專題5.2分式的運算.重難點題型

【知識點1分式的加減】

同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母分式相加減，先通分，變為同分母的分式，再加減。

①同分母分式的加減：—±-=；

CCC

CLa.cad,bead±bc

②異分母分式的加法：—±-=——~=—一°

baodbdbd

注：不論是分式的哪種運算，都要先進行因式分解。

【題型1分式的加減】

【例1】（2021春?鹽城月考）化簡：

ab、X2-44X

（i'i------+-------?（?）---------------------------

a-bb-ax2-4x+4x2-2x

,,_7n+2,m+3.,

【變式1-1】當m>-3時,比較而與右的ai大小.

【變式I1】（2⑼?樂山）已知合一￡=音崗’求人8的值.

【變式1-3](2021春?河南期末)若。>0,止急,2=笠1

IXIX(XI乙

1234

(1)當”=1時，M=-,N=-；當a=3時，M=-，N=-：

一2———3——4——5-

（2）猜想M與N的大小關系，并證明你的猜想.

【題型2分式與整式的混合運算】

%2

【例2】（2⑼?嘉興一模）計算嬴一+2時，兩位同學的解法如下:

%2X

解法一：六一戶2解法二：一--x+2

x+2

/_%+2_32_(X+2)2=擊口2一（》_2）（%+2）]

x+21-x+2x+2

（1）判斷：兩位同學的解題過程有無計算錯誤？若有誤，請在錯誤處打“X”.

（2】請選擇一種你喜歡的方法,完成解答.

【變式2-1]（2021?梧州）計算：（1?2）2?一（廠1）+*3-嚴.

【變式2-2]（2021秋?昌平區期中）閱讀下列材料，然后回答問題.

31

我們知道，假分數可以化為整數與真分數的和的形式.例如：-=1+在分式中，對于只含有一個字母的分

式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱

X+1r21Y

之為“直分式”.例如：—,/這樣的分式是假分式：—,E這樣的分式是直分式.類似的‘假分式也

可以化為整式與真分式的和的形式.

X+l(X-2)+33

例如:------=-------------=1+-------，

X-2x-2%~2

x2(x+2)(x-2)+44

--=---------=x—2+---

x+2x+2%+2

解決下列問題:

（11將分式一;化為整式與真分式的和的形式：

x+3

工2+2%

（2）如果分式一丁的值為整數，求x的整數值.

x+3

【變式2-3］（2021春?玄武區期中）著名數學教育家波利亞曾說：“對一個數學問題，改變它的形式，變換它的結

構，直到發現有價值的東西，這是數學解題的一個重要原則.”

《見微知著》談到：從一個簡單的經典問題出發，從特殊到一般，由簡單到復雜；從部分到整體，由低維到高維,

知識與方法上的類比是探索發展的重要途徑，是思想閥門發現新問題、新結論的重要方法.

閱讀材料：在處理分數和分式的問即時，有時由于分子大于分母，或分子的次數高于分母的次數，在實際運算時

難度較大，這時，我們可將分數（分式）拆分成一個整數（整式）與一個真分數（分式）的和1差）的形式，通

過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數法，此法在處理分式或整除問題時頑為有效.

將分式分離常數可類比假分數變形帶分數的方法進行，如：/一2：+3=Q-x+3二葉考畢

x-lx-lX-1

1+三，這樣，分式就拆分成一個分式二一與一個整式X-I的和的形式.

無一1x-l

根據以上閱讀材料，解答下列問題：

%+6

（1）假分式---可化為帶分式形式；

X+4------

（2J利用分離常數法，求分式與號的取值范圍；

產+1

5+9x—31

⑶若分式----------拆分成一個整式與一個分式（分子為整數加和（差）的形式為：5〃??11+—z,則m2+n2+mn

x+2n-6

的最小值為.

【知識點2分式的混合運算】

1.乘法法則：---=—o分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

bdbd

2.除法法則：==—o分式除以分式，把除式的分子、分母筋倒位置后，與被除式相乘。

babcb'c

3.分式的乘方：fy二%。分式乘方要把分子、分母分別乘方。

4.分式的混合運算：與實數運算類似，分式的混合運算應先來方、后來除、最后加減，有括號時，先算括號里面的，

并恰當運用運算律簡化運算。一個分式與一個整式相加減時，可以把整式視為分母為1的分式，以免通分漏項。

【題型3分式的混合運算】

【例3】（2021秋?萊蕪區期中）計算：

2

、b-aa-bI2QCz3x-2

（1）—）+（ab-b）-（TA-）2；（2）（—r-I）+2

z

baba-b，X-1x-2x+l

111

【變式4」】（2。2°春.溫江區期末）已知Si+“不取。和7）,S2=FS3=fS=F，…按此

規律，請用含。的代數式表示52020=

2121

【變式4-2]（2021春?玄武區校級期中）如果記/（#=念x，并且八1）表示當x=I時），的值，即/（1）=士=^f

（5表示當x=★時y的值，即/弓）=^^7=1-

3611

(I：'/'(6)=—；J(一)=一

」—37—,4—17—

(2)/(1)+f(2)V<3)+…+f<—>=_-+?_.(結果用含〃的代數式表示，〃

23'n+1-2

為正整數).

【變式4-3]（2020秋?海港區期中）觀察下列各式:

11

第一式:=1——.?

1x22

111

第二式:?

2x323

111

第三式：

3x4一34'

1_11

（I）請你根據觀察得到的規律寫匕這列式子的第〃式:

—nx(n+l)-nn+l-

(2J求和：------+-----------+----------------------:

x(x+l)(x+l)(x+2)(x+2015)(x+2016)

bbb

(3)已知J-6a+9與-11互為相反數，求二一-+-——―-+…+-—―——

cz(a+l)(Q+1)(Q+2)(a+9)(tz+10)

【知識點3整數指數搴的運算】

1

1.整數負指數原：a=o

2.若且aKO,則m=n；反之，若a去0,且m二n,則據此，可解決某些條件求值問題。

【題型5整數指數幕的運算】

151c-22,1

【例5】（2（）20秋?海淀區校級期中）=7^7?匕一（-1+字）|+|-5|X（=+[-（2）3]）X（-A）.

1—11X1AZT*S，

【變式57］（2021春?江都區期中）已知。=-3.2,b=（-1）-2,c=（-1）°,比較a、b、c的大小，并用“V”

號連接起來：.

【變式5-2］（2020春?江都區月考）門=$（a#0）,即。的負P次鼎等于。的〃次幕的倒數.例：廣=馬.

。4

（1）計算：59=；（-2）n=；

（2）如果2P—g,那么〃=；如果。’=那么4=；

⑶如果小P=親，且〃、〃為整數，求滿足條件的4、〃的取值.

【變式5-3］（2021春?鹽都區月考）（1）已知片？-…，方=3-33333,。二5一22222,請用“V”把它們按從小到

大的順序連接起來，說明理由.

（2）請探索使得等式⑵+3）/