2025年線性代數(shù)（行列式與矩陣）期中考試試卷——行列式與矩陣?yán)碚撋疃冉馕鲆?、選擇題（每題5分，共20分）1.設(shè)四元二次方程組\[\begin{cases}x_1^2+2x_2^2+x_3^2+2x_4^2=1\\2x_1x_2+x_3x_4=0\end{cases}\]的系數(shù)矩陣為\(A\)，則下列各式中，\(A\)的秩為______。A.1B.2C.3D.42.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A\)的伴隨矩陣記為\(A^*\)，則\(|A^*|\)等于______。A.\(|A|^{n-1}\)B.\(|A|^{n}\)C.\((|A|)^n\)D.\(|A|^{n+1}\)3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(B\)為\(n\)階可逆矩陣，則下列矩陣的行列式值為______。A.\(|A|\)B.\(|A^{-1}|\)C.\(|B^{-1}A|\)D.\(|B|A|\)4.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的行列式值為0，則下列結(jié)論中正確的是______。A.\(A\)必為奇異矩陣B.\(A\)的秩為0C.\(A\)的列向量線性相關(guān)D.\(A\)的行向量線性相關(guān)5.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=O\)，則下列結(jié)論中正確的是______。A.\(A\)必為奇異矩陣B.\(A\)的秩為0C.\(A\)的列向量線性相關(guān)D.\(A\)的行向量線性相關(guān)二、填空題（每題5分，共20分）1.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的秩為\(n\)，則\(|A|\)等于______。2.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的行列式值為0，則\(A\)的秩為______。3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的秩為\(n-1\)，則\(A\)的伴隨矩陣的行列式值為______。4.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的行列式值為1，則\(A\)的逆矩陣的行列式值為______。5.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的秩為\(n\)，則\(A\)的伴隨矩陣的秩為______。三、計算題（每題20分，共60分）1.計算下列矩陣的行列式值：\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]2.計算下列矩陣的行列式值：\[\begin{bmatrix}2&1&-1\\3&-1&2\\4&2&1\end{bmatrix}\]3.計算下列矩陣的行列式值：\[\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&1&1&1\\3&1&1&1\\4&1&1&1\end{bmatrix}\]四、證明題（每題20分，共40分）1.證明：如果\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的秩為\(n\)，那么\(A\)的逆矩陣存在。2.證明：如果\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的行列式值為0，那么\(A\)的列向量線性相關(guān)。五、計算題（每題20分，共40分）1.計算下列矩陣的逆矩陣：\[\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&7\end{bmatrix}\]2.計算下列矩陣的逆矩陣：\[\begin{bmatrix}4&-1&2\\3&-2&5\\1&0&-1\end{bmatrix}\]六、應(yīng)用題（每題20分，共40分）1.設(shè)線性方程組\[\begin{cases}x_1-x_2+2x_3=4\\2x_1+x_2-2x_3=2\\-x_1+2x_2+x_3=1\end{cases}\]的系數(shù)矩陣為\(A\)，求解\(A\)的行列式值和逆矩陣（如果存在）。2.設(shè)線性方程組\[\begin{cases}3x_1+2x_2-x_3=8\\2x_1+x_2-x_3=5\\-x_1+2x_2+3x_3=6\end{cases}\]的系數(shù)矩陣為\(A\)，判斷該方程組是否有唯一解，如果有，求出方程組的解。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：觀察方程組，第二個方程可以表示為\(2x_1x_2=-x_3x_4\)，因此\(x_1x_2\)和\(x_3x_4\)的符號相反。由于方程組的秩必須小于等于變量數(shù)減1，所以秩為2。2.A解析：伴隨矩陣的行列式值等于原矩陣的行列式的\(n-1\)次冪，其中\(zhòng)(n\)是矩陣的階數(shù)。3.D解析：行列式的乘法性質(zhì)告訴我們，如果\(B\)是可逆矩陣，那么\(B^{-1}A\)的行列式等于\(B\)的行列式乘以\(A\)的行列式。4.C解析：如果\(A\)的行列式值為0，那么\(A\)至少有一個零特征值，這意味著\(A\)的列向量線性相關(guān)。5.C解析：如果\(A^2=O\)，那么\(A\)的列向量必須是\(O\)的列向量的線性組合，這意味著\(A\)的列向量線性相關(guān)。二、填空題1.1解析：如果矩陣的秩為\(n\)，那么它的行列式值不為0。2.n-1解析：如果矩陣的行列式值為0，那么它的秩小于等于\(n-1\)。3.0解析：如果矩陣的秩為\(n-1\)，那么它的伴隨矩陣的行列式值為0。4.1解析：如果矩陣的行列式值為1，那么它的逆矩陣的行列式值也為1。5.n-1解析：如果矩陣的秩為\(n\)，那么它的伴隨矩陣的秩為\(n-1\)。三、計算題1.0解析：這是一個上三角矩陣，對角線上的元素為1，2，3，所以行列式值為\(1\times2\times3=6\)。但是，由于第一列和第二列成比例，行列式值為0。2.-1解析：這是一個上三角矩陣，對角線上的元素為2，-2，-1，所以行列式值為\(2\times(-2)\times(-1)=4\)。但是，由于第一列和第二列成比例，行列式值為0。所以需要檢查計算，最終行列式值為-1。3.0解析：這是一個上三角矩陣，對角線上的元素為1，1，1，1，所以行列式值為\(1\times1\times1\times1=1\)。但是，由于第二列和第三列成比例，行列式值為0。四、證明題1.證明：如果\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的秩為\(n\)，那么\(A\)的逆矩陣存在。解析：由于\(A\)的秩為\(n\)，\(A\)是可逆的。因此，存在\(B\)使得\(AB=BA=I\)，其中\(zhòng)(I\)是單位矩陣。2.證明：如果\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的行列式值為0，那么\(A\)的列向量線性相關(guān)。解析：如果\(A\)的行列式值為0，那么\(A\)的列向量不能線性獨立。因此，存在一組非零系數(shù)，使得\(c_1v_1+c_2v_2+\ldots+c_nv_n=0\)，其中\(zhòng)(v_1,v_2,\ldots,v_n\)是\(A\)的列向量。五、計算題1.逆矩陣：\[\begin{bmatrix}1&-2&3\\0&1&-4\\-5&6&7\end{bmatrix}\]解析：通過行變換或使用公式計算，可以得到上述逆矩陣。2.逆矩陣：\[\begin{bmatrix}1/4&1/2&-1/2\\1/2&1/4&1/4\\-1/2&1/4&1/4\end{bmatrix}\]解析：通過行變換或使用公式計算，可以得到上述逆矩陣。六、應(yīng)用題1.行列式值為0，逆矩陣不存在。解析：計算\(A\)的行列式，如果結(jié)果為