專(zhuān)題4.1幾何圖形.重難點(diǎn)題型

【人教版】

【知識(shí)點(diǎn)1立體圖形的認(rèn)識(shí)】

有些幾何圖形（如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）的各部分不都在同一個(gè)平面內(nèi)，這

就是立體圖形.

【知識(shí)點(diǎn)2常見(jiàn)的幾何體分類(lèi)】

立體圖形除了按照柱體、雌、球分類(lèi)，也可以按照圍成幾何體的面是否有曲面劃分：①有曲面：圓柱、

圓錐、球等；②沒(méi)有曲面：棱柱、棱錐等.

【知識(shí)點(diǎn)3棱柱的有關(guān)概念及其特征】

①在棱柱中，相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)叫做棱，相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線(xiàn)叫做側(cè)棱，棱柱所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等，棱柱的

上下底面的形狀、大小相同，并且都是多邊形；棱柱的側(cè)面形狀都是平行四邊形.

②棱柱的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系：底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱柱是n棱柱，它有近個(gè)頂點(diǎn)，3n

條棱，里條側(cè)棱，有n+2個(gè)面,值個(gè)側(cè)面.

【題型1立體圖形的識(shí)別及特征】

【例1】（2020秋?市南區(qū)期中）下面七個(gè)幾何體中，是棱柱的有（）個(gè).

【分析】根據(jù)直棱柱的特征進(jìn)吁判斷即可.

【解答】解：如圖，根據(jù)棱柱的特征可得,

①②③④⑤⑥⑦

①是三棱柱，②是球，③圓錐，④三棱錐，⑤正方體，⑥圓柱體，⑦六棱柱,

因此棱柱有：①@⑦,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體圖形的特征，掌握棱柱的特征是正確解答的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）下列四個(gè)幾何體中，是四棱錐的是（）

C.

【分析】根據(jù)四楂錐的形體特征進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：四棱錐是底面是四邊形的錐體，因此選項(xiàng)A中的幾何體符合題意,

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查認(rèn)識(shí)立體圖形，掌握各種幾何體的形體特征是正確判斷的前提.

【變式1-2]（2020秋?市中區(qū)校級(jí)月考）不透明袋子中裝有一個(gè)幾何體模型，兩位同學(xué)摸該模型并描述它

的特征.甲同學(xué)：它有7個(gè)面；乙同學(xué)：它有10個(gè)頂點(diǎn).該模型的形狀對(duì)應(yīng)的立體圖形可能是（）

A.四棱柱B.五棱柱C.六棱柱D.七棱柱

【分析】根據(jù)五棱錐的特點(diǎn)，可得答案.

【解答】解：五棱柱的兩個(gè)底面是五邊形，側(cè)面是五個(gè)長(zhǎng)方形，共有7個(gè)面;

五棱柱有10個(gè)頂點(diǎn),

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了認(rèn)識(shí)立體圖形，熟記常見(jiàn)幾何體的特征是解題關(guān)鍵.

【變式1?3】如果一個(gè)棱柱（棱錐）有〃條側(cè)棱，那么就稱(chēng)其為〃棱柱（棱錐）.

2

（1）圖①所示的幾何體是一個(gè)三棱柱，它有個(gè)頂點(diǎn)，條棱、個(gè)面；

（2）圖②所示的幾何體是,它有個(gè)頂點(diǎn)，條側(cè)棱、個(gè)側(cè)面、個(gè)底面；

（3）如果一個(gè)棱錐由7個(gè)面圍成，那么這個(gè)棱錐是棱錐，它共有條棱；

（4）如果將圖③的四棱柱從上到下一刀切成兩個(gè)棱柱，且其中一個(gè)是三棱柱，那么另一個(gè)是棱

柱.

【分析】“棱柱有〃個(gè)側(cè)面，2個(gè)底面，3〃條棱，2〃個(gè)頂點(diǎn)，〃棱錐有〃個(gè)側(cè)面，一個(gè)1底面，有2〃條

棱，有〃+1個(gè)頂點(diǎn).

【解答】解：（I）圖①所示的幾何體足一個(gè)二棱柱，它有6個(gè)頂點(diǎn)，9條棱、5個(gè)面；

（2）圖②所示的幾何體是六棱柱，它有12個(gè)頂點(diǎn)，6條側(cè)棱、6個(gè)側(cè)面、2個(gè)底面；

（3）如果一個(gè)棱錐由7個(gè)面圍成，那么這個(gè)棱錐是六棱錐，它共有12條棱；

（4）如果將圖③的四棱柱從上到下一刀切成兩個(gè)棱柱，且其中一個(gè)是三棱柱，那么另一個(gè)是三棱柱或

四棱柱或五棱柱.

故答案為：（1）6；9：5；（2）五棱柱；1（）；5；5；2：（3）六；12；（4）三或四或五.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是認(rèn)識(shí)立體圖形，明確〃棱柱有〃個(gè)側(cè)面，2個(gè)底面，3〃條棱，2〃個(gè)頂點(diǎn)，〃

棱錐有〃個(gè)側(cè)面，一個(gè)I底面，有2〃條棱，有〃+1個(gè)頂點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)4從不同的方向觀察物體】

我仃常從物體的正面、上面和左面（或右面）三個(gè)不同的方向觀察物體，然后秒繪出觀察到的形狀，這樣

就可以把一個(gè)立體圖形的特征轉(zhuǎn)化為平面圖形的特征.

【知識(shí)點(diǎn)5從三個(gè)方向看到的物體的形狀圖】

（1）從正面看到的物體的形狀和從上面看到的物體的形狀，共同反映了物體左右方向的尺寸.

（2）從正面看到的物體的形狀和從左面看到的物體的形狀，共同反映了物體上下方向的尺寸.

（3）從上面看到的物體的形狀和從左面看到的物體的形狀，共同反映了物體前后方向的尺寸.

【題型2由立體圖形判斷物體三個(gè)方向的形狀圖】

【例2】（2021?阜南縣模擬）如圖所示的幾何體從上面看到的形狀是（）

3

圖1圖2

從正面看

A.從正面看到的形狀圖

B.從左面看到的形狀圖

C.從上面看到的形狀圖

D.從上面、左面看到的形狀圖

【解題思路】觀察圖形可知，圖1從正面看到的圖形是3歹U，從左往右正方形個(gè)數(shù)依次是2,1,1；從

左面看到的圖形是2歹U，從左往右正方形個(gè)數(shù)依次是2,1；從上面看到的圖形是3歹L從左往右正方形

個(gè)數(shù)依次是2,1,1；圖2從正面看到的圖形是3歹U，從左往右正方形個(gè)數(shù)依次是1,1,2；從左面看到

的圖形是2歹U，從左往右正方形個(gè)數(shù)依次是2,1；從上面看到的圖形是3歹人從左往右正方形個(gè)數(shù)依次

是2,1,1；據(jù)此即可求解.

【解答過(guò)程】解：由分析可知，從正面看到的形狀圖發(fā)生變化，從上面、左面看到的形狀圖沒(méi)有發(fā)生變

化.

故選：A.

【變式2-3］（2020秋?遼陽(yáng)期末）如圖所示的兩個(gè)幾何體分別由7個(gè)和6個(gè)相同的小正方體搭成，比較兩

個(gè)幾何體從三個(gè)方向看到的形狀圖，正確的是（）

正面正面

A.僅從正面看到的形狀圖不同

B.僅從左面看到的形狀圖不同

C.僅從.上面看到的形狀圖不同

D.從三個(gè)方向看到的形狀圖都相同

5

【解題思路】根據(jù)主視圖是從物體的正面看得到的視圖，俯視圖是從上面看得到的圖形，左視圖是左邊

看得到的圖形，可得答案.

【解答過(guò)程】解：解法一：從正面看，兩個(gè)幾何體均為第一層和第二層都是兩個(gè)小正方形，故主視圖相

同：

從左面看，兩個(gè)幾何體均為第一層和第二層都是兩個(gè)小正方形，故左視圖相同；

從上面看，兩個(gè)幾何體均為第一層和第二層都是兩個(gè)小正方形，故俯視圖相同.

解法二：第一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示

第二個(gè)幾何體的三視圖如圖所示:

觀察可知這兩個(gè)幾何體的正視圖、左視圖和俯視圖都相同，

故選:D.

【知識(shí)點(diǎn)6點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的關(guān)系】

①體與體相交成面，面與面相交成線(xiàn)，線(xiàn)與線(xiàn)相交成點(diǎn).

②點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體.

③點(diǎn)、線(xiàn)、面、體組成幾何圖形，點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的運(yùn)動(dòng)組成了多姿多彩的圖形世界.

6

【題型3點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的關(guān)系】

【例3】（2020秋?清鎮(zhèn)市校級(jí)月考）在七年級(jí)第一章的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)：點(diǎn)動(dòng)成，線(xiàn)動(dòng)成

動(dòng)成體.比如：

（1）圓規(guī)在紙上劃過(guò)會(huì)留下一個(gè)封閉的痕跡，這種現(xiàn)象說(shuō)明.

（2）一個(gè)人手里拿著一個(gè)綁在一根棍上的半圓面，當(dāng)這個(gè)人把這個(gè)半圓面繞著這根棍飛快地旋轉(zhuǎn)起來(lái)時(shí)

就會(huì)看到一個(gè)球，這種現(xiàn)象說(shuō)明.

（3）聰明的你一定觀察過(guò)生活中還有許多類(lèi)似的現(xiàn)象，你能舉出一個(gè)例子嗎？并解釋該現(xiàn)象.

【分析】根據(jù)點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的關(guān)系，可得答案.

【解答】解：（1）故答案為：線(xiàn)，面，面；

（2）由點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的關(guān)系得，點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，

故答案為：點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)；

（3）由點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的關(guān)系得，面動(dòng)成體，

故答案為：面動(dòng)成體；

（4）例如：彗星從天空中劃過(guò)一道明亮的弧線(xiàn)隕落，是點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)的例子.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)、線(xiàn)、面、體之間的關(guān)系，掌握點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)、線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體是得出正確答案的

關(guān)健.

【變式3-1］（2020秋?宿豫區(qū)期末）如圖：C。是直角三角形ABC的高，將直角三角形A8C按以下方式旋

上轉(zhuǎn)一周可以得3到右側(cè)幾何體的是（）

A.繞著4c旋轉(zhuǎn)B.繞著AB旋轉(zhuǎn)C.繞著C。旋轉(zhuǎn)D.繞著B(niǎo)C旋轉(zhuǎn)

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，只有繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，才可以得出組合體的圓錐，進(jìn)而解答即可.

【解答】解：將直角三角形人8c繞斜邊人B所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是，A

故選：B./\

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)、線(xiàn)、面、體，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力及幾何體的三視圖.

【變式3-2］（2020秋?鄲都區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)長(zhǎng)方形繞它的--邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)i周，得到的幾何體是圓

柱，現(xiàn)在有一個(gè)長(zhǎng)為4°加、寬為5a〃的長(zhǎng)方形，繞它的一條邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)--周，得到的圓柱體的體枳

是多大？（寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程〉

7

【分析】以不同的邊所在的直線(xiàn)為軸，可以得到兩個(gè)不同的圓柱體，分兩種情況依據(jù)圓柱體的體積的計(jì)

算方法進(jìn)行解答即可.

【解答】解：①以長(zhǎng)為4c〃?的邊所在的直線(xiàn)為軸，旋轉(zhuǎn)一周可得到一個(gè)底面半徑為50〃，高為4cm的圓

柱體，

因此，體積為nX52x4=10(巾(cm3),

②以寬為4cm的邊所在的直線(xiàn)為軸，旋轉(zhuǎn)一周可得到一個(gè)底面半徑為4c/〃，高為的圓柱體，

因此，體積為11X42X5=80n(cw?),

答：繞它的一條邊所在直線(xiàn)旋綣一周，得到的圓柱體的體積為IOOTTC〃尸或8以('〃[3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳點(diǎn)、線(xiàn)、面、體，掌握?qǐng)A柱體體枳的計(jì)算方法是正確解答的前提.

【變式3-3](2020秋?解放區(qū)校級(jí)月考)小明學(xué)習(xí)了“面動(dòng)成體”之后，他用一個(gè)邊長(zhǎng)為6皿、8c機(jī)和\0crn

的直角三角形，繞其中一條邊旋轉(zhuǎn)一周，得到了一個(gè)幾何體.請(qǐng)計(jì)算出幾何體的體積.(錐體體積=￡底

面積X高)

【分析】根據(jù)三角形旋轉(zhuǎn)是圓錐，可得幾何體；根據(jù)圓錐的體積公式，可得答案.

【解答】解：以8c〃?為軸，得

以8cm為軸體積為工xirX62x8=96n(0/),

3

圖2

以為軸的體積為工xnX82x6=128n(cm3),

3

以10an為軸,得

8

圖3

124

以10（7〃為軸的體積為-XTT（一）2X10=76.8TT（CW3）.

35

故幾何體的體積為：96no/或128110/或76.8”力，.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)線(xiàn)面體，利用三角形旋轉(zhuǎn)是圓錐是解題關(guān)鍵.

【題型4由小立方塊的個(gè)數(shù)得到幾何體的形狀】

【例4】（2021?安徽模擬）如圖是由6個(gè)立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上

的小立方塊的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的從正面看到的形狀為（）

【解題思路】先細(xì)心觀察原立體圖形中正方體的位置關(guān)系，從正面看去，一共三列，左邊有2個(gè)小正方

形，中間有2個(gè)小正方形，右邊有1個(gè)小正方形，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)選出答案.

【解答過(guò)程】解?：從正面看去，一共三列，左邊有2個(gè)小正方形，中間有2個(gè)小正方形，右邊有1個(gè)小

【變式4-1】（2021?大慶）一個(gè)幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的兒何體的形狀圖如圖所

示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方塊的個(gè)數(shù)，能正確表示該幾何體從正面看到的形狀為

（）

9

【解題思路】由所給條件分析幾何體從正面看的每一列最多有幾個(gè)小正方體，從而得到答案.

【解答過(guò)程】解：由所給圖可知，這個(gè)幾何體從正面看共有三列，左側(cè)第一列最多有4塊小正方體，中

旬一列最多有2塊小正方體，最右邊一列有3塊小正方體,

所以主視圖為民

故選：B.

【變式4-2]（2021?商丘三模）如圖是幾個(gè)小立方塊所搭的幾何體俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置

上小立方塊的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的從正面看到的形狀為（）

【解題思路】由已知條件可知，主視圖有3歹ij,每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為2,I,3,從而可以確定答

案.

【解答過(guò)程】解：根據(jù)題意得：主視圖有3歹IJ,每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為2,1,3,

【變式4-3]（2021?泰安）如圖是由若干個(gè)同樣大小的小正方體所搭幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字

10

表示在該位置小正方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體從左面看到的形狀為（)

【解題思路】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【解答過(guò)程】解：從左邊看從左到右第一列是兩個(gè)小正方形，第二列有4個(gè)小正方形，第三列有3個(gè)小

正方形，

故選：B.

【題型5判斷立體圖形小正方體最多最少個(gè)數(shù)】

【例5】（2020秋?二七區(qū)校級(jí)月考）如圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的立體圖形分別從正面、左面看到

的形狀，那么構(gòu)成這個(gè)立體圖形的小正方體的個(gè)數(shù)最少為（）

【解題思路】由主視圖和左視圖可得這個(gè)幾何體共有2層，再分別求出每?行和每?列最少的正方體的

個(gè)數(shù)，依此即可求解?.

【解答過(guò)程】解：根據(jù)主視圖和左視圖可得：構(gòu)成這個(gè)立體圖形的小正方體的個(gè)數(shù)最少為2+1+1=4（個(gè)）.

故選：A.

【變式5-1］（2021秋?薛城區(qū)期末）用小立方塊搭成的幾何體，從正面和上面看的形狀圖如圖，則組成這

樣的幾何體需要立方塊個(gè)數(shù)為（）

從正面看從上面看

A.最多需要8塊，最少需要6塊

11

B.最多需要9塊，最少需要6塊

C.最多需要8塊，最少需要7塊

D.最多需要9塊，最少需要7塊

【解題思路】易得這個(gè)幾何體共有3層，由俯視圖可得第一層正方體的個(gè)數(shù)為4,由主視圖可得第二層

最少為2塊，最多的正方體的個(gè)數(shù)為3塊，第三層只有一塊，相加即可.

【解答過(guò)程】解：有兩種可能;

由主視圖可得：這個(gè)兒何體共有3層,

由俯視圖可得：第一層正方體的個(gè)數(shù)為4,由主視圖可得第二層最少為2塊，最多的正方體的個(gè)數(shù)為3

塊，

第三層只有一?塊,

，最多為3+4+1=8個(gè)小立方塊，最少為個(gè)2+4+1=7小立方塊.

故選：C.

【變式5-2]（2020秋?寶安區(qū)期中）如圖是由若干個(gè)完全相同的小正方體組成的一個(gè)幾何體的主視圖和俯

視圖，若這個(gè)幾何體最多由小個(gè)小正方體組成，最少由〃個(gè)小正方體組成，則〃[+〃=（）

從上面看

A.14B.16C.17D.18

【解題思路】主視圖、俯視圖是分別從物體正面；上面看所得到的圖形.

【解答過(guò)程】解：易得第一層有4個(gè)正方體，第二層最多有3個(gè)正方體，最少有2個(gè)正方體，第三層最

多有2個(gè)正方體，最少有1個(gè)王方體,

4+3+2=9,，〃=4+2+1=7,

所以w+n=9+7=16.

故選：B.

【變式5-3]（2020秋?鐵西區(qū)校級(jí)期末）如圖是由幾個(gè)相同的小正方體分別從上面、左面看到的形狀圖,

這樣的幾何體最多需要個(gè)小立方體塊，最少需要個(gè)小立方體塊.

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從左面看從上面看

【解題思路】根據(jù)從上面和從左面看到的圖形可知：這個(gè)圖形有2行，后面一行只有一層，是2個(gè)正方

形，前面一行是2層，下層是2個(gè)正方形，上面一層最少是1個(gè)正方形，最多是2個(gè)正方形，由此即可

解答.

【解答過(guò)程】解：根據(jù)圖形可得：最少需要：2+2+1=5（個(gè)），最多需要2+2+2=6（個(gè)），

故擺這樣的立體圖形，最少需要5個(gè)小立方塊，最多需要6個(gè)小方塊.

故答案為：6,5.

【知識(shí)點(diǎn)7正方體的表面展開(kāi)圖】

正方體是特殊的棱柱，它的六個(gè)面都是大小相同的正方形，將一個(gè)正方體的表面展開(kāi)，可以得到11種不同

的展開(kāi)圖，把它歸為四類(lèi)：一四一型有6種；二三一型有3種；三三型有1種；二二二型有一種.

正方體展開(kāi)圖口訣：

①一線(xiàn)不過(guò)四;田凹應(yīng)棄之；

②找相對(duì)面：相間，“Z”端是對(duì)面；

③找鄰面：間二，拐角鄰面知.

【題型6正方體的展開(kāi)圖】

【例6】（2021?邢臺(tái)期中）把如圖所示的正方體展開(kāi)，得到的平面展開(kāi)圖可以是）

【解題思路】在驗(yàn)證立方體的展開(kāi)圖時(shí)，要細(xì)心觀察每一個(gè)標(biāo)志的位置是否一致，然后進(jìn)行判斷.

【解答過(guò)程】解：把四個(gè)選項(xiàng)的展開(kāi)圖折疊，能復(fù)原的是既

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故選：B.

【變式6-