3),3).4．解:(1)當α＝60°時,△ABC、△DCE是等邊三角形,∴EC＝DC,AC＝BC,∠ACB＝∠DCE＝60°,∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD,即∠BCD＝∠ACE,在△BDC和△AEC中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EC＝DC,∠BCD＝∠ACE,AC＝BC)),∴△BDC≌△AEC(SAS),∴BD＝AE;(2)BD＝eq\r(2)AE;理由如下:如解圖①,過點D作DF∥AC,交BC于F.∵DF∥AC,∴∠ACB＝∠DFB.∵∠ABC＝∠ACB＝α,α＝45°,∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB＝45