廣東省深圳市福海中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f(x)$的對稱中心是（）A.$(1,2)$B.$(1,1)$C.$(1,0)$D.$(2,1)$2.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復(fù)數(shù)$z$的幾何意義是（）A.$z$在復(fù)平面上到點(diǎn)$(1,0)$和點(diǎn)$(-1,0)$的距離相等B.$z$在復(fù)平面上到點(diǎn)$(1,0)$和點(diǎn)$(-1,0)$的距離之比為$1:1$C.$z$在復(fù)平面上到點(diǎn)$(1,0)$和點(diǎn)$(-1,0)$的距離之比為$2:1$D.$z$在復(fù)平面上到點(diǎn)$(1,0)$和點(diǎn)$(-1,0)$的距離之比為$1:2$二、填空題要求：將答案填入題中的橫線上。3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=3$，$a_4=9$，則$d=\quad$。4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$，則$f(x)$的定義域?yàn)?\quad$。三、解答題要求：解答下列各題。5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x}{x-2}$，求：（1）$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。6.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=1$，$a_3=7$，求：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。四、解答題要求：解答下列各題。7.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$，求：（1）$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）$f(x)$的極值點(diǎn)及極值。五、解答題要求：解答下列各題。8.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。六、解答題要求：解答下列各題。9.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：（1）$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）$f(x)$的極值點(diǎn)及極值；（3）$f(x)$的拐點(diǎn)及拐點(diǎn)處的凹凸性。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$的對稱中心可以通過求導(dǎo)數(shù)并令其為零來找到。求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x^2-2x+\frac{4}{3}=0$，解得$x=1$。將$x=1$代入原函數(shù)得$f(1)=1^3-3\times1^2+4\times1=2$，所以對稱中心為$(1,2)$。2.A解析：復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$表示$z$到點(diǎn)$(1,0)$和點(diǎn)$(-1,0)$的距離相等，這是復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的幾何表示。二、填空題3.3解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，$a_4=a_1+3d$，代入$a_1=3$和$a_4=9$得$9=3+3d$，解得$d=2$。4.$\{x|x\neq2\}$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$的定義域?yàn)樗惺狗帜覆粸榱愕?x$的集合，即$x\neq2$。三、解答題5.（1）$f'(x)=\frac{3x^2-6x+4}{(x-2)^2}$解析：對$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x}{x-2}$進(jìn)行求導(dǎo)，使用商的導(dǎo)數(shù)法則。（2）$f(x)$在$x=1$處取得極大值$f(1)=2$，在$x=2$處取得極小值$f(2)=0$。解析：通過求導(dǎo)數(shù)$f'(x)$并令其為零找到極值點(diǎn)，然后代入原函數(shù)計(jì)算極值。6.（1）$a_n=1+(n-1)\times3=3n-2$解析：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=1$和$d=3$得到通項(xiàng)公式。（2）$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+3n-2)}{2}=\frac{3n^2-n}{2}$解析：使用等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入通項(xiàng)公式計(jì)算前$n$項(xiàng)和。四、解答題7.（1）$f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$解析：對$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$分別求導(dǎo)，使用對數(shù)函數(shù)和根號(hào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。（2）$f(x)$在$x=\frac{1}{2}$處取得極大值$f\left(\frac{1}{2}\right)=\ln\left(\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}$，無極小值。解析：通過求導(dǎo)數(shù)$f'(x)$并令其為零找到極值點(diǎn)，然后代入原函數(shù)計(jì)算極值。五、解答題8.（1）$a_n=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}$解析：由遞推關(guān)系$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，逐步計(jì)算得到通項(xiàng)公式。（2）$S_n=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}$解析：使用數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算前$n$項(xiàng)和。六、解答題9.（1）$f'(x)=3x^2-12x+9$解析：對$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$進(jìn)行求導(dǎo)，使用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。（2）$f(x)$在$x=1$處取得極大值$f(1)=1$，在$x=2$處取得極小值$f(2)