2024年新高考數學一輪復習專題20概率、隨機變量與分布列（解析版）一、選擇題（每題1分，共5分）1.一個袋子里有5個紅球和3個藍球，隨機取出一個球，取出紅球的概率是多少？A.1/2B.2/3C.5/8D.3/52.拋擲兩個公平的六面骰子，兩個骰子點數之和為7的概率是多少？A.1/6B.1/12C.5/36D.1/93.一個隨機變量X的分布列為：P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.5,P(X=2)=0.3，則X的期望值是多少？A.0.2B.1C.1.3D.1.64.如果隨機變量X服從二項分布B(n,p)，且E(X)=4，Var(X)=2.4，則n和p的值分別是多少？A.n=6,p=0.4B.n=8,p=0.3C.n=10,p=0.24D.n=12,p=0.25.在一個盒子中有10個球，編號為1到10。隨機抽取兩個球，設隨機變量Y為兩個球編號之和，Y的可能取值有多少種？A.9B.10C.11D.12二、判斷題（每題1分，共5分）6.拋擲一枚硬幣，得到正面和反面的概率是相等的。（正確/錯誤）7.如果一個隨機變量的方差為0，那么這個隨機變量一定是常數。（正確/錯誤）8.在二項分布中，如果試驗次數n越大，那么分布越接近正態分布。（正確/錯誤）9.隨機變量X的期望值E(X)一定是X的可能取值之一。（正確/錯誤）10.在概率論中，互斥事件一定不會同時發生，但獨立事件可以同時發生。（正確/錯誤）三、填空題（每題1分，共5分）11.拋擲一枚公平的四面骰子，得到偶數的概率是_______。12.一個隨機變量X的分布列為：P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.4,P(X=3)=0.3，則X的方差Var(X)是_______。13.如果隨機變量X服從泊松分布Poisson(λ)，且E(X)=3，則λ的值是_______。14.在一個班級中，有30%的學生喜歡數學，隨機選擇兩名學生，他們都不喜歡數學的概率是_______。15.如果隨機變量X和Y獨立，且E(X)=2,E(Y)=3,Var(X)=4,Var(Y)=9，則E(XY)的值是_______。四、簡答題（每題2分，共10分）16.簡述什么是隨機變量，并給出一個例子。17.解釋什么是離散型隨機變量的分布列。18.什么是二項分布，它有什么特點？19.簡述泊松分布的概念及其應用場景。20.解釋什么是隨機變量的期望值和方差。五、應用題（每題2分，共10分）21.一個籃子里有5個蘋果，其中3個是紅的，2個是綠的。隨機取出兩個蘋果，求取出的兩個蘋果顏色相同的概率。22.一個班級有50名學生，其中有20名女生。隨機選擇5名學生參加比賽，求至少有3名女生的概率。23.拋擲一枚不公平的硬幣，得到正面的概率是0.6。連續拋擲3次，求至少得到2次正面的概率。24.一個隨機變量X的分布列為：P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.4,P(X=3)=0.1。求X的期望值和方差。25.如果隨機變量X和Y獨立，且X服從二項分布B(4,0.3)，Y服從二項分布B(5,0.4)，求P(X=2,Y=3)。六、分析題（每題5分，共10分）26.一個盒子里有10個球，其中3個是紅色的，5個是藍色的，2個是綠色的。隨機取出3個球，求取出的球顏色互不相同的概率。并分析這個概率與盒子里球的總數和顏色分布的關系。27.一個隨機變量X服從泊松分布Poisson(λ)。已知P(X=0)=0.2，求λ的值。并分析泊松分布在實際應用中的優缺點。七、實踐操作題（每題5分，共10分）28.設計一個模擬投擲兩個公平六面骰子的實驗，并計算兩個骰子點數之和為7的概率。要求描述實驗步驟，并給出至少10次實驗的結果。29.一個班級有30名學生，其中有10名男生和20名女生。隨機選擇5名學生參加比賽，設計一個模擬實驗來計算至少有3名女生的概率。要求描述實驗步驟，并給出至少八、專業設計題（每題2分，共10分）30.設計一個隨機變量X，使其服從參數為2的指數分布，并給出其概率密度函數和分布函數。31.設計一個實驗來估計一個袋子里紅球和藍球的比例，假設袋子里有足夠多的球。描述實驗步驟，并解釋如何根據實驗結果估計比例。32.設計一個隨機變量Y，使其服從二項分布B(n,p)，其中n和p為已知數。給出Y的分布列，并計算其期望值和方差。33.設計一個隨機變量Z，使其服從正態分布N(,)，其中和為已知數。給出Z的概率密度函數，并計算其期望值和方差。34.設計一個實驗來估計一個硬幣得到正面和反面的概率。描述實驗步驟，并解釋如何根據實驗結果估計概率。九、概念解釋題（每題2分，共10分）35.解釋什么是隨機變量，以及隨機變量的期望值和方差的意義。36.解釋什么是概率分布，以及常見的概率分布類型。37.解釋什么是獨立事件，以及獨立事件概率的計算方法。38.解釋什么是條件概率，以及條件概率的計算方法。39.解釋什么是貝葉斯定理，以及貝葉斯定理的應用場景。十、思考題（每題2分，共10分）40.思考如何利用概率論和隨機變量來解決實際問題，并給出一個具體的例子。41.思考如何利用模擬實驗來估計概率，并給出一個具體的例子。42.思考如何利用概率論和隨機變量來優化決策，并給出一個具體的例子。43.思考如何利用概率論和隨機變量來評估風險，并給出一個具體的例子。44.思考如何利用概率論和隨機變量來預測未來，并給出一個具體的例子。十一、社會擴展題（每題3分，共15分）45.社會擴展題：如何利用概率論和隨機變量來解決社會問題？請給出一個具體的例子，并解釋如何應用。46.社會擴展題：如何利用概率論和隨機變量來改善社會福利？請給出一個具體的例子，并解釋如何應用。47.社會擴展題：如何利用概率論和隨機變量來促進公平正義？請給出一個具體的例子，并解釋如何應用。48.社會擴展題：如何利用概率論和隨機變量來提高公共安全？請給出一個具體的例子，并解釋如何應用。49.社會擴展題：如何利用概率論和隨機變量來保護環境？請給出一個具體的例子，并解釋如何應用。一、選擇題答案1.C2.B3.B4.D5.A二、判斷題答案6.錯誤7.正確8.錯誤9.正確10.錯誤三、填空題答案11.1/612.5/1613.0.314.215.Poisson四、簡答題答案16.概率論是研究隨機現象的數學理論，主要研究隨機事件的概率、隨機變量的分布以及隨機變量之間的關系。17.隨機變量是隨機現象的數量表現，可以是離散的或連續的。18.概率分布是描述隨機變量取不同值的概率的函數。19.期望值是隨機變量的平均值，反映了隨機變量的中心趨勢。20.方差是衡量隨機變量取值離散程度的指標，反映了隨機變量的波動性。五、應用題答案21.解：由題意知，X~B(10,0.4)，所以P(X=6)=C(10,6)0.4^6(10.4)^4=0.2508。22.解：由題意知，Y~Poisson(2)，所以P(Y=3)=e^(2)2^3/3!=0.1804。23.解：由題意知，X和Y相互獨立，所以P(X=2,Y=3)=P(X=2)P(Y=3)=0.30.1804=0.05412。24.解：由題意知，Z~N(0,1)，所以P(Z>1)=1P(Z<=1)=10.8413=0.1587。25.解：由題意知，X~U(0,5)，所以P(1<=X<=3)=(31)/(50)=0.4。六、分析題答案26.解：根據題意，盒子里有10個球，其中3個是紅色的。所以，取出一個紅球的概率是3/10。這個概率與盒子里球的總數和顏色分布的關系是直接相關的。如果盒子里球的總數增加，而紅球的數量保持不變，那么取出一個紅球的概率會降低；相反，如果紅球的數量增加，那么取出一個紅球的概率會增加。27.解：根據題意，P(X=0)=0.2，所以=0。泊松分布在實際應用中的優缺點是：優點是可以用來描述稀有事件發生的概率，缺點是當事件發生的頻率較高時，泊松分布的準確性會降低。七、實踐操作題答案28.解：實驗步驟如下：1.模擬投擲兩個公平的六面骰子，記錄每次投擲的結果。2.計算兩個骰子點數之和為7的次數。3.計算兩個骰子點數之和為7的概率。實驗結果如下：投擲次數：10次，兩個骰子點數之和為7的次數：3次，兩個骰子點數之和為7的概率：0.3。29.解：實驗步驟如下：1.模擬從班級中隨機選擇5名學生參加比賽，記錄每次選擇的結果。2.計算至少有3名女生的次數。3.計算至少有3名女生的概率。實驗結果如下：選擇次數：10次，至少有3名女生的次數：6次，至少有3名女生的概率：0.6。1.概率論基礎：隨機事件、樣本空間、概率、條件概率、獨立事件等。2.隨機變量及其分布：離散隨機變量、連續隨機變量、概率分布、分布